整体与部分思想

前言

使用场景

• 函数的周期推导过程

1、\(f(x+a)=-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-(-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)

\(f(x+a)=b-f(x)\Leftrightarrow f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\;\;\;\;\;\)

推导：\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-(b-f(x))=f(x)\Longrightarrow T=2a\)

• 用整体思想简化解不等式，

如已知不等式\(x^2-3x+2\leq 0\)的解为\(1\leq x\leq 2\)，

故不等式\((x+1)^2-3|x+1|+2\leq 0\)的解为\(1\leq |x+1|\leq 2\)，

从而得到\(1\leq x+1\leq 2\)，或者\(1\leq -(x+1)\leq 2\)，

解得\(0\leq x\leq 1\)，或者\(-3\leq x\leq -2\)，

再比如不等式\(log_2^2x-3log_2x+2\leq 0\)的解为\(1\leq log_2x\leq 2\)，

解得\(2\leq x\leq 4\)，

【整体思想】已知关于\(x\)的方程\((\cfrac{1}{2})^x=\cfrac{1+lga}{1-lga}\)有正根，则实数\(a\)的取值范围是【】

$A.(0，1)$ $B.(\cfrac{1}{10}，10)$ $C.(\cfrac{1}{10}，1)$ $D.(10，+\infty)$

分析：若能想到将\(\cfrac{1+lga}{1-lga}\)看成一个整体\(b\)，则原题目变形为方程\((\cfrac{1}{2})^x=b\)有正根，结合图像可知，函数\(y=(\cfrac{1}{2})^x\)和函数\(y=b\)的图像在\((0，+\infty)\)上有交点，故\(b\in (0，1)\)。

故原题目就等价于\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，

解\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}\)，由穿根法得到，\(-1<lga<1\)，

解\(\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，变形得到\(\cfrac{2lga}{lga-1}>0\)，由穿根法得到\(lga<0\)或\(lga>1\)，

故\(-1<lga<0\)，解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)，故选\(C\).

解后反思：1、整个求解过程是将\(lga\)也看成一个整体，故能想到用穿根法求解；2、看到双联不等式的中间分式部分，若能联想到分式的常用变形，也可以这样求解；

由\(0<\cfrac{1+lga}{1-lga}<1\)，得到\(0<\cfrac{lga-1+2}{1-lga}<1\)，即\(0<-1+\cfrac{2}{1-lga}<1\)，故\(1<\cfrac{2}{1-lga}<2\)，且能得到\(1-lga>0\)，

故利用倒数法则得到\(\cfrac{1}{2}<\cfrac{1-lga}{2}<1\)，即\(1<1-lga<2\)，即\(-2<lga-1<-1\)，即\(-1<lga<0\)，解得解得\(a\in (\cfrac{1}{10}，1)\)，故选\(C\).

• 用整体思想研究函数的值域

如求函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{4})，x\in [0，\cfrac{\pi}{3}]\)的值域时，我们需要做函数图像，其中一种简便的方法是，以\(2x+\cfrac{\pi}{4}\)横轴，作图简单快捷，就是采用了整体思想。

• 用整体思想研究函数的单调性

如求函数\(f(x)=2sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)的单调递增区间时，我们常常是将\(2x+\cfrac{\pi}{4}\)看成整体，代入\(2k\pi-\cfrac{\pi}{2}\leq 2x+\cfrac{\pi}{4} \leq 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}(k\in Z)\)，求解双连不等式，得到单调递增区间，就是采用了整体思想。

• 复合函数的定义域的求解

\(f(x)\)与\(f(2x+1)\)

• 函数的奇偶性的研究，

比如\(f(x)=x^3+sinx\)，整体有奇偶性，\(f(x)\)是奇函数，但是\(h(x)=x^3+sinx+1\)，却是整体没有奇偶性，其中的部分\(x^3+sinx\)有奇偶性。

【函数的一部分\(g(x)\)有奇偶性】设函数\(f(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x+1\)，若\(f(3)=10\)，则\(f(-3)\)=【】

$A.-8$ $B.-10$ $C.-9$ $D.-11$

分析：令\(g(x)=(a^2-4)x^5+2x^3+(a-2)x+sin2x\)，则\(g(x)\)为奇函数，则\(g(-x)=-g(x)\)，

这样\(f(x)=g(x)+1\)，由于\(f(3)=g(3)+1=10\)，

令\(f(-3)=m=g(-3)+1\)，两式相加得到，

\(g(3)+1+g(-3)+1=10+m\)，即\(g(3)+g(-3)+2=10+m\)，即\(2=10+m\)，

解得\(m=-8\)，即\(f(-3)=-8\)，故选\(A\)。

• 利用部分的正负，可知整体的正负，

如利用\(e^x>0\)，可知判断导函数\(f'(x)=(x^2-3x+2)\cdot e^x\)的正负，只需要判断\(y=x^2-3x+2\)的正负；