多项式和生成函数

多项式

概念：

对于一个求和$\sum a_nx^{n} \(,如果这个式子是**有限项**，则称该式为多项式,记作\) f(x)= {\textstyle \sum_{n=0}^{m}} a_nx^{n} \( 可列项相加的求和式称为级数。在\)\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 中，每项均为非负整数次幂函数乘常数系数，这种形式的级数称为幂级数。

乘法：

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式 \(f(x)\) 和 \(g(x)\)：

\(\begin{alignedat}{3} f(x)&=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n\quad \quad &(1)\\ g(x)&=b_0+b_1x+\dots+b_mx^m\quad \quad &(2) \end{alignedat}\)

要计算多项式 \(Q(x)=f(x)\cdot g(x)\)：

\(\boxed {Q(x) = \sum \limits_ {i = 0} ^ n \sum \limits_ {j = 0 } ^ m a_i b_j x ^ {i + j}} = c_0 + c_1 x + \dots + c_ {n + m} x ^ {n + m}\)
多项式或幂级数的乘法，满足结合律，关于加法满足分配律。若 R 为交换环或幺环，乘法相应的有交换律和单位元。

度：

对于一个多项式，它最高次项的次数为为度，简称\(deg\)。

代数基本定理

定义：

任意一个一元n次多项式至少存在一个根，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根。