正余弦定理解三角形的实际应用

前言

本节课和上节课的关系：上节课学习用正余弦定理解三角形，是针对三角形的数学模型来求解；而本节课需要将实际问题先图形化，转化为针对三角形的数学模型来处理的问题，如果这个环节做得好，那么到此问题就完全变成了上一节的问题。

典例剖析

要测量电视塔\(AB\)的高度，在\(C\)点测得塔顶\(A\)的仰角是\(45°\)，在\(D\)点测得塔顶\(A\)的仰角是\(30°\)，并测得水平面上的\(∠BCD＝120°\)，\(CD＝40 m\)，则电视塔的高度为__________\(m\)．

分析：设电视塔 \(AB\) 高为 \(x\; m\)，

则在\(Rt\Delta ABC\)中，由\(\angle ACB＝45°\)得\(BC＝x\).

在\(Rt\Delta ADB\)中，由\(\angle ADB＝30°\)，得\(BD＝\sqrt{3}x\).

在\(\Delta BDC\)中，由余弦定理，得

\(BD^2＝BC^2＋CD^2－2BC\cdot CD\cdot cos120°\)，

即\((\sqrt{3}x)^2＝x^2＋40^2－2\cdot x\cdot 40\cdot cos120°\)，

解得\(x＝40\)，所以电视塔高为\(40 m\).

反思总结：①解三角形问题时，常常需要将立体问题平面化；②当已知条件不在一个三角形中时，我们常常将其转化到一个三角形中，再求解即可。

如图\(A、B\)两点在河的两侧，且\(A、B\)两点均不可到达，如果要测量\(AB\)的距离，测量者在河岸边选定了两点\(C、D\)，并测得\(CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km\)，\(\angle ACB=\alpha=45^{\circ}\)，\(\angle ACD=\beta=60^{\circ}\)，\(\angle CDB=\gamma=30^{\circ}\)，\(\angle ADB=\delta=30^{\circ}\)，求\(A、B\)两点间的距离。

分析：在\(\Delta ACD\)中，由\(\angle ADC=\delta+\gamma=60^{\circ}\)，\(\angle ACD=60^{\circ}\)，\(CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km\)，

可得边\(AC=CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km\)；

在\(\Delta BCD\)中，由\(\angle BDC=30^{\circ}\)，\(\angle BCD=105^{\circ}\)，\(CD=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km\)，

故由正弦定理，可得\(BC=\cfrac{DC}{sin\angle DBC}\cdot sin\angle BDC=\cfrac{\sqrt{6}}{4}\)；

在\(\Delta ABC\)中，由\(\angle ACB=45^{\circ}\)，\(AC=\cfrac{\sqrt{3}}{2}km\)，\(BC=\cfrac{\sqrt{6}}{4}\)，

由余弦定理可得，\(AB^2＝BC^2＋AC^2－2BC\cdot AC\cdot cos45°\)，

解得\(AB=\cfrac{\sqrt{6}}{4}km\)

反思总结：1、怎么分析？由果溯因，题目要求解\(AB\)的长度，需要将其放置到一个三角形中，图中能包纳\(AB\)在内的三角形有三个，分别是\(\Delta ABC\)和\(\Delta ABD\)和\(\Delta AOB\)，首先能排除的是不选\(\Delta AOB\)，原因是已知条件都用不上。接下来，选择的这两个三角形，从已知数据的角度看是对称的，所以随便选一个，比如\(\Delta ABC\)。在此三角形中，\(\angle ACB=45^{\circ}\)能用上，自然还得知道边\(AC\)和\(BC\)，要求解边\(AC\)，也得选个三角形，比如选\(\Delta ACD\)，用正弦定理求解\(AC\)即可；要求解边\(BC\)，也得选个三角形，比如选\(\Delta BCD\)，用余弦定理求解\(BC\)即可；到此，回到\(\Delta ABC\)中，用余弦定理就可以搞定问题了。

2、当已知条件转化到一个三角形中时，问题就变得迎刃而解了。

如图，在海岸\(A\)处，发现北偏东\(45^{\circ}\)方向距离\(A\)处\((\sqrt{3}-1)\)海里的\(B\)处有一艘走私船，在\(A\)处北偏西\(75^{\circ}\)方向，距离\(A\)处\(2\)海里的\(C\)处的缉私船奉命以\(10\sqrt{3}\)海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以\(10\)海里/时的速度从\(B\)处向北偏东\(30^{\circ}\)方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求所需时间。(注：\(\sqrt{6}\approx 2.449\))

分析：设缉私船沿北偏东\(\theta\)的\(CD\)方向能最快追上，所需时间为\(t\)小时，并设\(\angle DCB=\alpha\)，

在\(\Delta ABC\)中，\(AB=\sqrt{3}-1\)，\(AC=2\)，\(\angle BAC=120^{\circ}\)，

则由余弦定理可知，\(BC^2=AC^2+AB^2-2\cdot AC\cdot AB\cdot cos120^{\circ}=\cdots=6\)，则\(BC=\sqrt{6}\)；

在\(\Delta ABC\)中，由正弦定理可知，\(\cfrac{AC}{sin\angle CBA}=\cfrac{BC}{sin120^{\circ}}\)，代值整理得到

\(sin\angle CBA=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，则可知\(\angle CBA=\cfrac{\pi}{4}\)，即\(B、C\)两点在正东正西方向上。

在\(\Delta BCD\)中，\(BC=\sqrt{6}\)，\(BD=10t\)，\(CD=10\sqrt{3}t\)，\(\angle CBD=120^{\circ}\)，

则由余弦定理可知，\(CD^2=BC^2+BD^2-2\cdot BC\cdot BD\cdot cos120^{\circ}\)，

化简整理得，\(200t^2-10\sqrt{6}t-6=0\)，即\((20t+\sqrt{6})(10t-\sqrt{6})=0\)，

解得\(t=\cfrac{\sqrt{6}}{10}\approx 0.245\)小时\(=14.7\)分钟。

此时，由正弦定理可得，\(\cfrac{BD}{sin\angle DCB}=\cfrac{CD}{sin120^{\circ}}\)，

即\(\cfrac{10t}{sin\alpha}=\cfrac{10\sqrt{3}t}{sin120^{\circ}}\)，

代值整理得到，\(sin\alpha=\cdots=\cfrac{1}{2}\)，故\(\alpha=30^{\circ}\)。

即沿北偏东\(60^{\circ}\)或东偏北\(30^{\circ}\)方向能追上，最快用时约\(14.7\)分钟。

反思总结：①本题目的难点之一，就是根据题意做出图形，作图时需要理解题中的各种角的含义，②且在\(A、B、C\)处需要建立方位。同时还存在做出的是俯视图还是斜二测图形。③题目一开始我们并不知道\(BC\)两点在正东正西方向上，所以直接设沿着东偏北多少是错误的。④在\(\Delta BCD\)中使用正弦定理求\(sin\angle DCB\)时，代入边长时要么都用边长，要么都使用速度，以减少运算错误；如果利用余弦定理计算\(cos\angle DCB\)会非常麻烦。

如图，一条河的两岸平行，河的宽度\(d＝0.6 km\)，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头\(B\)。已知\(AB＝1km\)，水的流速为\(2 km/h\)，若客船从码头\(A\)驶到码头\(B\)所用的最短时间为\(6 min(0.1h)\)，则客船在静水中的速度为 【 】

$A、8km/h$ $B、6\sqrt{2} km/h$ $C、2\sqrt{34} km/h$ $D、10 km/h$

分析：此题涉及到运动的合成，如右图所示，要想使得船的最终实际航行路线是\(AB\)，那么船在静水中时的航线应该是\(AC\)，水流的方向是\(AD\)，这样在两个向量\(\overrightarrow{AC}\)、\(\overrightarrow{AD}\)的共同作用下，船的最终实际航行路线才可能是\(AB\)，这样就形成了\(\Delta ABC\)和\(\Delta ABD\)；

设客船在静水中的速度为\(v km/h\)，那么\(AC=BD=0.1v\)，\(AB=1\)，\(AD=0.1\times 2=0.2\)，

在\(\Delta BAE\)中，\(sin\theta=\cfrac{0.6}{1}=\cfrac{3}{5}\)，则\(cos\theta=\cfrac{4}{5}\)，即\(cos\angle BAD=cos\theta=\cfrac{4}{5}\)

则在\(\Delta ABD\)中，\(BD^2=AB^2+AD^2-2AB\cdot AD\cdot cos\angle BAD\)；

即\((0.1v)^2=1^2+(0.2)^2-2\times 1\times 0.2\times \cfrac{4}{5}\)，解得\(v=6\sqrt{2}\)，故选\(B\)。

一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点\(A\)测得水柱顶端的仰角为\(45^{\circ}\)，沿点A向北偏东\(30^{\circ}\)前进\(100m\)到达点\(B\)，在\(B\)点测得水柱顶端的仰角为\(30^{\circ}\)，则水柱的高度是【】

$A、50m$ $B、100m$ $C、120m$ $D、150m$

分析：本题目的难点是作出适合题意的立体图形，必要的时候可以使用斜二次画法理解题意。

如右图所示，水柱高为\(CD\)，其垂直于下底面\(ABC\)，

\(\angle DAC=45^{\circ}\)，\(\angle BAC=60^{\circ}\)，\(\angle DBC=30^{\circ}\)，

设水柱的高度为\(h\)，则在\(\Delta ABC\)中，\(BC=\sqrt{3}h\)，\(AC=h\)，\(AB=100\)，\(\angle BAC=60^{\circ}\)，

由余弦定理可得\(BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot cos\angle BAC\)，

即\(3h^2=h^2+100^2-2\times 100\times h\times \cfrac{1}{2}\)，

化简整理得到，\(h^2+50h-5000=0\)。

解得\(h=-100(舍去)\)或\(h=50\)。故选\(A\)。

据气象部门预报，在距离某码头正西方向\(400km\)处的热带风暴中心正以\(20km/h\)的速度向东北方向移动，距离风暴中心\(300km\)以内的地区为危险区，该码头处于危险区内的时间是_____小时。

[法1]：解三角形法，设风暴移动的时间为\(t\)小时， 半径为\(300km\)的\(\odot B\)代表风暴以及殃及的范围；

则要使得城市处于危险内，则需要\(AB\leqslant 300\)；若\(AB>300\)，则此刻城市一定不在危险区内；

由题可知，\(AB^2=OA^2+OB^2-2\times OA\times OB\times cos45^{\circ}\)

即 \(AB^2=400^2+(20t)^2-2\times20t\times400\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，令\(AB^2\leqslant 300^2\)，

整理得到，\(400t^2-20t\times 400\sqrt{2}+70000\leqslant 0\)，

即 \(t^2-20\sqrt{2}t+175\leqslant 0\)，即 \(t^2-20\sqrt{2}t\leqslant -175\)，

即 \(t^2-20\sqrt{2}t+(10\sqrt{2})^2\leqslant -175+(10\sqrt{2})^2\)，

即 \((t-10\sqrt{2})^2\leqslant 25\)，即 \(|t-10\sqrt{2}|\leqslant 5\)，

故 \(-5\leqslant t-10\sqrt{2}\leqslant 5\)，解得\(10\sqrt{2}-5\leqslant t \leqslant 10\sqrt{2}+5\)

即当时间\(t=10\sqrt{2}-5\)时开始，城市进入危险区，当\(t=10\sqrt{2}+5\)时开始，城市脱离危险区，

所以码头处于危险区的时间为\(10\sqrt{2}+5-(10\sqrt{2}-5)=10\).

本题目难点：1、转化为解三角形模型；2、\(AB^2 \leqslant 300^2\)的理解；3、解不等式，十字相乘法变换为公式法；4、对\(t=10\sqrt{2}\pm 5\)的理解

[法2]：平面几何法，将风暴理解为一个质点，将城市扩大为一个半径为\(300km\)的圆\(\odot A\)，

则当风暴沿着射线\(OD\)运动时，城市处于危险区的距离为图中的线段\(CD\)，

在\(Rt\triangle OAE\)中，容易知道\(AE=200\sqrt{2}\)，

则由相交弦定理可知，\(DE^2=(300-200\sqrt{2})\times (300+200\sqrt{2})=100^2\)，

故\(DE=100\)，\(CD=200\)，可知风暴作用于码头的距离是\(200km\)，

故城市处于危险区的时间为\(\cfrac{200}{20}=10\)小时。

【同类题目，人教 \(A\) 版 \(P_{53}\) 页第 \(9\) 题】在气象台 \(A\) 正西方向 \(300km\) 处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为 \(40km/h\) ，距台风中心\(250km\) 以内的地区都将受到影响 . 若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长?

提示：仿上，即 \(AB^2=300^2+(40t)^2-2\times40t\times300\times\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)，令\(AB^2\leqslant 250^2\)，

即 求解方程 \(300^2+(40t)^2-2\times40t\times300\times\cfrac{\sqrt{2}}{2}\leqslant 250^2\)，

\(40\times40t^2-40\times300\sqrt{2}t+(300-250)(300+250)\leqslant0\)，\(16t^2-120\sqrt{2}t\leqslant -5\times55\)，

即 \(16\left[t^2-\cfrac{15\sqrt{2}}{2}t+(\cfrac{15\sqrt{2}}{4})^2\right]\leqslant 16\times(\cfrac{15\sqrt{2}}{4})^2-5\times55=\cfrac{175}{16}\)，

即 \((t-\cfrac{15\sqrt{2}}{4})^2\leqslant \cfrac{175}{16}=(\cfrac{5\sqrt{7}}{4})^2\)，解得 \(\cfrac{15\sqrt{2}-5\sqrt{7}}{4}\leqslant t\leqslant \cfrac{15\sqrt{2}+5\sqrt{7}}{4}\)

即 \(1.996\leqslant t\leqslant 8.610\)，即 大约 \(2\) 小时后受到影响，持续时间约为 \(6.6\) 小时，即 \(6\) 小时 \(36\) 分钟。

【2024高一联考试题】如图，某巡逻艇在 \(A\) 处发现北偏东 \(30^{\circ}\) 方向相距 \(\sqrt{6}+\sqrt{2}\) 海里的 \(B\) 处有一艘走私船，正沿着东偏南\(45^{\circ}\)的方向以 \(3\) 海里/时的速度向海岸行驶，巡逻艇立即以 \(2\sqrt{2}\) 海里/时的速度沿着正东方向直线追去，\(1\) 小时后，巡逻艇到达 \(C\) 处，走私船到达 \(D\) 处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 \(3\sqrt{2}\) 海里/时的速度沿着直线追击 .

(1) . 当走私船发现巡逻艇时，两船相距多少海里？

提示：连结 \(BC\)，在 \(\triangle ABC\) 中，已知 \(AC=2\sqrt{2}\) ，\(AB=\sqrt{6}+\sqrt{2}\) ，\(\angle BAC=60^{\circ}\)，由余弦定理求得，\(BC=2\sqrt{3}\)，再由正弦定理求得 \(\angle ABC=45^{\circ}\)，则 \(\angle ACB=75^{\circ}\)， \(\angle CBD=30^{\circ}\)，

在 \(\triangle BCD\) 中，已知 \(BC=2\sqrt{3}\) ，\(BD=3\)， \(\angle CBD=30^{\circ}\)，由余弦定理求得，\(CD=\sqrt{3}\)，故两船相距 \(\sqrt{3}\) 海里 .

(2) .问巡逻艇应该沿着什么方向去追，才能最快追上走私船？

提示： 由 \(BC=2\sqrt{3}\) ，\(BD=3\)，\(CD=\sqrt{3}\)，则 \(\angle BDC=90^{\circ}\)， \(\angle BCD=60^{\circ}\)，注意到 \(\angle BDC=90^{\circ}\)，\(\angle BDE=135^{\circ}\)，则可知 \(\angle CDE=135^{\circ}\)，设 \(t\) 小时追上，

在 \(\triangle CDE\) 中，已知 \(CD=\sqrt{3}\) ，\(DE=3t\)，\(CE=3\sqrt{2}t\)，\(\angle CDE=135^{\circ}\)，由正弦定理求得，\(\angle DCE=30^{\circ}\)，又 \(\angle ACE\)\(=\)\(75^{\circ}\)\(+\)\(60^{\circ}\)\(+\)\(30^{\circ}\)\(=\)\(165\)，故应该沿东偏北 \(15^{\circ}\) 方向去追 .

[解后反思]：在三角形中求角时，选择正弦定理时应该比较简单；但如果要选择正弦定理，则至少需要一个角，此时就需要我们能发现题目中的隐含条件。

【实际问题】某观测站\(C\) 在城\(A\) 的南偏西\(20°\)的方向上，由城\(A\)出发的一条公路，走向是南偏东\(40°\)，在\(C\)处测得公路上距\(C\)点\(31\)km的\(B\)处有一人正沿公路向城\(A\)走去，走了\(20\)km后到达\(D\)处，此时\(C\)，\(D\)间的距离为\(21\)km，这人还要走多远才能到达城 \(A\)?

【错解】如图所示，\(\angle CAD=60^{\circ}\)，

在\(\triangle BCD\)，由余弦定理， 得\(\cos B=\cfrac{BC^2+BD^2-CD^2}{2\cdot BC\cdot BD}\)\(=\cfrac{31^{2}+20^{2}-21^{2}}{2\times 31\times 20}=\cfrac{23}{31}\)，

所以 \(\sin B=\sqrt{1-\cos^2B}=\cfrac{12\sqrt{3}}{31}\).

在 \(\triangle ABC\)中， 由正弦定理得到\(AC=\cfrac{BC\cdot \sin B}{\sin\angle CAB}=24\) (km)

在\(\triangle ACD\)，由余弦定理，

得 \(CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD\)，

即 \(21^{2}=24^{2}+AD^{2}-24\cdot AD\)，

所以 \(AD=15\) (km) 或 \(AD=9\) (km) ，

所以这人还要走 \(15\)或\(9\) 才能到达城\(A\)。

[错因分析]

1.从生活经验来判断，这个结论显然有些荒谬，从图中看，点\(A\)，\(D\)，\(B\)三点共线，\(AD\)应该为直线段，故只应该有一个解；

2.从数的角度分析，在余弦定理中，线段的长度都带有平方，故求线段的长度时可能会有两个值，若出现一正一负根时，容易排除，但出现两个正根时，排除增根就不大容易了；

【正解】 设\(\angle ACD=\alpha\)，\(\angle CDB=\beta\),

在 \(\triangle CBD\)中，由余弦定理， 得\(\cos\beta=\cfrac{BD^2+CD^2-CB^2}{2BD\cdot CD}\)\(=\cfrac{20^{2}+21^{2}-31^{2}}{2\times 20\times 21}=-\cfrac{1}{7}\)，

所以 \(\sin\beta=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\)；

而 \(\sin\alpha=\sin(\beta-60^{\circ})=\sin\beta\cos60^{\circ}-\cos\beta\sin 60^{\circ}\)，

\(=\cfrac{4\sqrt{3}}{7} \times \cfrac{1}{2}+\cfrac{\sqrt{3}}{2} \times \cfrac{1}{7}=\cfrac{5\sqrt{3}}{14}\)，

在 \(\triangle ACD\)中，由正弦定理，得\(\cfrac{CD}{\sin60^{\circ}}=\cfrac{AD}{\sin\alpha}\)，

则 \(AD=\cfrac{21\times\sin\alpha}{\sin60^{\circ}}=15\)(km)

所以这人还要走 \(15\) kmオ能到达城 \(A\).

[如何排除错误] 由\(\sin\beta=\cfrac{4\sqrt{3}}{7}\)，得到\(\cos \alpha=\pm\cfrac{11}{14}\)，

当\(\cos\alpha=\cfrac{11}{14}>\cfrac{1}{2}\)时，\(\alpha\in (0,\cfrac{\pi}{3})\)，此时由余弦定理的边的形式

得到\(AD^2=AC^2+CD^2-2\cdot AC\cdot CD=225\)，故\(AD=15\)；

当\(\cos\alpha=-\cfrac{11}{14}<-\cfrac{1}{2}\)时，\(\alpha\in (\cfrac{2\pi}{3},\pi)\)，此时\(\beta=\alpha+\cfrac{\pi}{3}>\pi\)，不符合题意，舍去。

故仅有一个根\(AD=15\)；

【对照题目，解三角形模型】如图所示，在\(\triangle ACD\)中，已知\(\angle A=60^{\circ}\)，\(AC=24\)，\(CD=21\)，求边长\(AD\)；

解：在\(\triangle ACD\)，直接使用余弦定理，

得 \(CD^2=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cos\angle CAD\)，

即 \(21^{2}=24^{2}+AD^{2}-24\cdot AD\)，

所以 \(AD=15\) 或 \(AD=9\) ，

[思考]本题目中的两个解合理吗？为什么？

合理的，其实本题目属于已知三角形的两边和一边的对角问题，本身就有可能有多解的情形，只是同样的数学模型在添加了其他的一些条件后变化为实际问题后，对于方程的解又有了其他的限制，故在实际问题中只有一个解。