函数$f(x+1)$和$f(x-1)$的奇偶性

前言

廓清认知

• 1、函数\(y=f(x)\)的奇偶性

①\(y=f(x)\)为奇函数，则满足\(f(-x)+f(x)=0\)，即关于点\((0，0)\)对称；

②\(y=f(x)\)为偶函数，则满足\(f(-x)-f(x)=0\)，即关于直线\(x=0\)对称；

③奇偶性的推广即为对称性，

比如函数满足\(f(x)+f(2-x)=4\)，则函数\(y=f(x)\)关于点\((1，2)\)对称；

函数满足\(f(x)-f(2-x)=0\)，则函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称；

• 2、函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性

为了好理解，令函数\(f(x+1)=F(x)\)，则由 \(F(x)\) 为奇函数，则应该满足 \(F(-x)\)\(=\)\(-F(x)\)，即\(f(-x+1)\)\(=\)\(-\)\(f(x+1)\)，而不是\(f(-x-1)\)\(=\)\(-f(x+1)\)；

理解这句话要注意：

①、从数的角度思考，可以用特例验证，比如\(f(x+1)=x^3\)，

则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，则\(f(-x+1)=-x^3\)，\(f(x+1)=x^3\)，

故满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，

而\(f(-x-1)=(-x-2)^2=-(x+2)^3\)，故不满足\(f(-x-1)=-f(x+1)\)；

②、从形的角度理解，比如\(f(x+1)=x^3\)，则用代换法得到\(f(x)=(x-1)^3\)，很显然函数\(f(x+1)=x^3\)的对称中心是\((0，0)\)，

而函数\(f(x)=(x-1)^3\)的对称中心是\((1，0)\)；可以用图像变换来理解，函数\(f(x+1)\)的对称中心是\((0，0)\)，

将它向右平移一个单位得到\(f(x)\)，故函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；

③、函数的奇偶性变换针对的是单独的自变量\(x\)，而不是\(x+1\)这个整体；

④、我们其实可以用函数\(y=f(x+1)\)的奇偶性推出函数\(f(x)\)的对称性：

比如函数\(f(x+1)\)为奇函数，则应该满足\(f(-x+1)=-f(x+1)\)，即\(f(-x+1)+f(x+1)=0\)，

由于\(\cfrac{(-x+1)+(x+1)}{2}=1\)，\(\cfrac{y_1+y_2}{2}=\cfrac{f(-x+1)+f(x+1)}{2}=0\)，

这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称中心是\((1，0)\)；

当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)+f(2-x)=0\)，或者\(f(\cfrac{1}{2}+x)+f(\cfrac{3}{2}-x)=0\)；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

再比如函数\(f(x+1)\)为偶函数，则应该满足\(f(-x+1)=f(x+1)\)，

这样我们就能得到函数\(f(x)\)的对称轴是直线\(x=1\)；

当然由此我们还可以写出表达式\(f(x)=f(2-x)\)，或者\(f(\frac{1}{2}+x)=f(\frac{3}{2}-x)\)；

这些表达式之间都是可以相互转化的，也就是实质是一样的。

• 3、函数\(y=f(x-1)\)的奇偶性

同上理解即可。

典例剖析

• \(f(x)\)的对称轴为\(x=0\)，则\(f(x)=f(-x)=f(|x|)\)；则\(f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow\) \(f(|M|)\geqslant f(|N|)\)；

【2019届高三理科数学二轮资料用题】已知定义在\(R\)上的奇函数\(f(x)\)单调递增，且\(g(x)=|f(x)|\)，则不等式\(g(x)-g(2x-6)<0\)的解集是【】

$A(2，6)$ $B(-6，-2)$ $C(-\infty，2)\cup(6，+\infty)$ $D(-\infty，-6)\cup(-2，+\infty)$

分析：\(g(x)\)为偶函数，且在\([0，+\infty)\)上单调递增，\(g(|x|)<g(|2x-6|)\)，故\(|x|<|2x-6|\)，解得 \(x\in (-\infty，2)\cup(6，+\infty)\)，故选\(C\).

• \(f(x)\)的对称轴为\(x=1\)，则\(f(M)\geqslant f(N)\Leftrightarrow\) \(f(|M-1|)\geqslant f(|N-1|)\)；

【2018齐鲁名校教科研协作体山东湖北部分重点中学高考冲刺模拟，6】已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)在\([1，+\infty)\)上单调递减，且\(f(x+1)\)是偶函数，不等式\(f(m+2)\geqslant f(x-1)\)对任意的\(x\in [-1，0]\)恒成立，则实数\(m\)的取值范围是【】

$A.[-3，1]$ $B.[-4，2]$ $C.(-\infty，-3)\cup [1，+\infty)$ $D.(-\infty，-4)\cup [2，+\infty)$

分析：由于\(f(x+1)\)是偶函数，故\(f(x)\)的图像关于\(x=1\)对称，

由\(f(m+2)\geqslant f(x-1)\)得到，[说明：\(f(x)\)对称轴为\(x=0\)，则\(f(x-1)\)的对称轴为\(x=1\)；]

故\(f(|(m+2)-1|)\geqslant f(|(x-1)-1|)\)，又由于函数\(f(x)\)在\([1，+\infty)\)上单调递减，

故\(|(m+2)-1|\leqslant |(x-1)-1|\)，即\(|m+2|\leqslant |2-x|\)对任意的\(x\in [-1，0]\)恒成立，

而右侧函数\(y=|2-x|\)在\(x\in [-1，0]\)上的最小值为\(2\)，

故得到\(|m+1|\leqslant 2\)，即\(-3\leqslant m\leqslant 1\)，故选\(A\)。

【学生问题】已知函数\(f(x)=e^{x-1}+e^{1-x}\)，则满足\(f(x-1)<e+e^{-1}\)的\(x\)的取值范围是_____________。

说明：本例子能说明，为什么需要建立一些模型，如令\(g(x)=e^x+e^{-x}\)，则\(f(x)=g(x-1)\)，这样就能很容易画出其图像。

法1：数形结合，做出其图像，原不等式等价于\(f(x-1)<f(0)\)，\(f(0)=f(2)\)

由图像可知，\(0<x-1<2\)，

解得\(1<x<3\)。故所求范围为\((1，3)\)。

法2：利用对称性的性质求解，由上可知\(g(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数，在\((-\infty，0]\)上单调递减，在\([0，+\infty)\)上单调递增；

则\(f(x)=g(x-1)\)为对称轴为\(x=1\)的函数，在\((-\infty，1]\)上单调递减，在\([1，+\infty)\)上单调递增；

故由\(f(x-1)<e+e^{-1}=f(0)\)，则可知\(f(|(x-1)-1|)<f(|0-1|)\)，又由于在\([1，+\infty)\)上单调递增；

则得到\(|(x-1)-1|<|0-1|\)，即\(|x-2|<1\)，即\(-1<x-2<1\)，

解得\(1<x<3\)，故所求范围为\((1，3)\)。

【2021新高考全国卷Ⅱ】已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(R\)， \(f(x+2)\) 为偶函数， \(f(2x+1)\) 为奇函数， 则下列正确的项是 【\(\qquad\)】

$A$.$f(-\frac{1}{2})=0$

$B.$$f(-1)=0$

$C.$$f(2)=0$

$D.$$f(4)=0$

法一：[思维层次高一些的解法]由于 \(f(x+2)\) 是偶函数，故有\(f(-x+2)=f(x+2)\)函数的奇偶性都是针对单独的自变量而言的，故由\(f(x+2)\) 是偶函数，能得到 \(f(-x+2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，而不是 \(f(-x-2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，若满足 \(f(-x-2)\)\(=\)\(f(x+2)\)，得到的应该是 \(f(x)\) 为偶函数，而不是 \(f(x+2)\) 为偶函数。，

又由于 \(f(2x+1)\) 是奇函数， 所以\(f(-2x+1)=-f(2x+1)\)函数的奇偶性都是针对单独的自变量而言的，故由\(f(2x+1)\) 是奇函数，能得到 \(f(-2x+1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，而不是 \(f(-2x-1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，若满足 \(f(-2x-1)\)\(=\)\(-f(2x+1)\)，得到的应该是 \(f(x)\) 为奇函数，而不是\(f(2x+1)\)为奇函数。，

由 \(f(-2x+1)=-f(2x+1)\) ，令 \(x=0\)，得到 \(f(1)=-f(1)\)，解得 \(f(1)=0\)，

由 \(f(-2x+1)=-f(2x+1)\) ，令 \(x=1\)，得到 \(f(-1)=-f(3)\)，

由 \(f(-x+2)=f(x+2)\)，令 \(x=1\)，得到 \(f(1)=f(3)\)，

故有\(f(-1)=-f(3)\)\(=-f(1)=0\)， 故 \(B\) 正确 .

法二：由于 [思维层次低一些的解法] 由于 \(f(x+2)\) 是偶函数，则 其对称轴为直线 \(x=0\)，

将 \(f(x+2)\) 的图像向右平移 \(2\) 个单位，得到\(f(x)\)依据口诀"左加右减"，其变换的实质是用 \(x-2\) 替换 \(x\)，具体的变换为 \(f[(x-2)+2]\)\(=\)\(f(x)\)，则其对称轴也相应的变为直线 \(x=2\)，

那么函数 \(f(x)\) 必然满足 \(f(4-x)=f(x)\)① ；

又由于 \(f(2x+1)\) 为奇函数，则 其图像关于点 \((0,0)\) 中心对称，

将 \(f(2x+1)\) 的图像向右平移 \(\cfrac{1}{2}\) 个单位，得到\(f(2x)\)依据口诀"左加右减"，其变换的实质是用 \(x-\cfrac{1}{2}\) 替换单独的自变量 \(x\)，具体的变换为 \(f[2(x-\cfrac{1}{2})+1]\)\(=\)\(f(2x)\)，此时其对称中心相应变化为 \((\cfrac{1}{2},0)\) ，

再将 \(f(2x)\) 的纵坐标不变，横坐标扩大为原来的 \(2\) 倍，得到\(f(x)\)此时变换的实质是用 \(\cfrac{1}{2}x\) 替换单独的自变量 \(x\)，具体的变换为 \(f[2(\cfrac{1}{2}x)]\)\(=\)\(f(x)\)，则其对称中心由 \((\cfrac{1}{2},0)\) 相应变化为 \((1,0)\) ，

即 \(f(x)\) 的对称中心为 \((1,0)\) ，故其满足 \(f(2-x)+f(x)=0\)②，

由①②可得， \(f(2-x)+f(4-x)=0\)，用 \(-x\) 替换 \(x\) 得到 \(f(4+x)+f(2+x)=0\) ，

再用 \(x-2\) 替换 \(x\) 得到，\(f(x+2)+f(x)=0\)，即 \(f(x+2)=-f(x)\)，故函数 \(f(x)\)的周期 \(T=4\)，

再由 \(f(2x+1)\) 为奇函数，令 \(x=0\)，即得到 \(f(1)=0\)，

又由 \(f(4-x)=f(x)\)，令 \(x=1\)，得到 \(f(3)=f(1)=0\)，

故 \(f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1)=0\)，故 \(B\) 正确 .

法三：采用抽象问题具体化的策略，可以降低问题的抽象性，比如理解题意后，可构造 \(f(x)=\cos[\cfrac{\pi}{2}(x-2)]\) 符合题意， 故 \(B\) 正确 .

【2022届高三理科数学三轮模拟冲刺用题】已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(R\)， 且 \(f(2x+1)\) 为偶函数， \(f(x-1)\) 为奇函数， 则下列命题正确的个数是 【\(\qquad\)】

(1). \(f(x)=f(x-16)\) ；(2). \(f(11)=0\) ；(3). \(f(2022)=-f(0)\) ； (4). \(f(2021)=f(-3)\) .

$A.1$ $B.2$ $C.3$ $D.4$

解析：由 \(f(2x+1)\) 为偶函数，可得到 \(f(-2x+1)\)\(=\)\(f(2x+1)\)由于\(\cfrac{(-2x+1)+(2x+1)}{2}\)\(=\)\(1\)，故函数 \(f(x)\) 关于直线 \(x=1\) 对称，，故函数 \(f(x)\) 关于直线 \(x=1\) 对称，即有 \(f(x+2)\)\(=\)\(f(-x)\) ①[关于直线\(x=1\)对称的另外一种等价写法]；

由 \(f(x-1)\) 为奇函数，可得 \(f(-x-1)\)\(=\)\(-f(x-1)\) ，即 \(f(-x-1)+f(x-1)=0\) 由于\(\cfrac{(-x-1)+(x-1)}{2}\)\(=\)\(-1\) 且 \(\cfrac{f(-x-1)+f(x-1)}{2}\)\(=\)\(\cfrac{y_1+y_2}{2}\)\(=\)\(0\)，故函数 \(f(x)\) 关于点 \((-1,0)\) 成中心对称，，则有 \(f(-x)\)\(+\)\(f(-2+x)\)\(=\)\(0\) ②[关于点 \((-1,0)\) 对称的另外一种等价写法]；

由①②可得，\(f(x+2)\)\(+\)\(f(-2+x)\)\(=\)\(0\)，用 \(x+2\) 替换其中的 \(x\) ，得到 \(f(x+4)\)\(+\)\(f(x)\)\(=\)\(0\)，即 \(f(x+4)\)\(=\)\(-f(x)\)，故 \(T\)\(=\)\(8\)，

由此可得，故 (1). \(f(x)\)\(=\)\(f(x-16)\) 正确，

又由于 \(f(x-1)\) 为奇函数，令 \(x=0\) ，故可得 \(f(-1)\)\(=\)\(0\)[后边备用] ，又 \(f(11)\)\(=\)\(f(3)\)，赋值 \(f(-2x+1)\)\(=\)\(f(2x+1)\) 中的 \(x=1\)，可得 \(f(3)\)\(=\)\(f(-1)\)，故有 \(f(11)\)\(=\)\(f(3)\)\(=\)\(f(-1)\)\(=\)\(0\)，即 (2). \(f(11)\)\(=\)\(0\) 正确；

由于函数 \(f(x)\) 的 \(T=8\)，则 \(f(2022)\)\(=\)\(f(6)\)，赋值 \(f(x+4)\)\(=\)\(-f(x)\) 中的 \(x=2\)，得到 \(f(6)\)\(=\)\(-f(2)\)，再赋值 \(f(-2x+1)\)\(=\)\(f(2x+1)\) 中的 \(x=\cfrac{1}{2}\)，可得 \(f(2)\)\(=\)\(f(0)\)，故有 \(f(2022)\)\(=\)\(f(6)\)\(=\)\(-f(2)\)\(=\)\(-f(0)\)，即 (3). \(f(2022)\)\(=\)\(-f(0)\) 正确；

由于函数 \(f(x)\) 的 \(T=8\)，故有 \(f(2021)\)\(=\)\(f(5)\)\(=\)\(f(-3)\)，即 (4). \(f(2021)\)\(=\)\(f(-3)\) 正确；

综上所述，故选 \(D\) .

〔解后反思〕：此类题目的内涵特别的大，由 \(f(2x+1)\) 为偶函数，可得到函数 \(f(x)\) 关于直线对称，由 \(f(x-1)\) 为奇函数，得到函数 \(f(x)\) 关于某个点中心对称，将函数的关于直线对称和关于某点中心对称，改写后就可以推到周期性了；另外，赋值法在这类题目中少不了。

【2021届高三文科数学用题改编】函数 \(y=f(2x-1)\)为奇函数，则\(f(-1)=0\)，并不是\(f(0)=0\).

解析： 令 \(g(x)=f(2x-1)\)，由于\(g(x)=f(2x-1)\)为奇函数，则\(g(0)=f(2\times0-1)=0\)，即\(f(-1)=0\).

延申链接

1、抽象函数性质的验证