图

基本概念

图的定义

图由顶点集V和边集E组成，记G=（V,E）

V(G)表示图G中顶点的有限非空集。

E(G)表示图G中顶点间关系（边）集合。

E={(u,v)|u∈V，v∈V}，用|E|表示图中边的个数。
若V={v1,v2,…,vn}，则用|V|表示图G中顶点的个数，也称为图G的阶。
线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图。

图中不可能一个顶点也没有，图的顶点集一定非空，但边集E可以为空，此时图中只有顶点没有边。

图和树的区别是逻辑上的区别，而不是边数的区别，图的边数也可能小于树的边数。

有向图

若E是有向边的有限集合时，则图G为有向图。
顶点集，弧集
弧是顶点的有序对，记为<v,w>

其中v,w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头

<v,w>称为从顶点v到顶点w的弧，也称v邻接到w，或w邻接自v。

无向图

若E是无向边的有限集合时，则图G为有向图。
顶点集，边集
边是顶点的无序对，记为(v,w)或(w,v)

其中v,w是顶点，可以说顶点w和顶点v互为邻接点。

边(v,w)依附于顶点w和v，或者说边(v,w)和顶点v,w相关联

简单图

不存在重复边。
不存在顶点到自身的边
G1和G2均为简单图

完全图（简单完全图）

无向完全图：任意两个顶点之间都存在边。
含有n个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。
有向完全图：任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧。
含有n个顶点的有向完全图有n(n-1)条有向边

子图

设有两个图G=(V,E)和G'=(V',E')，若V'是V的子集，且E'是E的子集，则称G'是G的子图。
若有满足V(G')=V(G)的子图G'，则称其为G的生成子图
并非V和E的任何子集都能构成G的子图，这样的子集可能不是图，即E的子集中的某些边关联的顶点可能不在这个V的子集中。

连通图

v和w连通：从顶点v到顶点w有路径存在。
连通图：图中任意两个顶点都是连通的。

若一个图有n个顶点，并且边数小于n-1，此图必为非连通图。

连通图可能是树也可能存在环。

图的遍历要求每个结点只能被访问一次，若图非联通，则从某一顶点出发无法访问到其他全部顶点，
连通分量：无向图中的极大连通子图。

对无向连通图做一次深度优先搜索，可以访问到该连通图的所有顶点。
极大连通子图：无向图的连通分量。
极小连通子图：既要保持图连通又要使得边数最少的子图。

强连通图

强连通：有向图中，从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v之间都有路径。
强连通分量：有向图中的极大强连通子图。
强连通图和强连通分量只针对与有向图。

无向图中讨论连通性，有向图中考虑强连通性。
无向连通图中边最少构成一棵树。

无向连通图对应的生成树也是无向连通图，但此时边数等于顶点数减1。

强连通有向图，边最少构成一个有向环。

生成树、生成森林

生成树：包含图中全部顶点的一个极小连通子图。
图中顶点数为m，则它的生成树含有n-1条边。
砍去生成树的一条边会变成非连通图，加上一条边会形成一个回路。
非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。

顶点的度、入度和出度

度：以该顶点为一个端点的边的数目。
无向图中的度：依附于顶点的边的条数，$TD(v)$，

具有n个顶点、e条边的无向图中，$\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{TD(v_i)=2e}$,

即无向图的全部顶点的度的和等于边数的2倍。
有向图顶点v的度分别为入度和出度，

入度是以顶点v为终点的有向边的数目，记为${ID(v_i)}$，

出度是以顶点v为起点的有向边的数目，记为$OD(v)$。

顶点v的度等于其入度和出度之和，即$TD(v)=ID(v)+OD(v)$
在具有n个顶点、e条边的有向图中，$\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{ID(v_i)=\displaystyle \sum^{n}_{i=1}{OD(v_i)}=e}$

即有向图的全部顶点的入度和出度之和相等，并且等于边数。

边的权和网

带权图(网)：边上带权值的图。

有向网，无向网

稠密图、稀疏图

稠密图：边数很多的图。
稀疏图：当图G满足$|E|<|V|log|V|$即$e<nlogn$

路径、路径长度和回路

路径：顶点$V_p$到顶点$V_q$之间的顶点序列。
路径长度：路径上边的数目。
第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或环。
若一个图有n个顶点，并且有大于n-1条边，则此图一定有环。

简单路径，简单回路

简单路径：在路径序列中顶点不重复的路径。
简单回路：除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路。

距离

距离：从顶点v到顶点u的最短路径。

若根本不存在路径记为∞无穷

有向树

有向树：顶点的入度为0、其余顶点的入度均为1的有向图。

存储结构

顺序存储

邻接矩阵

用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中边的信息(即各顶点之间的邻接关系)，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。
邻接矩阵中的元素仅表示相应的边是否存在时，EdgeType可定义为值为0和1的枚举类型。
对规模特大的邻接矩阵可采用压缩存储。
空间复杂度为$O(n^2)$，其中n是图的顶点数|V|。
无向图的邻接矩阵一定是一个对称矩阵(并且唯一)。实际存储邻接矩阵只需存储上（或者下）三角矩阵的元素。
无向图的邻接矩阵第i行（或第i列）非零元素（或非∞元素）的个数正好是第i个顶点的度$TD(v_i)$。
有向图的邻接矩阵第i行（或第i列）非零元素（或非∞元素）的个数正好是第i个顶点的出度$OD(v_i)$或入度$ID(v_i)$。
优点：便于确定图中任意两个顶点之间是否有边相连。
缺点：①确定边的总数费时间，须按行按列对每个元素进行检测。
稠密图适合用邻接矩阵的存储表示。
设图G的邻接矩阵为$A$，$A^n$的元素$A^n[i][j]$等于由顶点i到顶点j的长度为n的路径的数目。

链式存储

邻接表法

顺序存储和链式存储。
对比树的孩子表示法
对图G中每个顶点$v_i$建立一个单链表，第i个单链表中的结点表示依附于顶点$v_i$的边（对于有向图则是以顶点$v_i$为尾的弧）的单链表称为边表。
边表的头指针和顶点的数据信息采用顺序存储（称为顶点表）

邻接表中存在两种结点：顶点表结点和边表结点。

data firstarc

顶点域边表头指针

【顶点表】

adjvex nextarc

邻接点域指针域

【边表】
顶点表结点由顶点域和指向第一条邻接边的指针构成，

边表结点由邻接结点域和指向下一条邻接边的指针域构成。

data	firstarc
顶点域	边表头指针

adjvex	nextarc
邻接点域	指针域

	邻接矩阵	邻接表
存储方式	顺序存储	顺序存储+链式存储
应用	稠密图	稀疏图
表示方式	唯一	不唯一
广度优先遍历	唯一	不唯一
节点数量		无向图：$2
空间复杂度	$O(	V^2
时间复杂度	$O(	V^2
计算度	必须遍历对应行或列	计算有向图的度和入度不方便
找相邻边	必须遍历对应行或列	找有向图的入边不方便

十字链表法

存储有向图
O(|V|+|E|)

邻接多重表

存储无向图
O(|V|+|E|)

基本操作

Adjacent(G,x,y)：判断图G是否存在有向边<x,y>或无向边(x,y)。
Neighbors(G,x)：列出图G中与结点x邻接的边。
InsertVertex(G,x)：在图G中插入顶点x。
DeleteVertex(G,x) ：从图G中删除顶点x。
AddEdge(G,x,y)：若(x,y)或<x,y>不存在，则向图中添加该边。
RemoveEdge(G,x,y)：若(x,y)或<x,y>存在，则从图中删除该边。
FisrtNeighbor(G,x,y)：求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号。若x没有邻接点或图中不存在x，则返回-1.
NextNeighbor(G,x,y)：假设图中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，返回-1.
Get_edge_value(G,x,y)：获取图G中(x,y)或<x,y>的对应权值。
Set_edge_value(G,x,y,v)：设置图G中(x,y)或<x,y>的对应权值。

	邻接矩阵	邻接表
Adjacent(G,x,y)	O(1)	O(1)--O(\|V\|)
Neighbors(G,x)	O(\|V\|)	O(1)--O(\|V\|)
		有向图入边：O(\|E\|)
InsertVertex(G,x)	O(1)	O(1)
DeleteVertex(G,x)	O(\|V\|)	O(1)--O(\|E\|)
		出边：O(1)--O(\|V\|) 入边：O(\|E\|)
AddEdge(G,x,y)	O(1)	O(1)
RemoveEdge(G,x,y)	O(\|V\|)	O(\|E\|)
FirstNeighbor(G,x,y)	O(1)--O(\|V\|)	O(1)
		出边：O(1) 入边：O(1)--O(\|E\|)
NextNeighbor(G,x,y)	O(1)--O(\|V\|)	O(1)
Get_edge_value(G,x,y)	O(1)	O(1)--O(\|V\|)
Set_edge_value(G,x,y,v)	O(1)	O(1)--O(\|V\|)

图的遍历

广度优先遍历(BFS)

与树的广度优先（层序）遍历之间的联系

	树	图
	从根结点出发，横向查找所有子结点	从某一结点出发，查找有关联的结点
	不存在回路	有回路

算法实现

①找到一个顶点相邻的所有顶点

②标记哪些顶点被访问过

③需要一个辅助队列

//无向图
bool visited[MAX_VERTEX_NUM];	//访问标记数组
void BFSTraverse(Graph G){		//对图G进行广度优先遍历
    for(i=0;i<G.vexnum;i++)
        visited[i]=FALSE;		//访问标记数组初始化
    INitQueue(Q);				//初始化辅助队列Q
    for(i=0;i<G.vexnum;++i)		//从0号顶点开始遍历
        if(!visited[i])			//对每个连通分量调用一次BFS
            BFS(G,i);			//vi未访问过，从vi开始BFS
}
//广度优先遍历
void BFS(Graph G,int v){		//从顶点v出发，广度优先遍历图G
    visit(V);					//访问初始顶点v
    visited[v]=TRUE;			//对v做已访问标记
    Enqueue(Q,v);				//顶点v入队列Q
    while(!isEmpty(Q)){
        DeQueue(Q,v);			//顶点v出队列
        for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
            //检测v所有邻接点
       		 if(!visited[w]){ 		//w为v的尚未访问的邻接顶点
                visit(w);			//访问顶点w
                visited[w]=TRUE;	//对w做已访问标记
                EnQueue(Q,w);		//顶点w入列
            }//if
    }//while
}

//对于无向图，调用BFS函数的次数=连通分量数

//有向图

广度优先生成树

广度优先生成树由广度优先遍历过程确定。由于邻接表的表示方式不唯一，因此基于邻接表的广度优先生成树也不唯一。

对非连通图的广度优先遍历，可得到广度优先生成森林。

深度优先遍历(DFS)

与树的深度优先遍历之间的联系

//树的先根遍历
void PreOrder(Tree *R){
    if(R!=NULL){
        visit(R);
        while(R还有下一个子树T)
    }
}

//
void DFSTraverse(Graph G){
    for(v=0;v<G.vexnum;++v)
        visited[v]=FALSE;		//初始化
    for(v=0;v<G.vexnum;++v)
        if(!visited[v])
            DFS(G,v);
}
void DFS(Graph G,int v){
    visit(V);					//访问顶点v
    visited[v]=TRUE;			//已访问顶点
    for(w=FirstNeighbor(G,v);w>=0;w=NextNeighbor(G,v,w))
        if(!visited[w]){			//w尚未访问临界顶点
            DFS(G,w);
        }
}

图的遍历和图的连通性

对与强连通图，从任意节点出发都只需调用一次BFS/DFS

最小生成树

所有地方都联通，且成本尽可能的低

最小生成树可能有多个，但边的权值之和总是唯一且最小的

最小生成树的边数=顶点数-1。砍掉一条则不连通，增加一条则出现回路。

如果连通图本身就是一棵树，最小生成树就是它本身。

算法	bfs	Kruskal	Prime	Dijkstra	floyd
	dijkstra；prime	每次选择一条权值最小的边，使这条边的两头连通（原本已经连通的不选）直到所有结点都联通。	从某个顶点开始构建生成树，每次将代价最小新顶点纳入生成树，直到所有顶点都纳入。	从某个顶点开始，寻找到其他顶点的最小路径，每找到一个最短路径就更新其他路径距离，直到所有顶点距离都最小。	求出每一对顶点之间的的最短路径，其间允许中转的顶点数逐次增加
时间复杂度	$O(\|V^2\|)$	$O(\|E\|log_2\|E\|)$	$O(\|V^2\|)$	$O(\|V^2\|)$	$O(\|V^3\|)$
适用类型	无权图	稀疏图	稠密图·	非负权值	非负权值
最短路径	单源最短路径	总路径最短	总路径最短-	单源最短路径	各顶点间最短路径
		最小生成树	最小生成树

最短路径

单源最短路径

BFS

//求顶点u到其他顶点的最短路径
void BFS_MIN_Distance(Graph G,int u){
    //d[i]表示从u到i结点的最短路径
    for(i=0;i<G.vexnum;++i){
        d[i]=∞；			//初始化路径长度
        path[i]=-1;		//最短路径从哪个顶点过来
    }
    d[u]=0;
    visited[u]=TRUE;
    EnQueue(Q,u);
    while(!isEmpty(Q)){	
        DeQueue(Q,u);		//队头元素u出队
        for(w=FirstNeighbor(G,u);w>=0;w=NextNeighbor(G,u,w))
            if(!visited[w]{		//w为u的尚未访问的邻接顶点
                d[w]=d[u]+1;	//路径长度+1
                path[w]=u;		//最短路径u到v，记录前驱顶点
                visited[w]=TRUE;//设已访问标记
                EnQueue(Q,w);	//顶点w入队
            }//if
    }//while
}

AOV网

用DAG图（有向无环图）表示一个工程。顶点表示活动，有向边表示活动进行顺序

拓扑排序

定义Ⅰ：找到做事的先后顺序

实现：1.从AOV网中选择一个没有前驱的顶点并输出

2.从网中删除该顶点和所有以它为起点的有向边。

3.重复1和2直到当前的AOV网为空或当前网中不存在无前驱的顶点为止。

定义Ⅱ：由一个有向无环图的顶点组成的序列，当且仅当满足下列条件时，称为该图的一个拓扑序列：①每个顶点出现且只出现一次。②若每个顶点A在序列中排在顶点B的前面，则在图中不存在从顶点B到顶点A的路径。

定义Ⅲ：对有向无环图的顶点的一种排序，它使得若存在一条从顶点A到顶点B的路径，则在排序中顶点B出现在顶点A的后面。每个AOV网都有一个或多个拓扑排序序列。

#define MaxVertexNum 100
typedef struct ArcNode{			//边表结点
    int adjvex；
    struct ArcNode *nextarc;
}ArcNode;
typedef struct VNode{			//顶点表
    VertexType data;
    ArcNode *firstarc;			//指向第一条依附该顶点的弧的指针
}VNode,AdjList[MaxVertexNum];
typedef struct{
    AdjList vertices;			//邻接表
    int vexnum,arcnum;		//图的顶点数和弧数
}Graph；							//以邻接表存储的图类型
 
bool TopologicalSort(Graph G){
    InitStack(S);				//初始化栈，存储入度为0的顶点
    for(int i=0;i<G.vexnum;i++)
        if(indegree[i]==0)
            Push(S,i);			//将入度为0的顶点进栈
    int count=0;				//计数，记录当前已经输出的顶点数
    while(!IsEmpty(S)){			//栈不空，则入度为0的顶点
        Pop(S,i);				//栈顶元素出栈
        print[count++]=i;		//输出顶点i
        for(p=G.vertices[i].firstarc;p;p=p->nextarc){
            //将所有i指向的顶点的入度减1，并且将入度减为0的顶点压入栈
            v=p->adjvex;
            if(!(--indegree[v]))
                Push(S,v);		//入度为0
        }
    }
    if(count<G.vexnum)                            
        return false;
    else
        return true;
}

有向无环图（DAG）

posted @ 2021-12-26 12:48 wangqr 阅读(247) 评论(0) 收藏举报

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