函数的周期性

前情概要

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性周期性习题；

周期概念

(1). 周期函数：对于函数 \(y＝f(x)\)，如果存在一个非零常数 \(T\)，使得当 \(x\) 取定义域内的任何值时，都有 \(f(x+T)\)\(=\)\(f(x)\)，那么^[1]就称函数 \(y＝f(x)\) 为周期函数，称 \(T\) 为这个函数的周期。

比如，函数 \(y=f(x)=\sin x\)，由于 \(x\in R\)，则 \(x+4\pi\in R\)，且对任意 \(x\) 都满足 \(\sin(x+4\pi)=\sin x\)，故 函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\)\(=\)\(\sin\)\(x\)是周期函数，\(4\pi\) 为它的一个周期。

(2). 最小正周期：如果在周期函数 \(f(x)\) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 \(f(x)\) 的最小正周期。

理解概念中的关键词，知道有些函数如 \(f(x)\)\(=\)\(2^x\) 不是周期函数，有些函数仅有正周期如 \(f(x)\)\(=\)\(sinx\)，\(x\in[0，+\infty)\) 或者仅有负周期；

常函数 \(f(x)\)\(=\)\(c\)(\(c\)为常数) 没有最小正周期，如 \(f(x)=c\) ，则 \(f(x+T)\)\(=\)\(c\) ，此时的 \(T\) 没有最小的正数。

函数的周期性从数上理解，是说函数的自变量 \(x\) 增加 \(T\) 后，函数值重复出现；从形上理解，是说函数的图象左右平移 \(T\) 后，函数的图象和原图象重合。

常见给出方式

• 以图像的形式给出；解读图像，从图像中我们就可以找出周期\(T\)，如下图周期 \(T=2\pi\) .

• 以周期的定义式给出；

常见定义式：\(f(x+4)=f(x)\Longrightarrow T=4\)

定义式的常见变形：\(f(x+2)=f(x-2)\)或者\(f(x+3)=f(x-1) \Longrightarrow T=4\)

函数 \(f(x+1)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，故 \(f(x)\) 也是周期为 \(2\) 的周期函数，又或函数 \(f(x)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，则 \(f(x+1)\) 也是周期为 \(2\) 的周期函数，

• 以周期性的结论给出(不妨设\(a>0\))；

结论1：\(f(x+a)=-f(x)\)或者变形 \(f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\)；推导：^[2]

引申1：\(f(x+a)=b-f(x)\)或者变形\(f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\)；推导：^[3]

结论2：\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\)或者变形\(f(x+a)\cdot f(x)=k \Longrightarrow T=2a\)；推导：^[4]

• 以三个连续自变量的形式给出，有点类似 反斐波那契数列 ^[5]

给出表达式：\(f(x+2)\)\(=\)\(f(x+1)\)\(-\)\(f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)；推导：^[6]

• 以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；

引例，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=4\)；推导：^[7]

• 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；

引例，已知函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=8\)；推导：^[8]

• 以和为定值的方式给出；

引例，函数\(f(x)\) 满足 \(f(x)+f(x+1)+f(x+2)\)为定值 \(a\)其实就是上述 \(f(x)+f(x+a)=b\)，两项和为定值向三项和为定值的拓展，则函数\(f(x)\) 为周期函数；^[9]

• 以积为定值的方式给出；

引例，已知非零函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x)\cdot f(x+1)\cdot f(x+2)\) 为定值 \(k\)，则函数 \(f(x)\) 为周期函数；^[10]

其他给出方式

• 分段函数的部分周期性

如已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x)=\begin{cases}2^{-x}-1，&x\leq 0 \\f(x-1)，&x>0\end{cases}\)，

则函数在\(x<0\)上没有周期性，但是在\(x>0\)上有周期性，周期是\(T=1\)，

• 以赋值法的模式给出

比如表达式：\(f(x+6)=f(x)+f(3)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)；^[11]

拓展引申：仿上同理说明， \(f(x+6)=f(x)+k\cdot f(3)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow T=6\) (赋值法)；

• 以赋值法[更难]的模式给出

引例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，求\(f(0)+f(1)+\) \(f(2)+\) \(\cdots+\) \(f(2016)\)的值。^[12]

• 以综合表达式的形式给出；

比如给出\(f(x+2)=\cfrac{1}{2}f(x)\)，意味着周期性和伸缩性同时起作用。

• 以新定义和函数的迭代形式给出：

【2020届宝鸡质检2文数第16题】若\(f(n)\)为\(n^2\)\(+\)\(1\)(\(n\)\(\in\)\(N^*)\)的各位数字之和，如\(14^2\)\(+\)\(1\)\(=\)\(197\)，则\(f(14)\)\(=1\)\(+\)\(9\)\(+\)\(7\)\(=\)\(17\)；记\(f_1(n)\)\(=\)\(f(n)\)，\(f_2(n)\)\(=\)\(f(f_1(n))\)，\(f_3(n)\)\(=\)\(f(f_2(n))\)，\(\cdots\)，\(f_{k+1}(n)\)\(=\)\(f(f_k(n))\)，\(k∈N^*\)，则\(f_{2020}(8)\)= _________ .

分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；

由题目的定义可知，\(f(8)\)表示的是\(8^2+1\)的各位数字之和，

由于\(8^2+1=65\)，则\(f(8)=6+5=11\)，这样\(f_1(8)=f(8)=6+5=11\)，

由于\(11^2+1=122\)，则\(f(11)=1+2+2=5\)，故\(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5\)，

由于\(5^2+1=26\)，则\(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8\)，

由于\(8^2+1=65\)，故\(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11\)，

由于\(11^2+1=122\)，故\(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5\)，

故函数\(f_n(8)\)的周期\(T=3\)，\(f_{2020}(8)=f_{673\times 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11\);

故答案为\(11\).

【2026届高三数学训练题】已知函数 \(f(x)\) 满足 \(f(x+1)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x-1)}\) 和 \(f(2-x)\)\(=\)\(f(x+1)\)，且当 \(x\in [\cfrac{1}{2},1]\) 时，\(f(x)=6x-2\)，则 \(f(2022)\) 的值为 【\(\qquad\)】

$A.0$ $B.2$ $C.4$ $D.5$

解：用 \(x+1\) 替换 \(f(x+1)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x-1)}\) 中的 \(x\)，整理得到

\(f(x+2)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x)}\)，故 \(f(x)\) 的周期 \(T=4\)，故 \(f(2022)=f(4\times505+2)=f(2)\)，

再令 \(x=1\)，代入 \(f(2-x)\)\(=\)\(f(x+1)\)，得到 \(f(2)=f(1)\)，

又由于 \(x\in [\cfrac{1}{2},1]\) 时，\(f(x)=6x-2\)，则 \(f(1)=6\times 1-2=4\)，

故 \(f(2022)=f(2)=f(1)=4\)，故选 \(C\) .

数列周期

• 由于数列是特殊的函数，故数列的周期推导过程其实也与函数的周期推导是一致的。

比如数列\(\{a_n\}\)满足关系：\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)，则可以推出数列的周期\(T=6\)；

解释：\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)

另类应用既然图像的左右平移可能会体现周期性，那么当我们需要函数图像左右平移时，自然也可以使用周期性来刻画，从而实现形向数的转化。

比如，写出一个图象关于直线 \(x＝2\) 对称且在 \([0, 2]\) 上单调递增的偶函数\(f(x)\)＝___________．

详析： 由 \([0, 2]\) 上单调递增，借助几何直观，我们会想到做一条线段，最简单的如 \(y=x\) ，又由于图象关于直线 \(x＝2\) 对称，故在 \([2, 4]\) 上做线段 \(y=4-x\)，又由于是偶函数，则将 \([0, 4]\) 上的图像关于 \(y\) 轴对称到 \([-4, 0]\) 上，即得到了满足题意的函数图像的大致图样，但问题随之来了，怎么用解析式来刻画这个函数呢，硬着头皮上，将我们刚才想到的图像数字化，比如\([0, 4]\) 上可以用两个分段函数组合，比如 \(y=x,x\in [0,2]\) 和 \(y=4-x,x\in(2,4]\)，其中\([-4,0)\)上利用对称求得解析式即可，最后用四段的分段函数表达即可，但我们感觉拉跨，此时可以观察 \([0, 4]\) 上的图像是 绝对值函数 \(y=|x|\) 倒扣加上平移得到的，故想到 \(x\in[0,4]\) 时，\(y=2-|x-2|\)，那么 \(x\in[-4,0)\) 上可以利用 \(y=f(-x)\) 来表达，但问题又来了，函数不满足对称性，因为是定义在\([-4,4]\)上的，并不关于\(y=2\)对称，我们需要将基本图像(\([0，4]\)这一段上的图像)向左右按周期的整数倍无限延伸才行，故采用周期的表达即可，

故得到满足题意的函数为 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，&x\in[0,4]\\f(x-4)，&x>4\\f(x+4)，&x<-4\end{array}\right.\)

周期补遗

• 以下的给出方式，极其少见，仅仅作整理之用，不需要太过理会，这话需要更新。 20250513更新，在现行教材的变化下，题目难度有所增加，我们还是需要注意以下的变换。

补遗1️⃣：已知\(f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)，则周期为\(T=2a\)；

[推导过程]：由于\(f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)，

故\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1-f(x+a)}{1+f(x+a)}=\cfrac{1-\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}}{1+\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}}\)

\(=\cfrac{[1-\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}{[1+\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}=f(x)\)，故\(T=2a\)；

补遗2️⃣：已知\(f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，则周期为\(T=4a\)；[其实若能赋值验证，比下面的推导更简单]

[推导过程]：由于 \(f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，

故\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)}=\cfrac{1+\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}}\)

\(=\cfrac{[1+\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}{[1-\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}=\cfrac{2}{-2f(x)}=-\cfrac{1}{f(x)}\)，

故 \(f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\cfrac{1}{-\cfrac{1}{f(x)}}=f(x)\)，故\(T=4a\)；

补遗3️⃣：已知\(f(x+a)\)\(=\)\(-\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)\(=\)\(\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}\)，则周期为\(T=4a\)；

[推导过程]：由于 \(f(x+a)\)\(=\)\(\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}\)，

则 \(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{f(x+a)-1}{f(x+a)+1}=\cfrac{\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}-1}{\cfrac{f(x)-1}{f(x)+1}+1}\)\(=\)\(\cfrac{-2}{2f(x)}\)\(=\)\(\cfrac{-1}{f(x)}\)，

故 \(f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\cfrac{1}{-\cfrac{1}{f(x)}}=f(x)\)，故\(T=4a\)；

引申探究：已知 \(a_{n+1}\)\(=\)\(\cfrac{a_n-1}{a_n+1}\)，则 \(T=4\) .

提示：上式即可看成 \(f(n+1)=\cfrac{f(n)-1}{f(n)+1}\)，仿上可以证明 \(T=4\) .

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1. 如果\(\cdots\)，那么\(\cdots\)句式，说明不是所有的函数都满足\(f(x+T)=f(x)\)，即有些函数不是周期函数，比如指数函数 \(f(x)=2^x\)。 ↩︎

2. 【常见结论1推导过程】：
   由题目可知，\(f(x+a)=-f(x)\)，则\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)
   \(\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-[-f(x)]=f(x)\)
   从而，\(\Longrightarrow T=2a\)。 ↩︎

3. 【常见结论1的引申推导】：
   \(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)\Longrightarrow T=2a\)
   具体例子，\(f(x)+f(x+4)=16\)，周期\(T=8\)。 ↩︎

4. 【常见结论2推导过程】：
   \(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\)，从而 \(\Longrightarrow T=2a\)
   常见的应用如 \(k=1\) 或 \(-1\)，如 \(f(x+a)\)\(=\)\(\cfrac{1}{f(x)}\)，则可知 \(T=2a\).
   又或者再添加个赋值法考查，比如已知 \(f(x+1)=\cfrac{1}{f(x-1)}\)，也即告诉你 \(T=4\)，说明如下：
   赋值或换元，令 \(x+1\) 替换 \(x\)，得到 \(f(x+2)=\cfrac{1}{f(x)}\)，即 \(T=4\) . ↩︎

5. 斐波那契数列的定义表达式为\(a_1=1\)，\(a_2=1\)，且满足 \(a_{n+1}\) \(=\) \(a_n\) \(+\) \(a_{n-1}\)，\(n\) \(\geqslant\) \(2\)；
   而此处的表达式对应的数列表达式为 \(a_{n+2}\) \(=\) \(a_{n+1}\) \(-\) \(a_{n}\)，即其表达式不符合斐波那契数列要求. ↩︎

6. 【三个连续自变量的形式推导过程】
   由已知\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)①\)，
   用\(x-1\)代换\(x\)，得到由此得到\(f(x+1)=f(x)-f(x-1)②\)，
   ①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，
   即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期为\(T=6\)， ↩︎

7. 分析：则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x)\\- f(-x)&= f(x)\end{align*}\Bigg\}\)
   \(\Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\) ↩︎

8. 分析：由函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，
   则由\(\begin{align*} f(x)&=f(2-x)\\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}\)\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)
   \(\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow\)周期\(T=8\) ↩︎

9. 分析：由于\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)\)为定值 \(a\)，则\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)=a\)，
   \(f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=a\)，即\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)\)，
   故\(f(x+3)=f(x)\)，故函数的周期\(T=3\)； ↩︎

10. 分析：由于\(f(x)\cdot f(x+1)\cdot f(x+2)=k\)，依托赋值法令 \(x\rightarrow x+1\) 可以得到，
    则\(f(x+1)\cdot f(x+2)\cdot f(x+3)=k\)，即\(f(x)\cdot f(x+1)\cdot f(x+2)=f(x+1)\cdot f(x+2)\cdot f(x+3)\)，
    两边同除以 \(f(x+1)\cdot f(x+2)\)，得到 \(f(x+3)=f(x)\)，故函数的周期 \(T=3\) . ↩︎

11. 提示：用到赋值法，令\(x=-3\)，则有\(f(-3+6)=f(-3)+f(3)\)，再由奇偶性推出\(f(3)=0\)，从而\(f(x+6)=f(x)\)，故\(T=6\)。
    同理，\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)可以推出周期\(T=4\)。
    引申：\(f(x+6)=f(x)+k\cdot f(3)(k\in N^*)\)，且 \(f(x)\) 为偶函数，\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)
    推理：令\(x=-3\)，则有\(f(-3+6)=f(-3)+k\cdot f(3)\)，即\(f(3)=f(-3)+k\cdot f(3)\)，再由奇偶性可得 \(f(3)=f(3)+k\cdot f(3)\)， 推出 \(f(3)=0\) ，从而\(f(x+6)=f(x)\)，故\(T=6\)。 ↩︎

12. 分析：令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；
    再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
    又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，令\(y=1\)，则有\(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)\)，
    即就是\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①\)，由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②\)，
    ①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期为\(T=6\)， ↩︎