函数与方程的习题

典例剖析

已知函数\(f(x)＝-x^2+2ex+m-1，g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}(x>0)\)．

(1)若\(y＝g(x)-m\)有零点，求\(m\)的取值范围；

(2)确定\(m\)的取值范围，使得\(g(x)－f(x)＝0\)有两个相异实根．

解析：(1) 因为\(g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}\ge 2\sqrt{e^2}=2e\)，等号成立的条件是\(x=e\)，

故\(g(x)\)的值域是\([2e，+\infty)\)，

因而只需\(m≥2e\)，则\(y＝g(x)-m\)就有零点。

(2) 若\(g(x)-f(x)＝0\)有两个相异实根，即\(g(x)\)与\(f(x)\)的图像有两个不同的交点，

作出\(g(x)＝x+\cfrac{e^2}{x}(x>0)\)的大致图像如图．

因为\(f(x)＝-x^2+2ex+m-1=-(x－e)^2+m-1+e^2\).

所以其图像的对称轴为\(x＝e\)，开口向下，

最大值为\(m-1+e^2\)，故当\(m-1+e^2>2e\)，即\(m>－e^2+2e+1\)时，

\(g(x)\)与\(f(x)\)有两个交点，即\(g(x)-f(x)=0\)有两个相异实根，

所以\(m\)的取值范围是\((-e^2+2e+1，+\infty)\)．

函数\(f(x)=\begin{cases}x^2+4x，x\leq 0\\xlnx，x>0\end{cases}\)，\(g(x)=kx-1\)，若方程\(f(x)-g(x)=0\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，则实数\(k\)的取值范围是【】

$A.(1，ln2\sqrt{e})$ $B.(ln2\sqrt{e}，\cfrac{3}{2})$ $C.(\cfrac{3}{2}，2)$ $D.(1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)$

分析：显然\(x=0\)不是方程\(f(x)-g(x)=0\)的根，故可变形为\(k=\cfrac{f(x)+1}{x}\)，

设\(\phi(x)=\cfrac{f(x)+1}{x}=\begin{cases}x+\cfrac{1}{x}+4，x<0\\\cfrac{1}{x}+lnx，x>0\end{cases}\)，即\(k=\phi(x)\)在\(x\in(-2，2)\)有三个实根，

用导数方法研究函数\(\phi(x)\)的单调性，做出其图像

由图像可得，要使得函数\(y=k\)与函数\(y=\phi(x)\)有三个交点，则\(k\in (1，ln2\sqrt{e})\cup(\cfrac{3}{2}，2)\)

【二元函数】若存在两个正实数\(x，y\)，使得等式\(3x+a(2y-4ex)\cdot(lny-lnx)=0\)成立，其中\(e\)为自然对数的底数，则\(a\)的取值范围是__________。

分析：由于\(x\neq 0\)，故两边同时除以\(x\)，二元变一元，变量集中，

得到\(3+a(2\cdot \cfrac{y}{x}-4e)\cdot ln\cfrac{y}{x}=0\)，令\(\cfrac{y}{x}=t>0\)，

则\(3+a(2t-4e)\cdot lnt=0\)，即\(2a(t-2e)\cdot lnt=-3\)，

由于\(a\neq 0\)，则上式变形为\((t-2e)\cdot lnt=-\cfrac{3}{2a}\)，

即存在正数\(t\)，使得方程\((t-2e)\cdot lnt=-\cfrac{3}{2a}\)有解，

令\(g(t)=(t-2e)\cdot lnt\)，则 \(g'(t)=\ln t+1-\cfrac{2e}{t}\)，显然 \(g'(t)\) 是增函数，

\(g'(e)=\ln e+1-\cfrac{2e}{e}=1+1-2=0\)，

当 \(t>e\) 时 \(g'(t)>0\)，当 \(0<t<e\) 时 \(g'(t)<0\)

即当 \(t=e\) 时， 函数 \(g(t)\) 取得极小值为 \(g(e)=(e-2e)\ln e=-e\)，

即 \(g(t)\geqslant g(e)=-e\)，

若\((t-2e)\cdot lnt=-\cfrac{3}{2a}\)有解，

则 \(-\cfrac{3}{2a}\geqslant -e\)， 即 \(\cfrac{3}{2a}\leqslant e\)，

则解得 \(a<0\) 或 \(a\geqslant \cfrac{3}{2a}\)，

故实数 \(a\) 的取值范围是 \((-\infty, 0)\cup[\cfrac{3}{2e},+\infty)\).

若关于\(x\)的方程\((lnx-ax)lnx=x^2\)存在三个不等实根，则实数\(a\)的取值范围是_________。

分析：当\(x=1\)时，\(lnx=0\)，原式不成立，故不可能；

当\(lnx\neq 0\)时，\(lnx-ax=\cfrac{x^2}{lnx}\)，故\(ax=lnx-\cfrac{x^2}{lnx}\)，分离参数得到，

则\(a=\cfrac{lnx}{x}-\cfrac{x}{lnx}\)，令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x}-\cfrac{x}{lnx}\)，则\(y=a\)与\(y=h(x)\)的图像有三个交点，

\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}\cdot x-lnx}{x^2}-\cfrac{lnx-x\cdot \cfrac{1}{x}}{(lnx)^2}=\cfrac{1-lnx}{x^2}-\cfrac{lnx-1}{(lnx)^2}\)，\(x>0\)且\(x\neq 1\)，

当\(x\in (0，1)\)时，\(h'(x)>0\)，故\(h(x)\)单调递增；

当\(x>1\)时，\(h'(x)=\cfrac{(1-lnx)(lnx)^2-(lnx-1)\cdot x^2}{x^2\cdot (lnx)^2}\)

\(=\cfrac{((lnx)^2+x^2)\cdot (1-lnx)}{x^2\cdot (lnx)^2}\)

当\(x\in (1，e)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，\(x\in (e，+\infty)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，

又\(h(e)=\cfrac{1}{e}-e\)，做出大致图像如下：

要使得则\(y=a\)与\(y=h(x)\)的图像有三个交点，必须\(a<\cfrac{1}{e}-e\)。

定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)和定义在\(\{x\mid x\neq 0\}\)上的偶函数\(g(x)\)分别满足\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2^x-1(0\leqslant x<1)}\\{\frac{1}{x}(x\geqslant 1)}\end{array}\right.\)，\(g(x)=log_2x(x>0)\)，若存在实数\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，则实数\(b\)的取值范围是【】

$A.[-2，2]$ $B.[-2，-\cfrac{1}{2}]\cup [\cfrac{1}{2}，2]$ $C.[-\cfrac{1}{2}，0)\cup(0，\cfrac{1}{2}]$ $D.(-\infty，-2]\cup [2，+\infty)$

分析：做出适合题意的图像，由图像可知，函数\(f(x)\)的值域为\([-1，1]\)，

完整的偶函数\(g(x)\)的解析式应该为\(g(x)=log_2|x|\)，若存在实数\(a\)，使得\(f(a)=g(b)\)，

则\(g(b)\)必须满足\(-1\leqslant g(b)\leqslant 1\)，即\(-1\leqslant log_2|b|\leqslant 1\)，

上式可以转化为\(\left\{\begin{array}{l}{b\geqslant 0}\\{-1\leqslant log_2b\leqslant 1}\end{array}\right.\)或者\(\left\{\begin{array}{l}{b<0}\\{-1\leqslant log_2(-b)\leqslant 1}\end{array}\right.\)

解得\(\cfrac{1}{2}\leqslant b\leqslant 2\)或\(-2\leqslant b\leqslant -\cfrac{1}{2}\). 故选\(B\).

【四川成都2017级高三第一次诊断性文科】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(2-x)=f(2+x)\)，当\(x\leqslant 2\)时，\(f(x)=x\cdot e^x\)，若关于\(x\)的方程\(f(x)=k(x-2)+2\)有三个不相等的实根，则实数\(k\)的取值范围是【】

$A.(-1,0)\cup (0,1)$ $B.(-1,0)\cup (1,+\infty)$ $C.(-e,0)\cup (0,e)$ $D.(-e,0)\cup (e,+\infty)$

分析：选\(A\)；

【四川成都2017级高三第一次诊断性理科】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足\(f(2-x)=f(2+x)\)，当\(x\leqslant 2\)时，\(f(x)=(x-1)\cdot e^x-1\)，若关于\(x\)的方程\(f(x)-kx+2k-e+1=0\)有三个不相等的实根，则实数\(k\)的取值范围是【】

$A.(-2,0)\cup (2,+\infty)$ $B.(-2,0)\cup (0,2)$ $C.(-e,0)\cup (e,+\infty)$ $D.(-e,0)\cup (0,e)$

分析：选\(D\)；