计算器妙用 - wangruidong03

众所周知，在二期课改之后，计算器可以带入上海高考考场。尽管不能使用绘图、函数等功能，但是它还是很有用的。以下列解题为例。

【例题 1】若定义在函数 $\NN 上的函数 f(x),g(x)f(x),g(x) 满足：存在 x_0 \in \Nx0∈N，使得 f(x_0)<g(x_0)f(x0)<g(x0) 成立，则称 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在 \NN 上具有性质 P(f,g)P(f,g)。设函数 f(x)=\dfrac{a^x-1}{2}f(x)=2ax−1 与 g(x)=x^3g(x)=x3，其中 a>0a>0。已知 f(x)f(x) 与 g(x)g(x) 在 \NN 上不具有性质 P(f,g)P(f,g)，将 aa 的最小值记为 a_0a0。设有穷数列 \{b_n\}{bn} 满足 b_1=1,b_{n+1}=1+b_n,(n \in \N^*,n \leq 504 \times [a_0])b1=1,bn+1=1+bn,(n∈N∗,n≤504×[a0])，这里的 [a_0][a0] 表示不超过 a_0a0 的最大整数。若去掉 \{b_n\}{bn} 中的一项 b_ibi 后，剩下的所有项之和恰可表示为 m^2,(m \in \N^*)m2,(m∈N∗)，则 b_i+mbi+m 的值为？$

【解析】这是什么巨型缝合怪……不过这种缝合题思路就很直接，一步一步来即可。

首先考虑 $\NN 上不具有性质 P(f,g)P(f,g)，即 f(x)>g(x)f(x)>g(x) 在 \NN 上恒成立，即有 \dfrac{a^x-1}{2} \geq x^32ax−1≥x3 在 \NN 上恒成立。$

因为上海不学导数。因此打开计算器，用 TABLE 功能代入几个 $a_0=\sqrt{17}a0=17，则 [a_0]=4[a0]=4，即 n \leq 2016n≤2016。即这是一个有 20172017 项的数列。$

然后求出 $\sum b_i=2035153∑bi=2035153，[\sqrt{\sum b_i}]=1426=m[∑bi]=1426=m，而 1426^2=203347614262=2033476。则去掉的 b_i=2035153-2033476=1677bi=2035153−2033476=1677。最后的结果就是 31033103。$

【例题 2】设函数 $f(x)=\dfrac{a-x^\dfrac{3}{2}-8x^\dfrac{1}{2}}{x+8}f(x)=x+8a−x23−8x21，设函数 y=4f(x)+5y=4f(x)+5 的零点为 44，则使得 8f(n^2-3)+63 \geq 08f(n2−3)+63≥0 成立的整数 nn 的个数为？$

【解析】依旧缝合怪。

$4f(4)+5=04f(4)+5=0，f(4)=-\dfrac{5}{4}f(4)=−45。这种方程可以用计算器的 CALC 功能，把 aa 用 xx 代入，则很快可以求出 a=9a=9。$

代入后面的式子， $\times \dfrac{9-x^\dfrac{3}{2}-8x^\dfrac{1}{2}}{x+8}+63 \geq 08×x+89−x23−8x21+63≥0。$

$f(x)=-\dfrac{63}{8}f(x)=−863 即可求出答案，可得 x=64x=64，即 0 \leq n^2-3 \leq 640≤n2−3≤64，显然有 1414 个解。$

【例题 3】在平面直角坐标系中，角 $\theta(\pi<\theta<\dfrac{3\pi}{2})θ(π<θ<23π) 的顶点与坐标原点重合，始边与 xx 轴的非负半轴重合，终边经过函数 f(x)=-2^xf(x)=−2x 与 g(x)=-\log_{\dfrac{1}{2}}(-x)g(x)=−log21(−x) 的交点。角 \alpha \in (0,\dfrac{\pi}{4})α∈(0,4π)，则（）$

A. $-1<\cot(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}−1<cot(θ+α)<−22$

B. $-1<\tan(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}−1<tan(θ+α)<−22$

C. $-1<\cos(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}−1<cos(θ+α)<−22$

D. $-1<\sin(\theta+\alpha)<-\dfrac{\sqrt{2}}{2}−1<sin(θ+α)<−22$

【解析】那就先把交点求出来咯。 $-2^x=-\log_\dfrac{1}{2}(-x)−2x=−log21(−x)，这好像是个超越方程，用计算器求一下数值解，交点 (-0.641185744,-0.641185744)(−0.641185744,−0.641185744)。很明显 \tan \theta=1tanθ=1，\theta=\dfrac{5\pi}{4}θ=45π。\theta+\alpha \in (\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2})θ+α∈(45π,23π)。显然发现 D 是正解。$

【例题 4】（建议改名：相信自我）

团队在 $60^\circ60∘ 处。求双曲线标准方程。$

团队又在南侧、北侧

【解析】其实这题很简单，问题在于答案是什么阴间玩意。

(1) $b^2=300b2=300，双曲线方程 C_1: \dfrac{x^2}{100}-\dfrac{y^2}{300}=1C1:100x2−300y2=1。$

与 $OP:y=\dfrac{\sqrt{3}}{3}xOP:y=33x 联立，可得 P(\dfrac{15\sqrt{2}}{2},\dfrac{5\sqrt{6}}{2})P(2152,256)。$

(2) $b^2=175b2=175，双曲线方程 C_2:\dfrac{x^2}{225}-\dfrac{y^2}{175}=1C2:225x2−175y2=1。$

$b^2=200b2=200，双曲线方程 C_3:\dfrac{y^2}{25}-\dfrac{x^2}{200}=1C3:25y2−200x2=1。$

两根双曲线联立，可得 $Q(\sqrt{\dfrac{14400}{47}},\sqrt{\dfrac{2975}{47}})Q(4714400,472975)，OQ=19227OQ=19227 米（网传答案有误），位于原点的北偏东 66^\circ66∘。$

【例题 5】（建议改名：相信自我 II）

在三角形 ABC 中，已知

(1) 若 $\angle A=\dfrac{2\pi}{3}∠A=32π，求 S_\triangle ABCS△ABC；$

(2) 若 $2\sin B-\sin C=12sinB−sinC=1，求 C_\triangle ABCC△ABC。$

【解析】一个普通的三角题能把数字搞的这么恶心，也是难为出题人了。

(1) $\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}cosA=2bcb2+c2−a2$

$\dfrac{(2c)^2+c^2-3^2}{2\times 2c \times c}=-\dfrac{1}{2}2×2c×c(2c)2+c2−32=−21$

$c=\dfrac{3\sqrt{7}}{7},b=\dfrac{6\sqrt{7}}{7}c=737,b=767。$

$S_\triangle ABC=\dfrac{1}{2}bc \sin A=\dfrac{1}{2} \times 2c^2 \times \sin \dfrac{2\pi}{3}=\dfrac{9\sqrt{3}}{14}S△ABC=21bcsinA=21×2c2×sin32π=1493。$

这个答案已经很重量级了。第二小问答案上升到了新的境界。

(2) $b=2cb=2c，\sin B=2\sin CsinB=2sinC，2 \times 2\sin C-\sin C=12×2sinC−sinC=1，\sin C=\dfrac{1}{3}sinC=31，\sin B=\dfrac{2}{3}sinB=32。$

$\sin A=\sin (B+C)=\sin B \cos C+\sin C \cos B=\dfrac{4\sqrt{2} \pm \sqrt{5}}{9}sinA=sin(B+C)=sinBcosC+sinCcosB=942±5。这一步很关键，用计算器只能算得数值解。可能出题人特意希望我们掌握两角和差公式。$

$c=\dfrac{a\sin C}{\sin A}=\dfrac{4\sqrt{2}\pm\sqrt{5}}{3}c=sinAasinC=342±5。$

接下来代入即可，得到周长为 $3+4\sqrt{2} \pm \sqrt{5}3+42±5。$

【例题 6】留作欣赏。

总结：计算器常常可以帮助你解一些方程，或者看出函数单调性等。但是具体计算内容，按照上海高考的逐步深化课改，可能不会让你蠢蠢的用计算器按，自己的计算也是很重要的。而且按照上海的特色，应用题会越来越贴近实际，数值可能也就不会凑那么规整，也就会得出奇奇怪怪的答案。需要相信自己的 casio 没有问题。

发表于 2022-01-18 15:49 wangruidong03 阅读(236) 评论(0) 收藏举报