函数的周期性
收集整理函数的周期性的形的刻画和数的表达等。
前言
当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的奇偶性周期性习题；
周期概念
(1). 周期函数：对于函数 \(y＝f(x)\)，如果存在一个非零常数 \(T\)，使得当 \(x\) 取定义域内的任何值时，都有 \(f(x+T)\)\(=\)\(f(x)\)，那么[1]就称函数 \(y＝f(x)\) 为周期函数，称 \(T\) 为这个函数的周期。
比如，函数 \(y=f(x)=\sin x\)，由于 \(x\in R\)，则 \(x+4\pi\in R\)，且对任意 \(x\) 都满足 \(\sin(x+4\pi)=\sin x\)，故 函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\)\(=\)\(\sin\)\(x\)是周期函数，\(4\pi\) 为它的一个周期。
(2). 最小正周期：如果在周期函数 \(f(x)\) 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 \(f(x)\) 的最小正周期。
理解概念中的关键词，知道有些函数如 \(f(x)\)\(=\)\(2^x\) 不是周期函数，有些函数仅有正周期如 \(f(x)\)\(=\)\(sinx\)，\(x\in[0，+\infty)\) 或者仅有负周期；
常函数 \(f(x)\)\(=\)\(c\)(\(c\)为常数) 没有最小正周期，如 \(f(x)=c\) ，则 \(f(x+T)\)\(=\)\(c\) ，此时的 \(T\) 没有最小的正数。
函数的周期性从数上理解，是说函数的自变量 \(x\) 增加 \(T\) 后，函数值重复出现；从形上理解，是说函数的图象左右平移 \(T\) 后，函数的图象和原图象重合。
常见方式
- 以图像的形式给出；
解读图像，从图像中我们就可以找出周期\(T\)。
- 以周期的定义式给出；
常见定义式：\(f(x+4)=f(x)\Longrightarrow T=4\)
定义式的常见变形：\(f(x+2)=f(x-2)\)或者\(f(x+3)=f(x-1) \Longrightarrow T=4\)
函数 \(f(x+1)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，故 \(f(x)\) 也是周期为 \(2\) 的周期函数，又或函数 \(f(x)\) 是周期为 \(2\) 的周期函数，则 \(f(x+1)\) 也是周期为 \(2\) 的周期函数，
- 以周期性的结论给出(不妨设\(a>0\))；
结论1：\(f(x+a)=-f(x)\)或者变形 \(f(x+a)+f(x)=0\Longrightarrow T=2a\)；推导：[2]
引申1：\(f(x+a)=b-f(x)\)或者变形\(f(x+a)+f(x)=b\Longrightarrow T=2a\)；推导：[3]
结论2：\(f(x+a)=\cfrac{k}{f(x)}(k\neq 0)\)或者变形\(f(x+a)\cdot f(x)=k \Longrightarrow T=2a\)；推导：[4]
- 以三个连续自变量的形式给出
给出表达式：\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)\Longrightarrow f(x+3)=-f(x)\Longrightarrow T=6\)；推导：[5]
- 以奇偶性和对称性结合形式给出周期性；
引例，已知函数\(f(x)\)是奇函数，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=4\)；推导：[6]
- 以轴对称和中心对称结合形式给出周期性；
引例，已知函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，且满足\(f(2-x)=f(x)\)，则可知函数的周期\(T=8\)；推导：[7]
- 以和为定值的方式给出；
引例，函数\(f(x)\) 满足\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)\)为定值 \(a\)，则函数\(f(x)\) 为周期函数；[8]
其他方式
- 分段函数的部分周期性
如已知\(f(x)\)的定义域为\(R\)，且\(f(x)=\begin{cases}2^{-x}-1，&x\leq 0 \\f(x-1)，&x>0\end{cases}\)，
则函数在\(x<0\)上没有周期性，但是在\(x>0\)上有周期性，周期是\(T=1\)，
- 以赋值法的模式给出
比如表达式：\(f(x+6)=f(x)+f(3)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)；[9]
- 以赋值法[更难]的模式给出
引例：已知函数\(f(x)\)满足\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，且\(f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)\)，求\(f(0)+f(1)+\) \(f(2)+\) \(\cdots+\) \(f(2016)\)的值。[10]
- 以综合表达式的形式给出；
比如给出\(f(x+2)=\cfrac{1}{2}f(x)\)，意味着周期性和伸缩性同时起作用。
- 以新定义和函数的迭代形式给出：
分析：本题目属于新定义题目，融合考查函数的周期性；
由题目的定义可知，\(f(8)\)表示的是\(8^2+1\)的各位数字之和，
由于\(8^2+1=65\)，则\(f(8)=6+5=11\)，这样\(f_1(8)=f(8)=6+5=11\)，
由于\(11^2+1=122\)，则\(f(11)=1+2+2=5\)，故\(f_2(8)=f(f_1(8))=f(11)=1+2+2=5\)，
由于\(5^2+1=26\)，则\(f_3(8)=f(f_2(8))=f(5)=2+6=8\)，
由于\(8^2+1=65\)，故\(f_4(8)=f(f_3(8))=f(8)=6+5=11\)，
由于\(11^2+1=122\)，故\(f_5(8)=f(f_4(8))=f(11)=1+2+2=5\)，
故函数\(f_n(8)\)的周期\(T=3\)，\(f_{2020}(8)=f_{673\times 3+1}(8)=f_1(8)=f(8)=11\);
故答案为\(11\).
数列周期
- 由于数列是特殊的函数，故数列的周期推导过程其实也与函数的周期推导是一致的。
比如数列\(\{a_n\}\)满足关系：\(a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\)，则可以推出数列的周期\(T=6\)；
解释：\(f(n+2)=f(n+1)-f(n)\Longrightarrow f(n+3)=-f(n)\Longrightarrow T=6\)
另类应用既然图像的左右平移可能会体现周期性，那么当我们需要函数图像左右平移时，自然也可以使用周期性来刻画，从而实现形向数的转化。
比如，写出一个图象关于直线 \(x＝2\) 对称且在 \([0, 2]\) 上单调递增的偶函数\(f(x)\)＝___________．
详析： 由 \([0, 2]\) 上单调递增，借助几何直观，我们会想到做一条线段，最简单的如 \(y=x\) ，又由于图象关于直线 \(x＝2\) 对称，故在 \([2, 4]\) 上做线段 \(y=4-x\)，又由于是偶函数，则将 \([0, 4]\) 上的图像关于 \(y\) 轴对称到 \([-4, 0]\) 上，即得到了满足题意的函数图像的大致图样，但问题随之来了，怎么用解析式来刻画这个函数呢，硬着头皮上，将我们刚才想到的图像数字化，比如\([0, 4]\) 上可以用两个分段函数组合，比如 \(y=x,x\in [0,2]\) 和 \(y=4-x,x\in(2,4]\)，其中\([-4,0)\)上利用对称求得解析式即可，最后用四段的分段函数表达即可，但我们感觉拉跨，此时可以观察 \([0, 4]\) 上的图像是 绝对值函数 \(y=|x|\) 倒扣加上平移得到的，故想到 \(x\in[0,4]\) 时，\(y=2-|x-2|\)，那么 \(x\in[-4,0)\) 上可以利用 \(y=f(-x)\) 来表达，但问题又来了，函数不满足对称性，因为是定义在\([-4,4]\)上的，并不关于\(y=2\)对称，我们需要将基本图像(\([0，4]\)这一段上的图像)向左右按周期的整数倍无限延伸才行，故采用周期的表达即可，
故得到满足题意的函数为 \(f(x)=\left\{\begin{array}{l}2-|x-2|，&x\in[0,4]\\f(x-4)，&x>4\\f(x+4)，&x<-4\end{array}\right.\)
周期补遗
- 以下的给出方式，极其少见，仅仅作整理之用，不需要太过理会。
① 已知\(f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)，则周期为\(T=2a\)；
[推导过程]：由于\(f(x+a)=\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)，
故\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1-f(x+a)}{1+f(x+a)}=\cfrac{1-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}}{1+\frac{1-f(x)}{1+f(x)}}\)
\(=\cfrac{[1-\frac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}{[1+\frac{1-f(x)}{1+f(x)}][1+f(x)]}=f(x)\)，故\(T=2a\)；
② 已知\(f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，则周期为\(T=4a\)；[其实若能赋值验证，比下面的推导更简单]
[推导过程]：由于\(f(x+a)=\cfrac{1+f(x)}{1-f(x)}\)，
故\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{1+f(x+a)}{1-f(x+a)}=\cfrac{1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}{1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}}\)
\(=\cfrac{[1+\frac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}{[1-\frac{1+f(x)}{1-f(x)}][1-f(x)]}=\cfrac{2}{-2f(x)}=-\cfrac{1}{f(x)}\)，
故\(f(x+4a)=f[(x+2a)+2a]=-\cfrac{1}{f(x+2a)}=-\cfrac{1}{-\frac{1}{f(x)}}=f(x)\)，故\(T=4a\)；
③ 已知\(f(x+a)=-\cfrac{1-f(x)}{1+f(x)}\)，则周期为\(T=4a\)；
提示：仿上自己证明；
如果\(\cdots\)，那么\(\cdots\)句式，说明不是所有的函数都满足\(f(x+T)=f(x)\)，即有些函数不是周期函数，比如指数函数 \(f(x)=2^x\)。 ↩︎
【常见结论1推导过程】：
由题目可知，\(f(x+a)=-f(x)\)，则\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]\)
\(\xlongequal[整体代换]{用x+a代换已知式中的x}-f(x+a)\xlongequal[代换]{用已知f(x+a)=-f(x)}-[-f(x)]=f(x)\)
从而，\(\Longrightarrow T=2a\)。 ↩︎【常见结论1的引申推导】：
\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=b-f(x+a)=b-[b-f(x)]=f(x)\Longrightarrow T=2a\)
具体例子，\(f(x)+f(x+4)=16\)，周期\(T=8\)。 ↩︎【常见结论2推导过程】：
\(f(x+2a)=f[(x+a)+a]=\cfrac{k}{f(x+a)}=\cfrac{k}{\cfrac{k}{f(x)}}= f(x)\)
从而，\(\Longrightarrow T=2a\) ↩︎【三个连续自变量的形式推导过程】
由已知\(f(x+2)=f(x+1)-f(x)①\)，
用\(x-1\)代换\(x\)，得到由此得到\(f(x+1)=f(x)-f(x-1)②\)，
①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，
即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期为\(T=6\)， ↩︎分析：则由\(\begin{align*} f(2-x)&=f(x)\\- f(-x)&= f(x)\end{align*}\Bigg\}\)
\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(-x)\Longrightarrow f(2+x)=- f(x)\Longrightarrow\)周期\(T=4\) ↩︎分析：由函数\(f(x)\)的图像关于点\((3,0)\)对称，即有\(f(x)+f(6-x)=0\)，
则由\(\begin{align*} f(x)&=f(2-x)\\ f(x)&=-f(6-x)\end{align*}\Bigg\}\)\(\Longrightarrow f(2-x)=-f(6-x)\)
\(\Longrightarrow f(2-x)=-f[4+(2-x)]\Longrightarrow f(x)=-f(4+x)\Longrightarrow\)周期\(T=8\) ↩︎分析：由于\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)\)为定值 \(a\)，则\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)=a\)，
则\(f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)=a\)，即\(f(x)+f(x+1)+f(x+2)=f(x+1)+f(x+2)+f(x+3)\)，
故\(f(x+3)=f(x)\)，故函数的周期\(T=3\)； ↩︎提示：用到赋值法，令\(x=-3\)，则有\(f(-3+6)=f(-3)+f(3)\)，再由奇偶性推出\(f(3)=0\)，从而\(f(x+6)=f(x)\)，故\(T=6\)。
引申：\(f(x+6)=f(x)+n\cdot f(3)(n\in N^*)\)，且\(f(x)\)为偶函数，\(\Longrightarrow T=6\)(赋值法)
同理，\(f(x+4)=f(x)+f(2)\)可以推出周期\(T=4\)。 ↩︎分析：令\(x=y=0\)，则有\(2f(0)=2f^2(0)\)，得到\(f(0)=0或f(0)=1\)；
再令\(x=1，y=0\)，则有\(2f(1)=2f(1)f(0)\)，得到\(f(0)=1\)；
又题目已知\(f(1)=\cfrac{1}{2}\)，令\(y=1\)，则有\(f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=f(x)\)，
即就是\(f(x+1)+f(x-1)=f(x)①\)，由此得到\(f(x+2)+f(x)=f(x+1)②\)，
①②两式相加得到\(f(x+2)=-f(x-1)\)，即\(f(x+3)=-f(x)\)，故周期为\(T=6\)， ↩︎
