【算法】一个N*N个数取N但重复数不超过M的算法

下午逛BBS发现C版上有一个询问算法的帖子，感觉不是很难，就做了做；但时间比较紧，只有思路，没完成；晚上回来想了想，解出来后在这里留个备份。

问题：

请问，
1，2，......,36共36个自然数，从中取出若干个6个数字的数组；6个数字不重复；数组中
不出现同时有两个数字重复的情况。比如{1，2，3，4，5，6}与{1，2，7，8，9，10}中{
1，2}同时出现而应舍弃一组。
请问，这样的数组有42个吗（即36取2的组合，是否可以改写成42个6取2的组合），拜求结
果。

我对这个题目进行重新表述：

在 N*N 个数中，取出 N 个数成为一数组， 把这一组放入结果集中；要求结果集包含的数组尽可能地多，但另一个要求是，结果集中任意两个数组的交集的元素数目小于M，求满足要求的结果集包含的数组数目。

拿 N = 3； M = 2 来说明问题：设 这N*N个数分别为 a1,a2,...,a9
一个答案是 3 * 4 = 12 个
{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}
{1,4,7},{2,5,8},{3,6,9}
{1,5,9},{2,6,7},{3,4,8}
{1,6,8},{2,4,9},{3,5,7}
可以验证，上面的12个数组两两交集数目不超过1（也即小于2）

我这里就不再进行整理了。

问题的分析及思路：

1、

这个题目跟八皇后有点儿像（但不要求斜着也不在一条线上）

解的步骤可以一步一步往结果集里添加，问题的关键在于去除不合要求的解。一个办法是对其进行分类，将“重复”的划分为一类，计算一些分类的数目，也能够得出一类中的个数。
时间有限，不做了。。。

2、

设满足要求的一个结果为集合S，即结果集，我们一步一步往结果集里增加数组。
第一步：
这36个数，可以对其进行划分，根据对称性，不妨划分成6个数组，如下：
S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
S2 = {7, 8, 9, 10, 11, 12}
...
S6 = {31, 32, 33, 34, 35, 36}
S1～S6之间，任意两个数组交集为空。
将S1～S6放入结果集S中。

第二步：寻求更多的数组
任意的其它数组，是必然要从S1～S6中，每个数组取1个元素组成，否则就会与S1～S6的某
个数组有至少两个重复的数字。另外，这些数组与S1～S6中的任一个有且仅有一个重复的
数，因此只需要考虑新添加的数组之间的重复关系。
一些很直观的解是：
S7 = {1, 7, 13, 19, 25, 31}
...
S12 = {6, 12, 18, 24, 30, 36}
我们把它们也放到结果集里去。

更多的数组，我们用图形的办法来说明。
在纸上画6*6的小方格，每一行代表上面的S1～S6，每个小格子代表S1～S6中的元素。
第二步的问题等同于：在 6*6 的格子上画6个圈，它们的排布要满足：每行一个（因为不
能与S1～S6重复两个以上），每列也1个（否则与S7～S12重复两个以上）
这些圈圈出来的数所组成的，就是期望的数组。
===============这里错了唉，这些数组之间还有重复，还得想办法去掉重复的==============
===============算了，我得忙自己的了，LZ知道怎么算了把结果发出来吧。。。=======
把这些数放进结果集中，就完成了。不能放入更多的解了。

3、

继续这个思路，下午没有完成。
需要说明的是，画圈的办法，不是为了求解，而是为了探索解的特征、解所需要满足的要
求，这样才能够生成算法。

====个数判别====
以下办法证明了，在6*6的情况下，的确有6 + 6 + 6*5 = 42 个解：
如我所说，取每行，每列后，此问题等价于在格子上画圈，覆盖每行每列。并且要满足题
目的要求。
先画第一行的圈，有6中选择，不妨设取了 S1(i1)
再画第二行，有5种选择,不妨设取了 S2(i1)；
然后剩下是4行，虽然有 4！=24 种画圈的办法，但是只能取其中一种；因为无论怎么取，
其结果都包含 S1(i1) 与 S2(i1)，因此只取它们中的一种。

此方法还揭示了，如果是 N*N 个数，那么总共满足要求的解，共有 N*(N+1)个

====算法生成====
拿 N * N 为例
首先取所有的 N 行；然后取所有的 N 列；得到 2N 个
然后，一个双重循环，第一重为第一行，取遍 1 ～ 6
第二重为第二行，取遍 1 ～ 6 ，但不于第一行重复
在剩下的 N-2 * N-2 随便取一个可行的。
这样得到了一个【模板】，包括了所有 N*(N+1) 个数组

这里还没有结束，根据对称性，可以将 1～36 这些数中随便交换，你都可以得到一个N*(
N+1) 个满足题目要求的数组。
因此，每种解是包含N*(N+1)个数组的，但这样的解一共有 6！个。

 

另外，可能我思维比较发散，我一下子就看懂LZ想要表述的问题了，但很多人表示看不懂。。。

那位同学的提问帖：https://bbs.sjtu.edu.cn/bbscon?board=C&file=M.1332560255.A 

我回复的原帖为 https://bbs.sjtu.edu.cn/bbscon?board=C&file=M.1332605422.A