2018年全国卷Ⅲ卷文科数学解析

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

选择题

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第7题】下列函数中，其图像与函数$y=lnx$的图像关于直线$x=1$对称的是【$\qquad$】

$A.y=\ln(1-x)$ $B.y=\ln(2-x)$ $C.y=\ln(1+x)$ $D.y=ln(2+x)$

解析1：图像法，先做出函数$y=\ln x$关于 $y$ 轴对称的函数 $y=\ln(-x)$ 的图像，再将其向右平移两个单位即可，得到$y=ln[-(x-2)]=ln(2-x)$，故选 $B$ .

解析2：待求解的函数图像上任取一点 $P_0(x_0，y_0)$，则其关于直线 $x=1$ 的对称点坐标为 $P(2-x_0，y_0)$，则其必然满足 $y=\ln x$，得到 $y_0=ln(2-x_0)$，即 $y=ln(2-x)$ ，故选 $B$。

解析3：由于点$(1，0)$在给定函数图像上，也在对称轴上，则其必然也在所求函数图像上，代入验证，故选$B$。

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第8题】函数$y=f(x)=-x^4+x^2+2$的图像大致为【$\hspace{2em}$】

【解析】图像缺失，偶函数，$f(0)=2$，$f(1)=2$，故选D.

【整理理由】：用穿根法做函数$y=f'(x)$的图像，$f'(x)=-4x^3+2x=-2x(2x^2-1)=-2x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$

先用手工做出函数$y=x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$的图像，再做出函数$y=-2x(\sqrt{2}x+1)(\sqrt{2}x+1)$的图像，由此可以看出

函数$f(x)$在$(0，\cfrac{\sqrt{2}}{2})$上单调递增，在$(\cfrac{\sqrt{2}}{2}，+\infty)$上单调递减。

填空题

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第16题】已知函数$f(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1$，$f(a)=4$，则$f(-a)=$_________________

【解析】:令函数$g(x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)$ ，则$g(x)+g(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+ln(\sqrt{x^2+1}+x)=ln((\sqrt{x^2+1})^2-x^2)=ln1=0$，故函数$g(x)$为奇函数。

同理，$f(x)+f(-x)=ln(\sqrt{x^2+1}-x)+1+ln(\sqrt{x^2+1}+x)+1=2$，即$f(x)+f(-x)=2$，

$f(a)+f(-a)=2$，$f(a)=4$，得到$f(-a)=-2$。

【备注】：$f(x)+f(-x)=2$，则函数$f(x)$关于点$(0，1)$对称。

解答题

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第21题】已知函数$f(x)=\cfrac{ax^2+x-1}{e^x}$.

(1)求曲线$y=f(x)$在点$(0，-1)$处的切线方程。

【解析】：$f'(x)=\cfrac{(2ax+1)e^x-(ax^2+x-1)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{-ax^2+2ax-x+2}{e^x}$

由$f'(0)=2$，故由点斜式得到切线方程为$y-(-1)=2(x-0)$，即$2x-y-2=0$。

(2)证明：当$a\ge 1$时，$f(x)+e\ge 0$。

证明【证明的难点是放缩】：

当$a\ge 1$时，$f(x)+e\ge (x^2+x-1+e^{x+1})\cdot e^{-x}$，由于$e^{-x}>0$恒成立，故可以考虑甩掉她，

令$g(x)=x^2+x-1+e^{x+1}$，则$g'(x)=2x+1+e^{x+1}$，

【经验之谈：导数的解答题到此，我们可以这样寻找分界点，当题目中含有$e^x$时，可以考虑用$x=0$来尝试分界点，由于$e^0=1$；当题目中含有$lnx$时，可以考虑用$x=1$来尝试分界点，由于$ln1=0$】

我们很容易发现，$x=-1$是分界点，故可以这样写结果，

当$x<-1$时，$g'(x)<0$，$g(x)$单调递减，当$x>-1$时，$g'(x)>0$，$g(x)$单调递增，

故$g(x)_{min}=g(-1)=0$，故有$g(x)\ge g(-1)=0$

则$g(x)\cdot e^{-x}\ge g(-1)\cdot e^{-x}=0$，即$f(x)+e\ge 0$。

【解后反思】注意不等式放缩。此题的解法同于2018高考一卷文科第21题(2)的解答思路。

【2018年全国卷Ⅲ卷文科数学第22题】在平面直角坐标系$xoy$中，$\odot O$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cos\theta}\\{y=sin\theta}\end{array}\right.(\theta为参数)$，过点$(0，-\sqrt{2})$且倾斜角为$\alpha$的直线$l$与$\odot O$交于$A，B$两点。

(1)求$\alpha$的取值范围；

分析：先设出直线带斜率$k$的方程，再联立圆方程组成方程组，由于线与圆相交于两个点，则$\Delta>0$ 或者圆心到直线的距离$d < r=1$，都可以求解。
不过在设直线方程时需要分类讨论；

【解析】当$\alpha=\cfrac{\pi}{2}$时，直线的斜率不存在，直线为$x=0$满足条件。

当$\alpha=\cfrac{\pi}{2}$时，设直线方程为$y+\sqrt{2}=kx$，即直线为$kx-y-\sqrt{2}=0$，$\odot O$的直角坐标方程为$x^2+y^2=1$，故圆心到直线的距离$d=\cfrac{|-\sqrt{2}|}{\sqrt{k^2+1}}<1$，

解得$k^2>1$，即$k>1$或者$k<-1$，借助$y=tan\alpha（0\leq \alpha<\pi）$的函数图像可知，

当$k>1$时，$\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}$，当$k<-1$时，$\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4}$，

综上所述，$\alpha$的取值范围为$(\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4})$；

(2)求$AB$中点$P$的轨迹的参数方程。

分析：看到题目中的$AB$中点$P$时，你应该想到直线的参数方程中的一个常识：

设点$A，B$对应的参数分别为$t_A，t_B$，线段$AB$的中点$P$对应的参数为$t_P$，则有$\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P$

【解析】由题目设直线$l$的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t\cdot sin\alpha}\end{array}\right.(t为参数，\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})$，

设$A、B、P$对应的参数分别为$t_A、t_B、t_P$，则有$t_P=\cfrac{t_A+t_B}{2}$，

将直线$l$的参数方程，代入圆$O$的直角坐标方程，整理得到$t^2-2\sqrt{2}sin\alpha+1=0$，

则由韦达定理有$t_A+t_B=2\sqrt{2}sin\alpha$，由中点坐标公式得到$t_P=\sqrt{2}sin\alpha$，

又由于点$P$在直线$l$上，故满足直线的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=t_P\cdot cos\alpha}\\{y=-\sqrt{2}+t_P\cdot sin\alpha}\end{array}\right.$，

代入得到点$P$的轨迹的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\cfrac{\sqrt{2}}{2} sin2\alpha}\\{y=-\cfrac{\sqrt{2}}{2}-\cfrac{\sqrt{2}}{2} cos2\alpha}\end{array}\right.(\alpha为参数，\cfrac{\pi}{4}<\alpha<\cfrac{3\pi}{4})$，

【解后反思】1、注意设直线方程时的分类讨论。2、注意直线参数方程中的中点坐标公式$\cfrac{t_A+t_B}{2}=t_P$。