20240221总结

P4311 士兵占领

考虑先把棋盘放满，判掉无解，并把问题转化为拿走最多的棋子。

这个问题就一眼最大流了，对于行和列分别建M,N个节点，源点向行节点连流量为该行最多可删个数的边，列节点向汇点连该列最多可删个数的边，对于每个可放士兵的(i,j),从行节点i向列节点j连一条流量为1的边，跑最大流就行。

CF1404D Game of Pairs

一道益智题，先考虑作为A分元素。

最简单的分法显然就是分成n组(i,i+n),观察这样是否是必胜策略。

假设B每一组全选了i,那么权值和为\(\frac{n(n+1)}{2}\),如果选了j个i+n,权值和会多\(j\times n\),所以最后权值和是\(\frac{n(n+1)}{2}+a\times n\)的形式(a为常数)

前面一部分如果整除n,后面一部分的a是可以为奇也可以为偶的，这时B一定有策略战胜这种分法。

否则，前面一部分不整除n，这时A必胜

考虑前面一部分是否整除n,决定于分母的2除在n还是n+1上，也就是n的奇偶性：

• 1.n为偶数
  分母除在n上，前面一部分必定不整除n,A必胜
• 2.n为奇数
  这时分母除在n+1上，B存在选法，A不必胜

大胆猜测，n为奇数的时候是不是B有必胜策略。
考虑当A不像上文这么选B是否可以使权值和为相同的形式：

考虑把问题转化到图上，先把i与n+i连边，再对于A的每个二元组连边，显然这个图是二分图。

这时整张图一定由若干个环组成，对于每个环，隔一个取一个就行（如果取出的权值和是n的奇数倍，就去正好相反的另一组）

P3705 [SDOI2017] 新生舞会

题目要最大化:

\[\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i }{\sum_{i=1}^{n}b_i} \]

设\(C=\frac{\sum_{i=1}^{n}a_i }{\sum_{i=1}^{n}b_i}\)
变形可得：

\[\sum_{i=1}^{n}a_i-C\times b_i=0 \]

考虑二分C值，然后套上费用流求解即可