2018年全国卷Ⅰ卷文科数学解析

前言

选择题

【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第11题】已知角\(\alpha\)的顶点为坐标原点，始边与\(x\)轴的非负半轴重合，终边上有两点\(A(1，a)\)，\(B(2，b)\)，且\(cos2\alpha=\cfrac{2}{3}\)，则\(|a-b|=\) 【】

$A.\cfrac{1}{5}$ $B.\cfrac{\sqrt{5}}{5}$ $C.\cfrac{2\sqrt{5}}{5}$ $D.1$

分析：自行做出示意图，由选项可知，可以将角的终边放置在第一象限，这样\(b>a\)，

从而所求\(|a-b|=\cfrac{|a-b|}{1}=\cfrac{b-a}{1}=tan\alpha\)，

到此题目转化为已知\(cos2\alpha=\cfrac{2}{3}\)，求\(tan\alpha\)的值，

即已知\(cos2\alpha=\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{cos^2\alpha-sin^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=\cfrac{2}{3}\)，

从而解得\(tan^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，则\(tan\alpha=\cfrac{\sqrt{5}}{5}\)，故选\(B\)。

解答题

【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第21题】 函数\(f(x)=a\cdot e^x-lnx-1\)，

(1)、设\(x=2\)是\(f(x)\)的极值点，求\(a\)，并求\(f(x)\)的单调区间。

分析：\(f'(x)=ae^x-\cfrac{1}{x}\)，由\(f'(2)=0\)，解得\(a=\cfrac{1}{2e^2}\)；

即\(f(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-lnx-1\)；

下面求单调区间，定义域是\((0，+\infty)\)，

【法1】：\(f'(x)=\cfrac{e^x}{2e^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{2e^2}\cdot \cfrac{xe^x-2e^2}{x}\)

到此，结合题目给定的\(f'(2)=0\)，猜想验证，写出结果，

当\(0< x <2\)时，\(f'(x )<0\)，当\(x >2\)时，\(f'(x) >0\)，

故单调递减区间是\((0，2)\)，单调递增区间是\((2，+\infty)\)；

【法2】：令\(f'(x)>0\)，即\(\cfrac{e^x}{2e^2}>\cfrac{1}{x}\)，即\(xe^x-2e^2>0\)，观察可得，\(x >2\)

同理，令\(f'(x)<0\)，可得\(0< x < 2\)，

故单调递减区间是\((0，2)\)，单调递增区间是\((2，+\infty)\)；

(2)、证明\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时，\(f(x)\ge 0\)。

【法1】： 已知题目\(a\ge \cfrac{1}{e}\)是\(f(x)\ge 0\)的充分条件，转化为求\(f(x)\ge 0\)恒成立时，求解\(a\)的取值范围，即必要条件。

由题目\(f(x)\ge 0\)可知，\(ae^x-lnx-1 \ge 0\)，即\(ae^x\ge lnx+1\)，

分离参数得到\(a\ge \cfrac{lnx+1}{e^x}\)恒成立，

令\(h(x)= \cfrac{lnx+1}{e^x}\)，只需要求得\(h(x)_{max}\)，

\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}e^x-(lnx+1)e^x}{(e^x)^2}=\cfrac{\cfrac{1}{x}-lnx-1}{e^x}\)

\(=\cfrac{1}{e^x}\cdot \cfrac{1-x-x\cdot lnx}{x}\)

说明：此时有一个很实用的数学常识，当表达式中含有\(lnx\)时常常用\(x=1\)来尝试寻找分点。比如此题中\(h'(1)=0\)

然后分\((0，1)\)和\((1，+\infty)\)两段上分别尝试判断其正负，从而得到

当\(0< x <1\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，

当\(x >1\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

故\(x=1\)时，函数\(h(x)_{max}=h(1)=\cfrac{1}{e}\)，

故\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时，\(f(x)\ge 0\)。

小结：1、本题转而求\(f'(x)\ge 0\)的必要条件。

2、注意含有\(lnx\)或\(ln(x+1)\)的表达式的分点的尝试，其实质是数学中的观察法。

【法2】：分析，当\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时，\(f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1=g(x)\)，只需要说明\(g(x)_{min}\ge 0\)即可。

当\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时，\(f(x)\ge \cfrac{e^x}{e}-lnx-1\)，

设\(g(x)=\cfrac{e^x}{e}-lnx-1\)，则\(g'(x)=\cfrac{e^x}{e}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1}{e}\cdot \cfrac{xe^x-1\cdot e^1}{x}\)，

故用观察法容易得到

\(0< x <1\)时，\(g'(x)<0\)，\(x > 1\)时，\(g'(x)>0\)，

即\(x=1\)是函数\(g(x)\)的最小值点，则\(x>0\)时，\(g(x)\ge g(1)=0\)，

故\(a\ge \cfrac{1}{e}\)时，\(f(x)\ge 0\)。

【2018年全国卷Ⅰ卷文科数学第22题】【题文】 略

分析：对应图像