切线方程的应用

前情概要

典例剖析

【2016•德州模拟】函数\(y＝x^2(x>0)\)的图像在点\((a_k，a_k^2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标为\(a_{k+1}\)，其中 \(k\in N*\)，若\(a_1＝16\)，则\(a_1＋a_3＋a_5\)的值是________．

分析：由\(f'(x)=2x\)得，在点\((a_k，a_k^2)\)处的切线方程为\(y-a_k^2=2a_k(x-a_k)(k\in N*)\)，

令\(y=0\)，得到切线方程与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x=\cfrac{a_k}{2}\)，

即\(a_{k+1}=\cfrac{a_k}{2}\)，即\(\cfrac{a_{k+1}}{a_k}=\cfrac{1}{2}\)，

故数列\(\{a_k\}\)是首项为\(a_1=16\)，公比为\(\cfrac{1}{2}\)的等比数列，

故\(a_1＋a_3＋a_5=16+16\cdot (\cfrac{1}{2})^2+16\cdot (\cfrac{1}{2})^4=21\)。

总结：1、求在点处的切线方程；2、等比数列

对正整数\(n\)，设曲线\(y=(2-x)x^n\)在\(x=3\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为________。

分析：由于\(y=(2-x)x^n\)，则\(y'=-x^n+n(2-x)x^{n-1}\)；

则\(y'|_{x=3}=-3^n-n3^{n-1}=-3^{n-1}(n+3)\)；

故切线方程为\(y+3^n=-3^{n-1}(n+3)(x-3)\)，

令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴的交点的纵坐标为\(a_n=(n+2)3^n\)，

故\(\cfrac{a_n}{n+2}=3^n\)，为等比数列，

故数列\(\{\cfrac{a_n}{n+2}\}\)的前\(n\)项和为\(S_n=\cfrac{3(1-3^n)}{1-3}=\cfrac{3^{n+1}-3}{2}\)。

对正整数\(n\)，设曲线\(y=(1-x)x^n\)在\(x=2\)处的切线与\(y\)轴交点的纵坐标为\(a_n\)，则数列\(\{\cfrac{a_n}{n+1}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)为________。

提示：\(T_n=2^{n+1}-2\)，仿上例完成。

分析：\(y=f(x)=x^n(1-x)=x^n-x^{n+1}\)，则\(f'(x)=nx^{n-1}-(n+1)x^n\)，

则\(k=f'(2)=n2^{n-1}-(n+1)2^n=n2^{n-1}-(n+1)2^{n-1}\cdot 2=n2^{n-1}-(2n+2)2^{n-1}=2^{n-1}(n-2n-2)=-(n+2)\cdot 2^n\)

又切点为\((2，-2^n)\)，则切线方程为\(y-(-2^n)=-(n+2)2^n(x-2)\)，

令\(x=0\)，得到切线与\(y\)轴交点的纵坐标\(y=(n+1)2^n=a_n\)，

令\(b_n=\cfrac{a_n}{n+1}=2^n\)，数列\(\cfrac{a_n}{n+1}\)的前\(n\)项和为\(T_n=2+2^2+2^3+\cdots+2^n=\cfrac{2(2^n-1)}{2-1}=2^{n+1}-2\)；

【2015\(\cdot\)高考安徽卷】设\(n\in N^*\)，\(x_n\)是曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1，2)\)处的切线与\(x\)轴交点的横坐标。

(1)、求数列\(\{x_n\}\)的通项公式。

分析：\(y'=(x^{2n+2}+1)'=(2n+2)x^{2n+1}\)，

则曲线\(y=x^{2n+2}+1\)在点\((1，2)\)处的切线斜率为\(2n+2\)，

从而切线方程为\(y-2=(2n+2)(x-1)\)，令\(y=0\)，

解得切线与\(x\)轴交点的横坐标\(x_n=1-\cfrac{1}{n+1}=\cfrac{n}{n+1}\)，

所以数列\(\{x_n\}\)的通项公式为\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)。

(2)、记\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2\)，证明：\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。

分析：由题设和(1)中的计算结果可知，

\(T_n=x_1^2x_3^2\cdots x_{2n-1}^2=(\cfrac{1}{2})^2\cdot (\cfrac{3}{4})^2\cdots (\cfrac{2n-1}{2n})^2\)，

当\(n=1\)时，\(T_1=\cfrac{1}{4}\)；

当\(n\ge 2\)时，由于\(x_{2n-1}^2=(\cfrac{2n-1}{2n})^2=\cfrac{(2n-1)^2}{(2n)^2}\)

\(>\cfrac{(2n-1)^2-1}{(2n)^2}=\cfrac{2n-2}{2n}=\cfrac{n-1}{n}\)；

则\(x_1^2=(\cfrac{1}{2})^2\)，

\(x_3^2> \cfrac{1}{2}\)

\(x_5^2> \cfrac{2}{3}\)

\(\cdots\)，

\(x_{2n-3}^2> \cfrac{n-2}{n-1}\)

\(x_{2n-1}^2> \cfrac{n-1}{n}\)

所以，\(T_n>(\cfrac{1}{2})^2\times \cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times \cdots \times \cfrac{n-2}{n-1}\times\cfrac{n-1}{n}=\cfrac{1}{4n}\)；

综上可知，对任意的\(n\in N^*\)，均有\(T_n\ge \cfrac{1}{4n}\)。

【2019\(\cdot\)高三理科数学资料用题】对于每一个正整数\(n\)，设曲线\(y=x^{n+1}\)在点\((1，1)\)处的切线与\(x\)轴的交点的横坐标为\(x_n\)，令\(a_n=lgx_n\)，则\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}\)=_____________。

分析：\(y'=(n+1)x^n\)，则曲线在点\((1，1)\)处的切线的斜率为\(k=n+1\)，

则切线方程为\(y-1=(n+1)(x-1)\)，

令\(y=0\)，得到\(x_n=\cfrac{n}{n+1}\)，

则\(a_n=lgx_n=lg\cfrac{n}{n+1}\)

所以\(a_1+a_2+\cdots+a_{99}=lg(\cfrac{1}{2}\times \cfrac{2}{3}\times\cfrac{3}{4}\times\cdots\times\cfrac{99}{100})\)

\(=lg \cfrac{1}{100}=-2\)。

【2019南阳模拟】已知各项均为正数的等比数列\(\{a_n\}\)，\(a_3\cdot a_5=2\)，若\(f(x)=x\)\((x-a_1)\)\((x-a_2)\)\(\cdots\)\((x-a_7)\)，则\(f'(0)\)=【】

$A.8\sqrt{2}$ $B.-8\sqrt{2}$ $C.128$ $D.-128$

分析：将原函数拆分为两部分，令\(f(x)=x\cdot g(x)\)，\(g(x)=\)\((x-a_1)\)\((x-a_2)\)$\cdots $$(x-a_7)$，

则\(f'(x)=g(x)+x\cdot g'(x)\)，则\(f'(0)=g(0)+0\cdot g'(0)=g(0)\)，

\(g(0)=\)\((0-a_1)\)\((0-a_2)\)$\cdots $$(0-a_7)=-a_1\cdot a_2\cdots a_7=-a_4^7$①，

又由于各项均为正数的等比数列\(\{a_n\}\)，\(a_3\cdot a_5=2\)，则\(a_4^2=2\)，\(a_4=\sqrt{2}\)，

代入①式，得到\(f'(0)=g(0)=-8\sqrt{2}\)，故选\(B\)。

已知\(l\)为曲线\(y=\cfrac{a+lnx}{x}\)在点\((1，a)\)处的切线，当直线\(l\)与坐标轴围成的三角形的面积为\(\cfrac{1}{2}\)时，实数\(a\)的值为________.

分析：由于\(y'=\cfrac{1-a-lnx}{x^2}\)，则\(f'(1)=1-a\)，

则切线方程为\(y-a=(1-a)(x-1)\)；

令\(x=0\)得到\(y=2a-1\)，令\(y=0\)得到\(x=\cfrac{1-2a}{1-a}\)，

所以面积\(S=\cfrac{1}{2}|x|\cdot |y|=\cfrac{1}{2}\cdot \cfrac{|2a-1|^2}{|1-a|}=\cfrac{1}{2}\)

解得\(a=0\)或\(a=\cfrac{3}{4}\) .

【2021届高三文科数学二轮跟踪训练题】 设 \(C: y=x^{2}(x>0)\) 上的点为 \(P_{0}(x_{0}, y_{0})\)， 在 \(P_{0}\) 处作曲线 \(C\) 的切线与 \(x\) 轴交于 \(Q_{1}\)， 过 \(Q_{1}\) 作平行于\(y\) 轴的直线与曲线 \(C\) 交于 \(P_{1}(x_{1}, y_{1})\)， 然后在 \(P_{1}\) 作曲线 \(C\) 的切线与 \(x\) 轴交于 \(Q_{2}\)， 过 \(Q_{2}\) 作平行于 \(y\) 轴的直线与曲线 \(C\) 交于 \(P_{2}(x_{2}, y_{2})\)，依此类推，作出以下各点: \(Q_{3}\)， \(P_{3}\)， \(\cdots\)， \(Q_{n}\)， \(P_{n}\)， \(\cdots\)， 已知 \(x_{0}=2\)， 则数列 \(\{x_{n}\}\) 的通项公式是_____________.

解： 由于\(x_{0}=2\)， \(P_{0}(x_{0}, y_{0})\) 在 \(y=x^{2}\) 上， 所以 \(y_{0}=2^{2}=4\)， 即 \(P_{0}(2,4)\)，

求导得: \(y'=2x\), 所以在 \(P_{0}\) 处作曲线 \(C\) 的切线的斜率为 \(y'|_{x=2}=4\)，

则此切线方程为 \(y-4=4(x-2)\)， 即 \(y=4x-4\)，

令 \(y=0\)， 解得: \(x=1\)， 即 \(x_{1}=1\) 所以 \(P_{1}(1,1)\)，

则过点 \(P_{1}(1,1)\)的切线方程为：\(y-1=(y'|_{x=1})(x-1)\)，即 \(y-1=2(x-1)\)，

整理得到，\(y=2x-1\)， 令 \(y=0\)，即得到 \(x_2=\cfrac{1}{2}\)，

同理可得 \(x_{3}=\cfrac{1}{4}\)， \(x_{4}=\cfrac{1}{8}\)， \(\cdots\)， \(x_{n}=(\cfrac{1}{2})^{n-1}\)

故答案为 \(x_{n}=(\cfrac{1}{2})^{n-1}\)