「杂题乱刷2」P11830 [省选联考 2025] 幸运数字

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P11830 [省选联考 2025] 幸运数字

解题思路

40pts

考虑直接暴力 check 每个数字 \(x\) 是否能被取到。

有以下贪心方式：

• 如果根本不可能取到至少一个数字 \(x\)，则 \(x\) 不能被取到。

• 若对于一个可取数字区间有 \(l2 \le x \le r2\)，则必然取数字 \(x\)，取的数字数量为 \(r1\)。

• 否则，则有 \(x < l2\) 或 \(r2 < x\)，此时我们容易求得 \([1,x-1]\) 的数字个数取值区间 \([s1,s2]\)，\([x+1,10^9]\) 的数字个数取值区间 \([s3,s4]\)。然后我们分讨以下情况：

  • \(s1 \le s3 \le s2\) 或 \(s3 \le s1 \le s4\)，此时前后两区间长度可以相交，那么使得两区间长度一致那么数字 \(x\) 就可以被取到，因此此情况 \(x\) 可以被取到。

  • 否则，我们分讨以下两种情况。

    • 若 \(s2 < s3\)，那么此时前面取 \(s2\) 个数字，后面取 \(s3\) 个数字显然最优，算出此时中位数是否为 \(x\) 即可。
    • 否则一定有 \(s4 < s1\)，那么此时前面取 \(s1\) 个数字，后面取 \(s4\) 个数字显然最优，算出此时中位数是否为 \(x\) 即可。

那么这样 check 一次是 \(O(n)\) 的。

考虑去暴力做特殊性质 A 的 \(n\) 个数字，依次 check，可以获得 \(40\) 分。

总时间复杂度 \(O(n^2)\)。

60pts

特殊性质 A 做法。

依然考虑上述 check 方式，你发现根据 \(x\) 的递增性，每个数字区间 \([l2,r2]\) 只会给 \(s1,s2,s3,s4\) 带来连续一段区间的贡献，那么直接差分后进行一次前缀和即可。

总时间复杂度 \(O(n)\)。

80pts

经过惊人的注意力（打表）可以发现，我们可以将 \(l2,r2\) 离散化，此时就会有 \(2n\) 个点，发现若一个点是合法的，则这个点往左有一段连续的区间也是合法的，此时直接二分即可，时间复杂度 \(O(n^2 \log^2 n)\)，可以获得 \(80\) 分。

100pts

考虑优化 80pts 做法，那么你发现我们可以直接将原本需要暴力做的区间离散化，由于需要差分加减的点只有 \(2n\) 个，那么直接离散化这些差分端点，二分即可查找到准确前缀和之后的值，那么一次 check 复杂度就被降到了 \(O(\log n)\)，总时间复杂度 \(O(n \log^2 n)\)，可以通过此题。

参考代码

等代码公示后放。