1-BJ-数据结构

lxl:长度 >= k 大家还不熟悉吗，让我们打开洛谷，NOIP2024,NOIP2025

来看这个粉兔题。

什么！

\(r'\) 更简单，咦，不是，让我看下题。

这翻译神金吧，夹带私货。

你看 NOIPT4 nqlog 都过了，所以有信仰就行。

\(25*10^4\) 是什么小众变态写法？

还有梦幻联动。

（12.23 I

不是，你们没做过追忆？

这是追忆环节。

追忆这个 idea 烂大街了。原题一大片。

这个比追忆难多了。

12.22 log 数据结构

区间的区间并：每次右移右端点要把 \(lst[l\dots r]\) 改成 r+1。

这东西可以颜色段均摊，查询部分可以树状数组。

A.TEST_73

每次只保留编号在区间 [l,r] 内的边和点，求连通块个数。

最后留下来的一定是树上的连通子图，相当于森林，森林连通块数是点-边。

点：全部保留，r-l+1

边：a-c->b \(l\le a,b,c\le r\)，三维数点。

因为 \(l,r\) 不变，所以取最小和最大值，就是二位数点 \(O(n\log n)\)

B.Closest Equals

原。

C.

给定 n 个相互不包含的区间 \([l',r']\)，每个区间有权值，给定 \(l,r,k\)，求在 \([l,r]\) 范围内长度 \(\ge k\) 的区间最大值。

考虑两两不包含的这个性质，进行编号后可以发现肯定是按顺序的，所以询问也是一段区间。

然后就是 k和编号两维限制，扫描线。

但是 lxl 看错题了，没看到不互相包含，求和，于是：

画在图上，没有长度限制相当于紧贴 y=x 的一个三角形内的信息，加上 k 的限制可以通过右移这条线完成。

然后差分一下，假设所求点为 \((a,b)\)，若 \((x,y)\) 在三角形内 \(y\le a,x+y\le a+b\)

D.

平面上有n个矩形，给你一个常数d，你需要找到一个点(x,y)，满足对任意整数k1,k2，(x+k1d,y+k2d)都不在任何矩形中。

可以分成若干 d*d 的矩形，有一个矩形包含了整个网格，直接无解。

然后可以把这些矩形直接平移到第一个格子，对于列或行超过 2 个格子的部分，只用移动中间的一块就可以了。

E.[Ynoi2004] rsxc

弱化版。

给定 n 个不相互包含的区间 \([l',r']\) 求 \([l,r]\) 与所有 \(l\le r' \le r\) 的区间的交集之和。

这东西前缀和一下，分成两部分。完全包含和不完全包含，分界点预处理一下，就线性了。

F.[Ynoi Easy Round 2023] TEST_107

究极卡常题。

相当于不包含一个数的最长区间长度，就是 B 了。

但是如果是 1 2 3 4 5 就不对了，所以还有找区间中所有出现过的数的最靠左的位置中最靠右的。

听起来很神经病，但是其实简单扫描线就可以了，每次把这些值的最左边的值扔进 set，可以简单处理。

右边其实同理，也能用线段树做，一坨……

G.k-d-sequence

按 \(\bmod d\) 分组，只有一样的部分可能有答案。

考虑什么情况下可能有结果，首先不能有相同值，其次就是空隙数量不超过 k。

空隙数量就是 \(max-min+1-(r-l+1)\)，就是满足 \(max-min-r+l-k\le 0\)

扫描 r，然后在 l 记录这个东西，然后右移指针，用单调栈维护一下，区间修改。

查找可以线段树二分。

H.フードコート

交换时间和位置，维护一下修改情况。

麻烦的点在于有可能会删空，在不空的情况下可以独立考虑加入删除。

假设删了 x 个，直接查第 x+k 个位置，线段树二分。

可以找最后删空的位置，考虑什么时候会删空，就是前缀和最小的位置。

证明一下，因为删空必然有一段为负，而每次删空必然前缀和增加一个负数，最后一次必然前面有最多的删空次数。

且此时如果有值，那么它一定会多一个正贡献，所以前面一定有比它更小的。

I.

给一些路径，求区间路径并。

同区间的区间并，套个树剖就行了。

J.众数

分块，每次从最后的块开始，从后往前找，从前往后扫这个块。

可以倍增分块，因为每次浪费的查询长度一定不会长于 k。

\(O(1)\) 修改每个块其实打个标记，因为一定会推到，所以修改量就是查询量。

K.Communication Towers

难以删除，线段树分治，但是难以标记点是否连通。

考虑建虚点，每次合并把对应连通块连到虚点上，每次删除直接拆掉虚点，下放标记。

还要维护一个路径压缩的并查集，保证复杂度。

L.[ROI 2023] 生产计划 (Day 2)

考虑先求出一个最大独立集，每次选一个点 +1，发现每次只能变化 1。

先求最大和最小情况下的最大独立集，显然中间的部分一定能构造出来。

考虑每个点增加对答案的影响，这东西的变化函数一定是先不动在斜率为 1。

动态维护最大独立集可以动态 dp，上树维护。

I.[北大集训 2021] 小明的树

没听懂。

J.Train Tracks

可以找到每个必须切换的时间段，这东西就是一个贪心。

但是问题出在首先如何找，其次是区间数量。

但是在最大的情况下一定是不停切换到两边，就是 log 层 \(O(n\log n)\)

可以将火车看作从下往上走，就是启发式合并。

每个点维护 set，找前驱后继就能找到区间。

12.23 奇怪复杂度数据结构

A.[SHOI2006] 作业

看到 x,y 非常小，考虑对值域做根号分治。

对于每个 ky，可以分段，每次找最小的值，set 维护，时间复杂度 \(\frac{V}{y} \log\)

y 比较小的时候可以暴力开桶处理。

B.Magic Triples (Hard Version)

枚举中间的值，如果 \(a_j\ge 10^6\)，\(b\le 1000\)，否则可以根号枚举因数直接找。

上面这东西是 \(O(nV^{\frac{1}{3}})\) 因为因数个数较少，所以可以再把阈值调高。

C.[Ynoi Easy Round 2015] 此时此刻的光辉

约数个数就是指数 +1 的乘积，这东西显然可以莫队维护，但是暴力维护会超时。

如果按不同的去维护，就是 \(\frac{\log v}{\log v\log v}\)

根号分治，如果质因子比较小，那么可以直接前缀和，时间复杂度就是 \(O(qv)\)

假设阈值为 1000，那么莫队基本上至多 2-3 个 \(O(128q+n\sqrt q+nv^{\frac{1}{4}})\)

D.

一棵 n 个点的树，有 \(c(c\le 15)\) 种颜色，点有颜色，q 次询问，给定一个颜色集合 s 和一个点 v,求保留这些颜色 u 所在连通块大小。

每次找重心分治，每次找每个点到重心的路径信息，然后高维前缀和，然后就炸了。

所以要设定一个阈值，只能前几层跑这个，后面暴力，\(O(n\sqrt {2^c*c})\)。

E.[Ynoi2013] 无力回天 NOI2017

考虑按每个数的出现次数根号分治，新加一个值，会对 k 个集合做 +1 操作。

剩下可以用 bitset 维护超过这个阈值的状态，每次一或， \(O(n\sqrt{\frac{n}{w}})\)

F.

询问区间有多少数出现次数 \(\le k\)，强制在线。

额……不能莫队。

区间本质不同的出现次数至多根号种，对整个数列分块。

对于整块 i 到 j，可以维护每个出现次数有多少个，散块暴力。

G.[Cnoi2019] 数字游戏

跑值域线段树维护出现情况，就可以 \(O(n\sqrt n \log n)\)

可以用不删除莫队，对每段 1，维护两个指针，一个从头指向尾，一个从尾指向头，就可以 O(1) 插入。

那么如何查询，可以分块，贡献加在左端点，这样只会算错两部分，修正一下就行了。

H.[Ynoi2013] 文化课

这是区间修改区间查询，先考虑对值的修改，每个位置相当于一个多项式，至多 \(\sqrt n\) 项，加上线段树和快速幂 \(\log^2\)

修改符号是容易记录的，记一下乘积以及和，还要记左右极长连乘，以及多项式。

先考虑一下，可以发现根号是每个块长的根号，所以其实是等比数列求和，线段树没有 \(\log\)。

剩下的快速幂的部分，可以算差或者光速幂，然后就单根号了。

I.「KTSC 2020 R1」穿越

设 \(f_{i,j}\) 表示到 \((i,j)\) 的花费，列间转移看是否阻挡，列中的就是对 \(min+A\) 取 min。

但是不能对每个都跑，所以考虑维护一个 \(xA+yB\) 状物，但是不能维护所有 AB 组合方式。

注意到 \(x+y\le 2n\)，这东西可能是一个凸包状物。

手摸一下，19A+19B 一定不会同时优于 20A+B 和 A+20B。

所以一定是在下凸包上的东西才会有贡献，每次加减相当于平移。

线段树就要维护这东西：

pushup:\(O(点数)\) 合并儿子。

update:\(O(点数)\) 取 min。

但是可以发现坐标是整数且两维大小都是 n，有个结论就是只有 \(n^{\frac{2}{3}}\) 个点。

神经病题****。

J.[Ynoi2006] rmpq

B 个矩形会将平面分成 \(B^2\) 个区域，所以可以定期重构，大概 \(O(n^{\frac{5}{3}})\)。

可以将平面划分成一些网格，这东西可以通过分治来实现，考虑如何合并网格。

合并两个分治结果是 \(n^2\) 的，总复杂度为 \(O(n^2)\)。

询问就是定位在每个块的位置，然后散块暴力，\(O(n\sqrt n)\)。

I.qoj1851

这东西可以先做 DAG 可达性，必然时间复杂度不会低于 \(O(\frac{n^2}{w})\)。

按 w 分块，每 w 次重构一下，那么每次重构要线性。

先考虑块内，因为处理了可达性，可以 \(O(1)\) 查。

接下来是重构全图，如果最后是修改，那么前面的取 min 都没有贡献了。

首先要对每个点求最后被修改的时刻，修改就可以直接 topo 排序。

取 min 可以拿出来排序，如果一个点被多次取，那么只有最小的生效。

可以记一下操作时间，然后用一个 bitmask，每次把时间不合法的部分改为 0，同时可以知道哪些取 min 有效。