解析几何习题

预备知识

已知直线 \(l_1\)：\(A_1x\)\(+\)\(B_1y\)\(+\)\(C_1\)\(=\)\(0\)；\(l_2\)\(：\)\(A_2x\)\(+\)\(B_2y\)\(+\)\(C_2\)\(=\)\(0\)；则 \(l_1\) \(\perp\) \(l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(A_1A_2\)\(+\)\(B_1B_2\)\(=\)\(0\)；

证明如下：

\(1^{\circ}\). 当两条直线的斜率都存在时，\(k_{l_1}\)\(=\)\(-\cfrac{A_1}{B_1}\)，\(k_{l_2}\)\(=\)\(-\cfrac{A_2}{B_2}\)，

由\(k_{l_1}\)\(\cdot\)\(k_{l_2}\)\(=\)\(-1\)，即\((-\cfrac{A_1}{B_1})\)\(\cdot\)\((-\cfrac{A_2}{B_2})\)\(=\)\(-1\)，

整理得到 \(A_1A_2\)\(+\)\(B_1B_2\)\(=\)\(0\)；

\(2^{\circ}\). 两条直线中的一条斜率不存在时，则另一条必然斜率为 \(0\)，

比如 \(B_2\) \(=\) \(0\)，则直线 \(l_2\) 的斜率不存在，则直线 \(l_2\) 与 \(x\) 轴垂直，

那么由互相垂直可知，直线 \(l_1\) 必然斜率为 \(0\)，即\(A_1\) \(=\) \(0\)，

故也满足$ A_1A_2$ \(+\) \(B_1B_2\) \(=\) \(0\)；

故综上所述，\(l_1\)\(\perp\)\(l_2\)\(\Leftrightarrow\) \(A_1A_2\)\(+\)\(B_1B_2\)\(=\)\(0\)；

【易错警示】此处学生容易错误的认知为 \(l_1\) \(\perp\) \(l_2\) \(\Leftrightarrow\) \(k_{l_1}\)\(\times\)\(k_{l_2}\)\(=\)\(-1\)，这个关系不是等价的。原因是 \(k_{l_1}\)\(\times\)\(k_{l_2}\)\(=\)\(-1\) 中并不包含 一条直线斜率为 \(0\)，另一条直线没有斜率的情形。

典例剖析

【两条直线垂直】已知直线\(l_1：ax-y+2a=0\)与直线\(l_2：(2a-1)x+ay+a=0\)互相垂直，则\(a\)的值为____________。

法1：由于我们主要是利用\(k_1\cdot k_2=-1\)求解，故需要分类讨论，以保证将有斜率和无斜率的情形分开考虑：

当\(a=0\)时，\(l_1：y=0\)，\(l_2：x=0\)，故互相垂直，满足题意；

当\(a\neq 0\)时，\(k_{l_1}=a\)，\(k_{l_2}=-\cfrac{2a-1}{a}\)，由\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)得到，

\(a\cdot (-\cfrac{2a-1}{a})=-1\)，解得\(a=1\)，

综上所述得到，\(a=0\)或\(a=1\)。

法2：不分类讨论，利用两条直线互相垂直的充要条件得到：

\(a\cdot (2a-1)+(-1)\cdot a=0\)，即\(2a^2-2a=0\)，

解得\(a=0\)或\(a=1\)。

已知点\(A(2，3)\)和\(B(2，-2)\)，试在\(y\)轴上求一点\(C\)，使得\(\Delta ABC\)为直角三角形。

分析：做出图形，由图形可知需要分类讨论；

①当点\(C(0，3)\)时，\(\Delta ABC\)为\(A=90^{\circ}\)的直角三角形。

②当点\(C(0，-2)\)时，\(\Delta ABC\)为\(B=90^{\circ}\)的直角三角形。

③当\(A\neq 90^{\circ}\)且\(B\neq 90^{\circ}\)时，设点\(C(0，b)\)，

则由\(k_{AC}\cdot k_{BC}=-1\)，解得\(b=-1\)或\(b=2\)，

即点\(C(0，-1)\)或\(C(0，2)\)时，\(\Delta ABC\)为\(C=90^{\circ}\)的直角三角形。