dp练习第六天-Leetcode877. 石子游戏

题目

亚历克斯和李用几堆石子在做游戏。偶数堆石子排成一行，每堆都有正整数颗石子 piles[i] 。

游戏以谁手中的石子最多来决出胜负。石子的总数是奇数，所以没有平局。

亚历克斯和李轮流进行，亚历克斯先开始。 每回合，玩家从行的开始或结束处取走整堆石头。 这种情况一直持续到没有更多的石子堆为止，此时手中石子最多的玩家获胜。

假设亚历克斯和李都发挥出最佳水平，当亚历克斯赢得比赛时返回 true ，当李赢得比赛时返回 false 。

 

示例：

输入：[5,3,4,5]
输出：true
解释：
亚历克斯先开始，只能拿前 5 颗或后 5 颗石子 。
假设他取了前 5 颗，这一行就变成了 [3,4,5] 。
如果李拿走前 3 颗，那么剩下的是 [4,5]，亚历克斯拿走后 5 颗赢得 10 分。
如果李拿走后 5 颗，那么剩下的是 [3,4]，亚历克斯拿走后 4 颗赢得 9 分。
这表明，取前 5 颗石子对亚历克斯来说是一个胜利的举动，所以我们返回 true 。
 

提示：

2 <= piles.length <= 500
piles.length 是偶数。
1 <= piles[i] <= 500
sum(piles) 是奇数。

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分析

拿到一个博弈问题时，最先想到使用dp求解。博弈问题大多数建立的是一个二维dp数组，dp[i][j]中存储的是从i到j的博弈问题最优解。

分析题干，如果想要获胜，需要分数更高，所以dp中存储的应该是两人得分之差，而不是某个人的分数。

分析状态转移方程：当i>j时，没有实际意义。当i=j时，因为我们先手，所以存储的那个数字就是石子在i的位置的数量。当i<j时，我们是先手，但是只能选择第i堆或者第j堆石子，需要找出两种情况的最大值。

如果取第i堆石子，那么我们的dp[i][j]=piles[i]-dp[i+1][j]; 如果取第j堆石子，那么我们的dp[i][j]=piles[j]-dp[i][j-1];

最后我们考虑的是循环的顺序，首先，dp矩阵的斜对角线已知，其次，由状态转移方程我们知道，要想求dp[i][j]，必须知道dp[i][j-1]和dp[i+1][j]，所以我们对于i，要从大到小依次递减，而对于j，我们要从小到大依次递增。

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代码

class Solution {
public:
    int dp[500][500];
    bool stoneGame(vector<int>& piles) {
        for(int i=0;i<piles.size();i++)
        {
            dp[i][i]=piles[i];//写对角线已知
        }
        for(int i=piles.size();i>=0;i--)//i递减
        {
            for(int j=i+1;j<piles.size();j++)//j递增
            {
                dp[i][j]=max(piles[i]-dp[i+1][j],piles[j]-dp[i][j-1]);
            }
        }
        if(dp[0][piles.size()-1]>0)//如果从头到尾博弈的dp值大于0，那么获胜
        {
            return true;
        }
        else
        {
            return false;
        }
    }
};

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回顾

本题在分析的时候可能出现的错误思维(也是我在做题过程中出现的差错):为什么dp[i][j-1]是我先手，dp[i][j]还是我先手？

原因是，因为每个人都是最佳状态，都想获胜，所以在dp[i][j]先手的人是“我”，那么对应dp[i][j-1]先手的人则不是“我”，但是分析的时候要将dp[i][j-1]以我的视角分析，这样才能确保dp[i][j-1]是最大值，即题干要求每个人的状态都是最佳。

我们的每次先手状态，都是以我们取完一堆石子后，对方以我们取完一堆石子的状态再”先手“的基础上建立的。