线性规划习题 | 新高考已删

前言

有待进一步完善；

基础训练

已知\(x,y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y-2\leq 0\\x-2y-2\leq 0\\2x-y+2\ge 0\end{cases}\),求解：

(1)\(z=-\cfrac{1}{4}x+y\)的最大值和最小值。

分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=\cfrac{1}{4}x+z\)，则可以看到\(z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，

则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(z\)增大；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(z\)减小；

故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times2+0=-\cfrac{1}{2}\)；

直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)+(-2)=-\cfrac{3}{2}\)；

(2)求\(z=-\cfrac{1}{4}x-y\)的最大值和最小值。

分析：将所给的目标函数改写成\(l:y=-\cfrac{1}{4}x-z\)，则可以看到\(-z\)的几何意义是直线\(l\)的纵截距，

则直线\(l\)沿\(y\)轴向上平移，则\(-z\)增大，则\(z\)减小；直线\(l\)沿\(y\)轴向下平移，则\(-z\)减小，则\(z\)增大；

故直线经过点\(A(2,0)\)时，\(z_{min}=-\cfrac{1}{4}\times2-0=-\cfrac{1}{2}\)；

直线经过点\(B(-2,-2)\)时，\(z_{max}=-\cfrac{1}{4}\times(-2)-(-2)=\cfrac{5}{2}\)；

典例剖析

已知约束条件\(\left\{\begin{array}{1}{x-3y+4\leq 0}\\ {x+2y-1 \ge 0 }\\ {3x+y-8\leq 0} \end {array}\right.\)，若目标函数\(z=x+ay(a \ge 0)\)恰好在点\((2，2)\)处取到最大值，求\(a\)的取值范围。

提示：法1，线性规划法；法2：分离参数法。

已知\(a>0\)，\(x，y\)满足约束\(\begin {cases} x \ge 1 \\ x+y \leq 3 \\ y\ge a(x-3) \end {cases}\)， 若\(z=3x+2y\)的最小值为1，则 \(a\) 的值为__________.

待编辑；

【2016陕西省一检理科数学第11题】设\(k>1\)，在约束条件\(\begin{cases} y\ge x \\ y\leq kx \\ x+y\leq 1\end{cases}\)下，目标函数\(z=x+ky\)的最大值小于2，则\(k\)的取值范围是多少？

课件地址

分析：自行补图，由图像可知目标函数\(y=-\cfrac{1}{k}x+\cfrac{z}{k}\)的最优解是直线\(y=kx\)和\(x+y=1\)的交点\((\cfrac{1}{k+1}，\cfrac{k}{k+1})\)，

代入得到\(z_{max}=\cfrac{1}{k+1}+\cfrac{k^2}{k+1}<2\)，化简得到\(k^2-2k+1<2\)，又\(k>1\)，故\(k\in (1，1+\sqrt{2})\).

若目标函数\(z=kx+2y\)在约束条件\(\begin{cases} 2x-y\leq 1 \\ x+y \ge 2 \\ y-x \leq 2\end{cases}\)下仅在点\((1，1)\)处取到最小值，则实数 \(k\) 的取值范围是多少？

分析：由图可知，仅在点\((1，1)\)处取到最小值，

则只需目标函数 \(y=-\cfrac{k}{2}x+\cfrac{z}{2}\) 的斜率满足条件 \(-1<-\cfrac{k}{2}<2\) 即可，解得 \(k\in(-4，2)\)；

引申：若题目变为：点\((1，1)\)处取到最小值或取到最小值的最优解不唯一，可得到\(k\in [-4，2]\)；

已知函数\(f(x)=\begin{cases} (\cfrac{1}{2})^x,&x<0 \\ x-2,&x\ge 0 \end{cases}\)，若\(f[f(-2)]=a\)，实数\(x，y\)满足约束条件\(\begin{cases} x-a \ge 0 \\ x+y\leq 6 \\ 2x-y\leq 6\end{cases}\)，则目标函数\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}\)的最大值是_________.

分析：先求得 \(a=2\) ，再代入做出可行域如图，

由可行域可以看出\(k=\cfrac{y+1}{x+2}\in [-\cfrac{1}{4}，\cfrac{5}{4}]\)，

再将目标函数变形\(z=\cfrac{3x+4y+10}{x+2}=\cfrac{3(x+2)+4y+4}{x+2}=3+4\times\cfrac{y+1}{x+2}\)，

从而可以计算出\(z\in [2，8]\).

若\(z=f(x,y)\)称为二元函数，已知\(f(x,y)=ax+by\)，\(\begin{cases} f(1,-2)-5 \leq 0 \\ f(1,1)-4\leq 0 \\ f(3,1)-10 \ge0\end{cases}\) ，则\(z=f(-1,1)\)的最大值等于( )

分析：由题目已知，能很快转化为在线性约束条件\(\begin{cases} a-2b-5 \leq 0 \\ a+b-4\leq 0 \\ 3a+b-10 \ge 0\end{cases}\)下，求目标函数\(z=f(-1,1)=-a+b\)的最大值问题。 余下解答略。

[2016全国第三次大联考第12题]设 \(P\) 是不等式组 \(\begin{cases}x\ge 0\\y\ge 0\\x+3y\leq 1\end{cases}\) 表示的平面区域内的任意一点，向量\(\vec{m}\)\(=\)\((-1，1)\)，\(\vec{n}\)\(=\)\((2，-1)\)，若\(\overrightarrow{OP}\)\(=\)\(\lambda\)\(\vec{m}\)\(+\)\(\mu\)\(\vec{n}\)，则\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围是多少？

分析：由\(\overrightarrow{OP}=(x，y)=(-\lambda+2\mu，\lambda-\mu)\)；

则有\(x=-\lambda+2\mu，y=\lambda-\mu\)代入已知的线性约束条件，

得到\(\begin{cases}-\lambda+2\mu\ge 0\\\lambda-\mu\ge 0\\-\lambda+2\mu+3(\lambda-\mu)\leq 1\end{cases}\)，求\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围，

即相当于已知\(\begin{cases}x-2y\leq 0\\x-y\ge 0 \\ 2x-y\leq1\end{cases}\)，求\(k=\cfrac{y-0}{x-(-1)}\)的取值范围，

如右图所示，故\(k_{min}=k_{BO}=0\)，\(k_{max}=k_{BA}=\cfrac{1-0}{1+1}=\cfrac{1}{2}\)，

故\(\cfrac{\mu}{\lambda+1}\)的取值范围为\([0，\cfrac{1}{2}]\)。

【向量的投影的几何意义】【2018西安八校联考第5题】已知\(O\)是坐标原点，点\(A(2，1)\)，点\(M(x，y)\)是平面区域\(\begin{cases}y\leq x\\x+y\leq 1\\y\ge -1\end{cases}\)内的一个动点，则\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最大值是多少？

法1：利用向量的坐标运算得到，\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=2x+y\)，故转化为求\(2x+y\)的最大值，即求\(z=2x+y\)的最大值，用线性规划的常规方法解决即可。

法2：利用向量的投影的几何意义求解，说明：点\(M\)是三角形区域内部及边界上的一个动点，动画只做了点\(M\)在边界上的情形；

注：图中有向线段\(OB\)是向量\(\overrightarrow{OM}\)在向量\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，它是可正，可负，可零的；

\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)，其中\(|\overrightarrow{OA}|\)是个定值，

故只需要求\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的最大值，而\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)的几何意义是\(\overrightarrow{OM}\)在\(\overrightarrow{OA}\)方向上的投影，

由图形可知，当点\(M(x，y)\)位于点\((2，-1)\)时投影\(|\overrightarrow{OM}|\cdot cos\theta\)最大，故将点\((2，-1)\)代入\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=3\)。

变式题1：求\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}\)的最小值是多少？

分析：由上图可以看出，当两个向量的夹角为钝角时，其投影是负值，故当点\(M\)位于点\(C\)时，其内积最小，

此时将点\((-1，-1)\)代入得到\(\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OM}=-3\)。

函数\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在区间\([-1，1]\)单调减少，且\(a＞0\)，则\(2a+b\)的最大值为________．

【分析】先由函数单调递减转化为恒成立，再转化为线性规划问题求解。

【解答】由函数\(y=x^3+3ax^2+3bx\)在区间\([-1，1]\)单调减少，

可得\(f'(x)=3x^2+6ax+3b\leq 0\)在\([-1，1]\)上恒成立，

即 \(\left\{\begin{array}{l}{f'(-1)\leq 0}\\{f'(1)\leq 0}\end{array}\right.\)， 即 \(\left\{\begin{array}{l}{3-6a+3b\leq 0}\\{3+6a+3b\leq 0}\end{array}\right.\)，

又\(a>0\)，得到 \(\left\{\begin{array}{l}{2a-b-1\ge 0}\\{2a+b+1\leq 0}\\{a>0}\end{array}\right.\)，

做出可行域如右图，由图可知，当直线\(z=2a+b\)，即\(b=-2a+z\)平移和直线\(2a+b+1= 0\)平行时，

\(2a+b\)取到最大值，最大值为\(-1\)。

本题容易受\(a>0\)的影响，即点\((0，-1)\)不在可行域内，

但可以在直线\(2a+b+1=0\)上另外取一点代入求值。

【点评】当利用恒成立转化为线性规划问题后，题目的难度就降低了。同时提醒注意由恒成立命题向二次不等式组转化的这一数学模型，希望大家能理解记忆，以后碰到就可以直接应用。

已知实数\(a、b\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{a+b-2\ge 0}\\{b-a-1\leq 0}\\{a\leq 1}\end{array}\right.\)，求\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\)的取值范围。

【法1】转化为斜率型，

思路如下：由于所求值函数为分式形式的关于\(a、b\)的一次齐次式，

故可以转化为\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{1+2\cdot \cfrac{b}{a}}{2+\cfrac{b}{a}}\)，

\(=2-\cfrac{3}{2+k}=f(k)\)，其中\(k=\cfrac{b}{a}\)

这样先由可行域求得\(k=\cfrac{b}{a}\in [1，3]\)

函数\(f(k)\)在区间\([1，3]\)上单调递增，

然后用单调性，求得\(\cfrac{a+2b}{2a+b}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)

【法2】换元法，令\(a+2b=n\)，\(2a+b=m\)，

联立解以\(a、b\)为元的方程组，得到

\(a=\cfrac{2m-n}{3}\)，\(b=\cfrac{2n-m}{3}\)，

代入原不等式组，可将原约束条件转化为关于\(m 、n\)的不等式组，

即已知\(m 、n\)满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{m+n-6\ge 0}\\{n-m-1\leq 0}\\{2m-n-3\leq 0}\end{array}\right.\)，

求\(\cfrac{n}{m}\)的取值范围。

利用数形结合思想可得，\(\cfrac{a+2b}{2a+b}=\cfrac{n}{m}\in [1，\cfrac{7}{5}]\)。图像

已知实数\(x\)，\(y\)满足\(\left\{\begin{array}{l}{x^2+y^2\leq 9}\\{x\ge 1}\\{y\ge 1}\end{array}\right.\)，则\(\cfrac{y}{x-5}\)的取值范围是____________。

分析：如图所示，从数上理解\(\cfrac{y}{x-5}=\cfrac{y-0}{x-5}\)，

从形上理解，应该是定点\(A(5，0)\)和动点\(P(x，y)\)的连线的斜率的取值范围；

故当\(k_{AP}\)最大时，点\(P\)坐标应该为\((1，1)\)，此时\(k_{max}=-\cfrac{1}{4}\)；

当\(k_{AP}\)最小时，点\(P\)位于直线\(y=k(x-5)\)和函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)相切的切点\(Q\)处，

以下重点求切点\(Q(x_0，y_0)\)的坐标；

法1：利用三角函数法求斜率；连结\(OQ\)，可知\(|OQ|=3\)，\(|AQ|=4\)，

\(k_{_{AQ}}=\tan\angle xAQ=-\tan\angle OAQ=-\cfrac{3}{4}\)；

故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)

故所求范围是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；

法2：利用等面积法和射影定理求解，

连结\(OQ\)，可知\(|OQ|=3\)，\(|AQ|=4\)，利用等面积法，可知\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，

代入函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)求得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，或利用射影定理\(OQ^2=x\cdot OA\)，求得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，

故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)

故所求范围是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；

法3：利用导数求切点\(Q(x_0，y_0)\)的坐标；当曲线变为椭圆的一部分时，此法才能显示威力；

由于\(y=g(x)=\sqrt{9-x^2}\)，则\(g'(x)=\cfrac{1}{2}\cdot (9-x^2)^{-\cfrac{1}{2}}\cdot (-2x)=\cfrac{-x}{\sqrt{9-x^2}}\)，

则\(k=\cfrac{-x_0}{\sqrt{9-x_0^2}}\)①，\(y_0=k(x_0-5)\)②，\(y_0=\sqrt{9-x_0^2}\)③，联立①②③，解得\(x_0=\cfrac{9}{5}\)，

代入函数\(y=\sqrt{9-x^2}\)，求得\(y_0=\cfrac{12}{5}\)，故\(k_{min}=k_{AQ}=-\cfrac{3}{4}\)，

故所求范围是\([-\cfrac{3}{4}，-\cfrac{1}{4}]\)；

【2019届高三理科数学二轮用题】已知不等式组\(\left\{\begin{array}{l}{2x-y\ge 0}\\{2-2y\leq 0}\\{x\leq 2}\end{array}\right.\)所表示的区域为\(\Omega\)，则区域\(\Omega\)的外接圆的面积为__________.

分析：做出如图所示的三角形可行域，三条边长可知，故求其外接圆的半径可以采用\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{abc}{4R}\)，

又由于\(S_{\triangle OAB}=\cfrac{1}{2}\times 3\times 2=3\)，则\(3=\cfrac{3\times \sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{4R}\)，解得\(R=\cfrac{5}{2}\)，故\(S_{外接圆}=\cfrac{25\pi}{4}\)。

解后反思：结合题目的具体条件，选择恰当的公式，计算量能相应的减少。

【2019届高三理科数学三轮用题】

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】实数\(x\)，\(y\)满足\(\left\{\begin{array}{l}{y\leqslant 2x+2}\\{x+y-2\geqslant 0}\\{x\leqslant 2}\end{array}\right.\)，则\(z=|x-y|\)的最大值为【】

$A.2$ $B.4$ $C.2\sqrt{2}$ $D.8$

分析：先用常规方法求得\(m=x-y\)的取值范围，可得\(m\in [-4，2]\)，则\(z=|m|\in [0，4]\)，故选\(B\)。

【2020届宝鸡市质量检测三文理科第15题】已知不等式组\(\left\{\begin{array}{l}{x\geqslant 0}\\{x-4y\leqslant 0}\\{3x+2y-14\leqslant 0}\end{array}\right.\)所表示的平面区域被直线\(y=kx\)分成面积相等的两部分，则\(k\)的值为__________.

分析： 如图所示，做出可行域，则点\(C\)应该是线段\(AB\)的中点；

思路1：用等面积法和中点坐标法，求得直线\(y=kx\)所经过的另一个点\(C(2,4)\)，故\(k=2\)

思路2：用向量法求得点\(C\)，设\(C(x,y)\)，则\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)，

即\((x-4,y-1)=(0-x,7-y)\)，解得\(C(2,4)\)，故\(k=2\)

引申：点\(C\)是线段\(AB\)的三等分点，求\(k\)；

此时用线段的定比分点坐标公式或者向量法可以求得点\(C\)的坐标；

比如用向量法，设\(C(x,y)\)，

当\(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=2(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{4}{3},5)\)，故\(k=\cfrac{15}{4}\);

当\(\overrightarrow{AC}=\cfrac{1}{2}\overrightarrow{CB}\)，即\((x-4,y-1)=\cfrac{1}{2}(0-x,7-y)\)，解得\(C(\cfrac{8}{3},3)\)，故\(k=\cfrac{9}{8}\);

难点题目

【学生资料上的难题】已知\(x^2+y^2\leq 1\)，求\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\)的最小值 .

思路1️⃣：转化为点线距之和求解；我们发现 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\)\(=\sqrt{5}\)\(\times\)\(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\)\(+\)\(\sqrt{10}\)\(\times\)\(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)，其中表达式 \(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\) 和 \(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\) 分别表示圆内及圆上的动点到两条直线的距离，故可以把“数”的问题转化为“形”的问题。

由于距离都是非负值，故可以考虑能否让其中一个为零，可以求得圆 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(=\)\(1\) 与直线 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(=\)\(0\) 的交点\(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\)；显然点 \(A\) 能使得 \(|2x+y-2|\) 取到最小值 \(0\) ，故此时只需要将点 \(A\) 的坐标代入 \(|x+3y-6|\) 计算即可；怎么老是感觉这个思路有点牵强呀 . 在20260413，再次编辑时，悟透了，两个距离的和的最小值，必然可以让其中一个取零。

计算得到 \(|x+3y-6|\)\(=\)\(|\cfrac{3}{5}\)\(+\)\(3\times\)\(\cfrac{4}{5}\)\(-\)\(6\)\(|=3\)，故 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\) 的最小值为 \(3\).

思路2️⃣：三角代换，学生一般很少考虑这个思路。

令\(x\)\(=\)\(R\cos\theta\)，\(y\)\(=\)\(R\sin\theta\)，\(R\)\(\in\)\([0，1]\)，

则 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\)\(\geqslant\)\(|(2x+y-2)+(x+3y-6)|\)\(=\)\(|3x+4y-8|\)

\(=\)\(|3R\cos\theta\)\(+\)\(4R\sin\theta\)\(-\)\(8|\)\(=\)\(|5R\sin(\theta+\phi)\)\(-8|\)\(=\)\(|8\)\(-\)\(5R\)\(\sin(\theta+\phi)|\)

故当 \(R\sin(\theta+\phi)\)\(=\)\(1\) 时，上式有最小值，最小值为 \(3\)；

补充思路，\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geqslant |(2x+y-2)-(x+3y-6)|=|x-2y+4|\)

\(=|R\cos\theta-2R\sin\theta+4|=|\sqrt{5}R\sin(\theta-\beta)+4|\)，可以这样思考计算吗，待后思考；

思路3️⃣：由 \(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(\leq\)\(1\)，可得 \(6-x-3y\)\(>\)\(0\)，故 \(|6-x-3y|\)\(=\)\(6-x-3y\)；

如图直线 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(=\)\(0\) 将圆 \(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(=\)\(1\) 分成两部分；

在直线的右上方(含直线，注意这会影响到可行域)，均有 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(\geq\)\(0\)，故有 \(|2x+y-2|\) \(=\) \(2x+y-2\)，且恒有\(6-x-3y\)\(>\)\(0\)，此时\(|2x+y-2|\)\(+\)\(|6-x-3y|\)\(=\)\((2x+y-2)\)\(+\)\((6-x-3y)\)\(=\)\(x\)\(-\)\(2y\)\(+\)\(4\)

利用线性规划【此时的可行域为图中的小弓形，绿色部分】可得在 \(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\) 处取得最小值 \(3\)；

在直线的左下方(含直线，注意这会影响到可行域)，均有 \(2x+y-2\)\(\leq\)\(0\)，故有\(|2x+y-2|\)\(=\)\(-(2x+y-2)\)

此时 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|6-x-3y|\)\(=\)\(-(2x+y-2)\)\(+\)\((6-x-3y)\)\(=\)\(8\)\(-\)\(3x\)\(-\)\(4y\)

利用线性规划【此时的可行域为图中的大弓形，蓝色部分】可得在 \(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\) 处取得最小值 \(3\)；

综上所述，答案为：\(3\).

思路4️⃣：利用不等式性质，\(|a|-|b|\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|\)，

\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geq |(2x+y-2)+(x+3y-6)|=|3x+4y-8|\) 或

\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geq |(2x+y-2)-(x+3y-6)|=|x-2y+4|\)，这个思路能不能行得通呢 .