2018年全国卷Ⅱ卷文科数学解析[陕]

前言

从一个数学老师的角度来解析2018高考，结合学生的实际学情，给出学习建议。

一、选择题

№01【题文】 \(i(2+3i)=\)【\(\hspace{2em}\)】

A.\(3-2i\hspace{4em}\) B. \(3+2i\hspace{4em}\) C. \(-3-2i\hspace{4em}\) D.\(-3+2i\hspace{4em}\)

【解析】\(i(2+3i)=-3+2i\)，故选D，送分题。

【说明】文科考查复数的乘法运算，理科考查复数的除法运算。

№02【题文】 已知集合\(A=\{1，3，5，7\}\)，\(B=\{2，3，4，5\}\)，则\(A\cap B=\)【\(\hspace{2em}\)】

A.\(\{3\}\hspace{4em}\) B. \(\{5\}\hspace{4em}\) C. \(\{3，5\}\hspace{4em}\) D.\(\{1，2，3，4，5，7\}\hspace{4em}\)

【解析】\(A\cap B=\{3，5\}\)，故选C，送分题。

№03【题文】 函数$f(x)=\cfrac{e^x-e^{-x}}{x^2}$图像大致是【$\hspace{2em}$】。

【分析】本题目考查函数图像的辨析，需要利用函数的性质求解，函数的性质常包含定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、特殊值、驻点等等，具体要用到哪些性质往往因题目而异。

解法1由题目先分析函数的奇偶性，设\(g(x)=e^x-e^{-x}\)，则\(g(-x)=e^{-x}-e^x=-g(x)\)，即函数\(g(x)\)为奇函数，又函数\(y=x^2\)为偶函数，故函数\(f(x)\)为奇函数，排除选项A；

再由特殊值法，令\(x=3\)，则估算\(f(3)=\cfrac{e^3-e^{-3}}{3^2}\approx\cfrac{2.7^3}{3^2}\approx 2\)，排除C、D；

故选B。

解法2还可以利用奇偶性和单调性来解析本题目，奇偶性如上所述；

单调性，\(f'(x)=\cfrac{(e^x+e^{-x})x^2-(e^x-e^{-x})\cdot 2x}{(x^2)^2}=\cfrac{(x-2)e^x+(x+2)e^{-x}}{x^3}\)，接下来常规方法是判断其在\(x>0\)时的准确的单调区间，这时候不但麻烦，而且已经将题目变成了做函数图像的方法了，不是辨析函数图像的方法，
此时我们观察可以看到当\(x>2\)时，\(f'(x)>0\)，故函数\(f(x)\)在\((2，+\infty)\)上单调递增，故排除C和D，从而选B。

反思1、弄清楚题目的类型和相应的解法思路是非常必要的。
2、函数的奇偶性的判断中，有一个常用的方法就是利用性质，比如\(奇+奇=奇，奇\times奇=偶，奇\times偶=奇，奇/偶=奇\)，这些常见的结论一般的高三复习资料上都会有的。

建议常见函数的奇偶性需要记忆比如，

\(f(x)=|x|\)，\(f(x)=e^x+e^{-x}\)，\(f(x)=Acos\omega x\)都是偶函数；

\(y=x^3\)，\(y=e^x-e^{-x}\)，\(y=Asin\omega x\)都是奇函数。

№04【题文】 已知向量$\vec{a}，\vec{b}$满足$|\vec{a}|=1$，$\vec{a}\cdot \vec{b}=1$，则$\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=$【$\hspace{2em}$】

A.\(4\hspace{4em}\) B. \(3\hspace{4em}\) C. \(2\hspace{4em}\) D.\(0\hspace{4em}\)

【解析】\(\vec{a}\cdot (2\vec{a}-\vec{b})=2\vec{a}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=2\times1+1=3\)，故选B，送分题。

№05【题文】 从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率是【$\hspace{2em}$】

A.\(0.6\hspace{4em}\) B. \(0.5\hspace{4em}\) C. \(0.4\hspace{4em}\) D.\(0.3\hspace{4em}\)

【解析】【文科】两个男生记为\(A，B\)，三个女生记为\(a，b，c\)，则从5个同学中任选2个同学参加服务，

可以列举得出共有10种结果\((A，B)\)，\((A，a)\)，\((A，b)\)，\((A，c)\)，\((B，a)\)，\((B，b)\)，\((B，c)\)，\((a，b)\)，\((a，c)\)，\((b，c)\)，

其中2人都是女同学的共有3种\((a，b)\)，\((a，c)\)，\((b，c)\)，，故\(P=\cfrac{3}{10}=0.3\)，故选D，送分题。

【理科】\(P=\cfrac{C_3^2}{C_5^2}=\cfrac{3}{10}=0.3\)。

【建议】对文科学生而言，从5(6个或7个)个学生中任选2个(3个)的列举方法和结果，需要非常熟练快速准确才行。

№06【题文】 双曲线$\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$的离心率为$\sqrt{3}$，则其渐近线方程为【$\hspace{2em}$】

A.\(y=\pm\sqrt{2}x \hspace{4em}\) B. \(y=\pm\sqrt{3}x \hspace{4em}\) C. \(y=\pm\cfrac{\sqrt{2}}{2}x \hspace{4em}\) D.\(y=\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}x \hspace{4em}\)

【解析】由已知\(e=\cfrac{c}{a}=\sqrt{3}\)，则有\(c=\sqrt{3}k(k>0)\)，\(a=k\)，从而\(b=\sqrt{2}k\)，

由\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)，得到其渐近线方程为\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0\)，即\(y=\pm\cfrac{b}{a}x=\pm\cfrac{\sqrt{2}k}{k}x=\pm\sqrt{2}x\)，故选A。

【建议】巧妙记忆：双曲线\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(\cfrac{x^2}{a^2}-\cfrac{y^2}{b^2}=0\)；

№07【题文】 在$\Delta ABC$中，$cos\cfrac{C}{2}=\cfrac{\sqrt{5}}{5}$，$BC=1$，$AC=5$，则$AB=$【$\hspace{2em}$】

A.\(4\sqrt{2} \hspace{4em}\) B. \(\sqrt{30} \hspace{4em}\) C. \(\sqrt{29} \hspace{4em}\) D.\(2\sqrt{5}\hspace{4em}\)

【解析】由降幂升角公式得到，\(cosC=2cos^2\cfrac{C}{2}-1=-\cfrac{3}{5}\)，

再由余弦定理可得，\(AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot cosC\)

\(=25+1-2\times 5\times 1\times(-\cfrac{3}{5})=32\)，故\(AB=4\sqrt{2}\)，选A。

№08【题文】 为计算$S=1-\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}-\cfrac{1}{4}+\cdots+\cfrac{1}{99}-\cfrac{1}{100}$，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入【$\hspace{2em}$】

A.\(i=i+1\hspace{4em}\) B. \(i=i+2\hspace{4em}\) C. \(i=i+3\hspace{4em}\) D.\(i=i+4\hspace{4em}\)

【解法1】先按照循环次序执行看看，

\(Step1，1<100，是，N=0+\cfrac{1}{1}，T=0+\cfrac{1}{2}\)，

若\(i=i+1\)，

则\(Step2，2<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{2}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}\)，若最后退出循环，则\(S=N-T\)中就没有\(-\cfrac{1}{2}\)，故\(i=i+1\)错误；

若\(i=i+2\)，

则\(Step2，3<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}\)，

则\(Step3，5<100，是，N=\cfrac{1}{1}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}，T=\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{6}\)，若最后退出循环，则\(S=N-T\)刚好满足题意，故\(i=i+2\)正确；

同理，若\(i=i+3\)，若\(i=i+4\)，最后都会推出错误，故选B；

【解法2】(此方法思维要求高些)注意到\(S\)中的表达式特点是一正一负相间出现，分母是连续的自然数，故\(N\)计算的是分母是正奇数的分数，间隔为2，\(T\)计算的是分母是正偶数的分数，间隔为2，最后由\(S=N-T\)完成组合，满足题意，故选\(i=i+2\)，选B；

№09【题文】 在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，$E$为棱$CC_1$的中点，则异面直线$AE$与$CD$所成角的正切值为【$\hspace{2em}$】

A.\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\hspace{4em}\) B. \(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}\) C. \(\cfrac{\sqrt{5}}{2}\hspace{4em}\) D.\(\cfrac{\sqrt{7}}{2}\hspace{4em}\)

【解法1】连结\(BE\)，由于\(CD//AB\)，故\(\angle BAE\)即为两异面直线所成的角，

令正方体的棱长为2，由\(CE=1，BC=2\)，可知\(BE=\sqrt{5}\)，又对角线\(AC=2\sqrt{2}\)，\(CE=1\)，则\(AE=3\)

在\(Rt\Delta ABE\)中，\(AB=2，BE=\sqrt{5}\)，则\(tan\angle BAE=\cfrac{\sqrt{5}}{2}\)，故选C。

【建议】1、异面直线所成的角，需要先平移其中一条，变为共面直线所成的角，如果要求其大小，可以放置在某个三角形中，通过解三角形完成；

2、棱长设为2的运算量和运算难度比棱长设为1要小一些。

【解法2】空间向量法。感觉比法1要慢一些。

№10【题文】 若$f(x)=cosx-sinx$在$[0，a]$上是减函数，则$a$的最大值是【$\hspace{2em}$】

A.\(\cfrac{\pi}{4}\hspace{4em}\) B. \(\cfrac{\pi}{2}\hspace{4em}\) C. \(\cfrac{3\pi}{4}\hspace{4em}\) D.\(\pi\hspace{4em}\)

【解法1】由题目可知，\(f'(x)=-sinx-cosx\leq 0\)在\([0，a]\)上恒成立，

即\(sinx+cosx\ge 0\)在\([0，a]\)上恒成立，

即\(sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\geqslant 0\)在\([0，a]\)上恒成立，将\(4\)个选项代入验证，

满足题意\(\sin x+\cos x\geqslant 0\)恒成立的选项有\(A\)，\(B\)，\(C\)， 其中只有选项\(C\)使得\(a\)最大，故选\(C\)。

【解法2】图像法，做出函数图像，观察发现，\(a\)的最大值是\(\cfrac{3\pi}{4}\)，故选C。

【解法3】集合法，\(f(x)=cosx-sinx=\sqrt{2}cos(x+\cfrac{\pi}{4})\)，

由\(0+2k\pi\leq x+\cfrac{\pi}{4}\leq \pi+2k\pi(k\in Z)\)，得到\(-\cfrac{\pi}{4}+2k\pi\leq x\leq \cfrac{3\pi}{4}+2k\pi(k\in Z)\)，

因此，\([0，a]\subseteq [-\cfrac{\pi}{4}，\cfrac{3\pi}{4}]\)，即\(-\cfrac{\pi}{4}\leq 0\)，\(0< a\)，\(a\leq \cfrac{3\pi}{4}\)

则\(0< a\leq \cfrac{3\pi}{4}\)，故\(a_{max}=\cfrac{3\pi}{4}\)，故选C。

№11【题文】 已知$F_1，F_2$是椭圆$C$的两个焦点，$P$是$C$上一点，若$PF_1\perp PF_2$，且$\angle PF_2F_1=60^{\circ}$，则$C$的离心率是【$\hspace{2em}$】

A.\(1-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\hspace{4em}\) B. \(2-\sqrt{3}\hspace{4em}\) C. \(\cfrac{\sqrt{3}-1}{2}\hspace{4em}\) D.\(\sqrt{3}-1\hspace{4em}\)

【解析】自行做出示意图，有图可知，在\(Rt\Delta PF_1F_2\)中，\(\angle F_1PF_2=90^{\circ}\)，\(\angle PF_2F_1=60^{\circ}\)，\(F_1F_2=2c\)，故\(PF_2=c\)，\(PF_1=\sqrt{3}c\)，

由椭圆的定义可知，\(|PF_1|+|PF_2|=2a\)，即\(c+\sqrt{3}c=2a\)，解得\(e=\cfrac{c}{a}=\cfrac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1\)，故选D。

【建议】用圆锥曲线的定义解题，是高考中的一个高频考查方式。第20题(1)中就用到抛物线的定义\(|AB|=|AF|+|BF|=x_1+x_2+p\)

№12【题文】已知函数$f(x)$是定义在$(-\infty，+\infty)$上的奇函数，满足$f(1-x)=f(1+x)$，若$f(1)=2$，则$f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=$【$\hspace{2em}$】。

A.\(-50\hspace{4em}\) B.\(0\hspace{4em}\) C.\(2\hspace{4em}\) D.\(50\)

【解析】先将奇函数性质改写为，\(f(x)=-f(-x)①\)；再将对称性\(f(1-x)=f(1+x)\)改写为\(f(2-x)=f(x)②\)，

由①②式可知，\(f(2-x)=-f(-x)\)，即\(f(2+x)=-f(x)\)，故\(T=2\times 2=4\)，

这样\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)\)，接下来就是重点求这些函数值；

由于函数是定义在\(R\)上的奇函数，故\(f(0)=0\)，则\(f(4)=f(4-4)=f(0)=0\)，

令\(x=0\)，则由\(f(2-x)=-f(-x)\)可得到\(f(2-0)=-f(-0)=f(0)=0\)，即\(f(2)=0\)，

\(f(3)=f(3-4)=f(-1)=-f(1)=-2\)，故\(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0\)，

即所求\(f(1)+f(2)+f(3)+\cdots+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)+f(2)=f(1)+f(2)=2\)，故选C

【建议】熟练掌握以下的变形和数学思想方法：
比如对称性+奇偶性\(\Longrightarrow\)周期性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x) \\\ - f(-x)&= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(2-x)=- f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\)

奇偶性+周期性\(\Longrightarrow\)对称性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(x+4)=-f(x)\)，

则由\(\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow\)对称轴是\(x=2\)


对称性+周期性\(\Longrightarrow\)奇偶性的变形例子

如，已知函数\(f(x)\)的周期是2，且满足\(f(2+x)=f(-x)\)，

则由\(\begin{align*} f(2+x) &=f(-x) \\ f(2+x) &= f(x)\end{align*}\) \(\Bigg\}\Longrightarrow f(-x)= f(x)\Longrightarrow\)函数\(f(x)\)是偶函数。

本题目实际上考查的是正弦函数模型。

二、填空题

№13【题文】 曲线$y=2lnx$在点$(1，0)$处的切线方程是________________。

【解析】\(f'(x)=\cfrac{2}{x}\)，则\(k=f'(1)=2\)，又切点为\((1，0)\)，故切线方程为\(y-0=2(x-1)\)，即\(y=2x-2\)，送分题。

【说明】在点处的切线和过点处的切线是有很大区别的。曲线的切线

№14【题文】 若$x，y$满足约束条件$\begin{cases}x+2y-5\ge 0\\x-2y+3\ge 0\\x-5\leq 0\end{cases}$，则$z=x+y$的最大值是___________。

【解析】线性规划题目中的最基础的考查题型，做出可行域，通过平移目标直线就可以作答。提示：\(z_{max}=9\)

还有的同学直接求出三角形可行域三个顶点坐标代入，验证得到答案，对于这类题目此方法也是可行的。但不建议用这个方法，毕竟不利于对数学本质的理解。

【建议】1、关于线性规划题目，这几年的高考题目几乎就考查到这个难度(直线的截距型)，一般我们平时训练题目难度都比这个类型要难一些，比如斜率型，距离型等。

2、建议看看这篇博文，线性规划相关

№15【题文】 已知$tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=\cfrac{1}{5}$，则$tan\alpha$=______________。

【解析】本题目是三角函数求值中的给值求值类型，而且是比较简单的类型，只需要将已知条件化简，\(tan(\alpha-\cfrac{5\pi}{4})=tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{1}{5}\)，

即\(tan(\alpha-\cfrac{\pi}{4})=\cfrac{tan\alpha-tan\cfrac{\pi}{4}}{1+tan\alpha\cdot tan\cfrac{\pi}{4}}=\cfrac{tan\alpha-1}{1+tan\alpha}=\cfrac{1}{5}\)，

解方程即可得到\(tan\alpha=\cfrac{3}{2}\)。

【建议】1、三角函数中的给值求值类型，三角函数的求值

2、\(tan\alpha\)的给出方式，\(tan\alpha\)的各种可能给出方式

№16【题文】已知圆锥的顶点为$S$，母线$SA，SB$互相垂直，$SA$与圆锥底面所成角为$30^{\circ}$，若$\Delta SAB$的面积为8，则该圆锥的体积为___________。

【解析】设圆锥的母线长为\(x\)，底面半径为\(r\)，则由等腰直角三角形\(S_{\Delta SAB}=8=\cfrac{1}{2}x^2\)，解得\(x=4\)，

又在\(Rt\Delta SAO\)中，\(SA=4\)，\(\angle SAO=30^{\circ}\)，则\(OA=r=2\sqrt{3}\)，\(SO=2\)

则\(V=\cfrac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot SO=\cfrac{1}{3}\cdot \pi (2\sqrt{3})^2\cdot 2=8\pi\)。

三、解答题

№17【题文】

【解析】

№18【题文】

【解析】

对应课件

№19【题文】

【解析备忘】注意等面积法的运用，\(\cfrac{1}{2}OM\cdot CH=\cfrac{2}{3}\cdot \cfrac{1}{2}OB\cdot OC\)

或\(\cfrac{1}{2}OM\cdot CH=\cfrac{1}{2}\cdot OM\cdot OC\cdot sin45^{\circ}\)

№20【题文】设抛物线$C：y^2=4x$的焦点为$F$，过$F$且斜率为$k(K>0)$的直线$l$与$C$相交于$A，B$两点，$|AB|=8$

(1)求\(l\)的方程。

(2)求过点\(A，B\)且与\(C\)的准线相切的圆的方程。

【解析】

(1)先说明抛物线的基础知识，焦点为\(F(1，0)\)，准线为\(x=-1\)；

[法1]：详见下面的标准答案；

[法2]：设\(l\)的方程为\(y=k(x-1)(k>0)\)，设\(A(x_1，y_1)\)，\(B(x_2，y_2)\)，

联立\(y^2=4x\)，消去\(y\)得到\(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0\)，

则\(x_1+x_2=\cfrac{2k^2+4}{k^2}\)，\(x_1x_2=1\)，

由\(|AB|=8=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)，代入计算得到

\(k^2=1\)，即\(k=1(k=-1舍去)\)，即\(l\)的方程为\(y=x-1\)。

[法3]：设直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=1+cos\alpha\cdot t\\y=sin\alpha\cdot t\end{cases}(t为参数)\)，这样我们只需要求出\(tan\alpha=k\)；

将直线的参数方程代入\(y^2=4x\)，整理为\(sin^2\alpha\cdot t^2-4cos\alpha \cdot t-4=0\)，

令点\(A，B\)对应的参数分别是\(t_1，t_2\)，则可知\(\Delta >0\)，

\(t_1+t_2=\cfrac{4cos\alpha}{sin^2\alpha}\)，\(t_1t_2=\cfrac{-4}{sin^2\alpha}\)，

由\(|AB|=|t_1-t_2|=\sqrt{(t_1+t_2)^2-4t_1t_2}=8\)，代入整理得到\(16=64sin^4\alpha\)，即\(sin\alpha=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，

则\(cos\alpha=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，\(k=tan\alpha=1\)，故\(l\)的方程为\(y=x-1\)。

(2)将\(k=1\)代入得到\(x_1+x_2=6\)，即\(\cfrac{x_1+x_2}{2}=3\)，即\(AB\)中点横坐标为\(3\)，代入\(y=x-1\)得到纵坐标为\(2\)，即中点坐标\((3，2)\)

从而得到\(AB\)中垂线方程为\(y-2=-1(x-3)\)，即\(y=-x+5\)，设圆心坐标为\((x_0，y_0)\)，

则有\(y_0=-x_0+5\)，且满足\(x_0-(-1)=\sqrt{(x_0-3)^2+(y_0-2)^2+4^2}\)，

代入消元\(y_0\)，得到\(x_0^2-14x_0+33=0\)，解得\(x_0=3\)或\(x_0=11\)，

当\(x_0=3\)时，\(y_0=-2\)，此时半径\(r=x_0+1=4\)，即圆的方程为\((x-3)^2+(y+2)^2=4^2=16\)；

当\(x_0=11\)时，\(y_0=6\)，此时半径\(r=x_0+1=12\)，即圆的方程为\((x-11)^2+(y-6)^2=12^2=144\)；

故圆的方程为\((x-3)^2+(y+2)^2=4^2=16\)或 \((x-11)^2+(y-6)^2=12^2=144\) ；

【说明】第(1)问中的法2的运算量明显比法1要大一些。法1利用抛物线的定义和性质\(|AB|=|AF|+|BF|=x_1+\cfrac{p}{2}+x_2+\cfrac{p}{2}=x_1+x_2+p\)；

法2利用\(|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}\)，且由于受\(|AB|=|t_1-t_2|\)的影响，容易错误的写成\(|AB|=|x_1-x_2|\)；

№21【题文】 已知函数$f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)$。

(1).若\(a=3\)，求\(f(x)\)的单调区间。

(2).证明：\(f(x)\)只有一个零点。

【解析】(1).\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)\)，

当\(a=3\)时，\(f'(x)=x^2-3(2x+1)，\) 令\(f'(x)=0\)，则\(x=3\pm 2\sqrt{3}\)，

则\(x<3-2\sqrt{3}\)或\(x>3+2\sqrt{3}\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增；

\(3-2\sqrt{3}< x < 3+2\sqrt{3}\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减；

故单调递增区间为\((-\infty，3-2\sqrt{3})\)和\((3+2\sqrt{3}，+\infty)\)，单调递减区间为\((3-2\sqrt{3}，3+2\sqrt{3})\)。

(2).由题目可知，函数\(f(x)\)只有一个零点，即方程\(f(x)=\cfrac{1}{3}x^3-a(x^2+x+1)=0\)只有一个解。

即方程\(a(x^2+x+1)=\cfrac{1}{3}x^3\)只有一个解。注意到\(x^2+x+1\neq 0\)

即方程\(a=\cfrac{\cfrac{1}{3}x^3}{x^2+x+1}=\cfrac{x^3}{3(x^2+x+1)}\)只有一个解。

令函数\(h(x)=\cfrac{x^3}{3(x^2+x+1)}\)，则

\(h'(x)=\cfrac{3x^2\cdot 3(x^2+x+1)-x^3\cdot 3(2x+1)}{[3(x^2+x+1)]^2}\)

\(=\cfrac{3x^2(x^2+2x+3)}{[3(x^2+x+1)]^2}\)

\(=\cfrac{3x^2[(x+1)^2+2]}{[3(x^2+x+1)]^2}\ge 0\)，且仅仅在\(x=0\)一个点处使得\(h'(x)=0\)，

故函数\(h'(x)\)在\((-\infty，+\infty)\)上单调递增；

又由于\(h(x)=\cfrac{x^3}{3(x^2+x+1)}=\cfrac{x}{3(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})}\)

当\(x\rightarrow +\infty\)时，\(h(x)\rightarrow +\infty\)；

当\(x\rightarrow -\infty\)时，\(h(x)\rightarrow -\infty\)；

即函数\(y=a\)与函数\(y=h(x)\)必然只有一个交点，

故方程\(a=h(x)\)必然只有一个根，即函数\(f(x)\)只有一个零点。

【解后反思】1、如果仅仅证明到函数\(h(x)\)单调递增，则方程\(a=h(x)\)必然有一个交点是有漏洞的，比如函数\(h(x)\)满足单调递增，但是其图像夹在直线\(y=\pm 1\)之间时，则方程\(a=h(x)\)可能有一个交点，也可能没有交点。

2、估计高考答案是注意到这个解法需要用极限说明图像，故采用了单调性和零点存在性定理做了说明。

3、注意数学常识的使用，\(x^2 \pm x+1>0\)，\(x^2+2x+3=(x+1)^2+2>0\).

№22【题文】

【解析】

№23【题文】

【解析】

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