高中数学常见角的范围及其表示

前言

高中数学中的角，各式各样，其范围的理解和记忆就是个问题，其实遵照从简原则，可以很容易破解，举例如下：

平面内两条直线\(AB\)和\(CD\)相交于点\(O\)，形成了两组对顶角，四组邻补角；

如上图所示，遵照从简原则，很显然我们只要用\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)的范围就足以刻画其位置关系；

三角函数

三角形内角：锐角：\(0<\theta<\cfrac{\pi}{2}\) 直角：\(\theta=\cfrac{\pi}{2}\) 钝角：\(\cfrac{\pi}{2}<\theta<\pi\)；

三角形中的最小内角三角形的最小内角不超过 \(\cfrac{\pi}{3}\)，如果最小内角超过 \(\cfrac{\pi}{3}\)，则内角和会超过 \(\pi\)； ：\(0<\theta\leqslant\cfrac{\pi}{3}\) ；三角形中的最大内角三角形的最大内角不小于 \(\cfrac{\pi}{3}\)，如果最大内角小于 \(\cfrac{\pi}{3}\)，则内角和会不足 \(\pi\)； ：\(\cfrac{\pi}{3}\leqslant\theta<{\pi}\) ；

某个范围的角的标记符号： \(0^{\circ}\)到\(90^{\circ}\)间的角\(\theta\)：\(\theta\in [0^{\circ}，90^{\circ})\)； \(0^{\circ}\sim 90^{\circ}\)的角\(\theta\)：\(\theta\in [0^{\circ}，90^{\circ})\)；

三角函数中的象限角[弧度制下]：[角度制下]^[1]

第一象限的角：\(\{\theta\mid 2k\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\}\)

第二象限的角：\(\{\theta\mid 2k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\theta<2k\pi+\pi，k\in Z\}\)

第三象限的角：\(\{\theta\mid 2k\pi+\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}，k\in Z\}\)

第四象限的角：\(\{\theta\mid 2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}<\theta<2k\pi+2\pi，k\in Z\}\)

角的终边在射线上：

第一第二象限界角(轴线角)：\(\{\theta\mid \theta=2k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\}\)

第二第三象限界角(轴线角)：\(\{\theta\mid \theta=2k\pi+\pi，k\in Z\}\)

第三第四象限界角(轴线角)：\(\{\theta\mid \theta=2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}，k\in Z\}\)

第四第一象限界角(轴线角)：\(\{\theta\mid \theta=2k\pi+0，k\in Z\}\)

角的终边在直线上

角的终边在\(x\)轴上：\(\{\theta\mid \theta=k\pi+0，k\in Z\}\)

角的终边在\(y\)轴上：\(\{\theta\mid \theta=k\pi+\cfrac{\pi}{2}，k\in Z\}\)

角的终边在第Ⅰ和第Ⅲ象限角分线上：\(\{\theta\mid \theta=k\pi+\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\)

角的终边在第Ⅱ和第Ⅳ象限角分线上：\(\{\theta\mid \theta=k\pi-\cfrac{\pi}{4}，k\in Z\}\)

解三角形

仰角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角；范围\([0，\cfrac{\pi}{2})\)；是在铅垂面上所成的角；

俯角：在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线下方叫俯角；范围\([0，\cfrac{\pi}{2})\)；是在铅垂面上所成的角；

方位角：从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．范围\([0，2\pi)\)；是在水平面上所成的角；

方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的角，如南偏东30°，北偏西45°等．范围\([0，\cfrac{\pi}{2})\)；是在水平面上所成的角；

坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．

平面几何

两直线平行或重合：\(\theta=0\)；

两共面直线所成的角：\([0，\cfrac{\pi}{2}]\)；

两相交直线所成的角：\(0<\theta\leq \cfrac{\pi}{2}\)；

圆中的圆心角 \(\theta\in(0,2\pi]\)，圆周角 \(\beta\in[0,\pi]\)，

立体几何

两个平面的法向量的夹角：\(0\leq \theta\leq \pi\)

异面直线所成的角：\(0<\theta\leq \cfrac{\pi}{2}\)，易错：当在三角形中求解时，要注意所求得的三角形的内角和异面直线所成的角不一定一致。

直线和平面所成的角：\(0\leq \theta\leq \cfrac{\pi}{2}\)，当线在面内或线面平行时\(\theta=0\)；

二面角：\(0\leq \theta\leq \pi\)两个半平面的夹角的范围也是\(0\)\(\leq\)\(\theta\)\(\leq\)\(\pi\)\(\quad\)；二面角的平面角：\(0\leq \theta\leq \pi\)；

两平面夹角：\(0\leq \theta\leq \cfrac{\pi}{2}\)；

向量的夹角：\(0\leq \theta\leq \pi\)； 易错：求三角形的三边所在的向量的夹角时，要注意所求得的三角形的内角和向量的夹角不一定一致 .

解析几何

直线的倾斜角：\(0\leq \theta< \pi\)

直线\(l_1\)到\(l_2\)的到角范围：\(0< \theta< \pi\)

直线\(l_1\)与\(l_2\)的夹角范围：\(0< \theta< \pi\)

复数相关

复数 \(z\) 的辐角 \(Arg\;z\)：\(arg\;z\in R\)；而复数的辐角主值 \(arg\;z\)：\(arg\;z\in [0，2\pi)\)

二者的关系为：\(Arg\:z=arg\:z+2k\pi，k\in Z\)；

• 现行2019人教版规定范围\(arg\;z\in [0，2\pi)\)，有些教材规定 \(arg\;z\in (-\pi，\pi]\);

以下的角及其范围，暂时不需要知道；

反三角函数

反正弦函数主值区间：\([-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]\)；反余弦函数主值区间：\([0，\pi]\)；

反正切函数主值区间：\((-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2})\)；反余切函数主值区间：\((0，\pi)\)；

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1. 角度制下的象限角的表示：
   第一象限的角：\(\{\theta\mid k\cdot360^{\circ}+0^{\circ}<\theta<k\cdot360^{\circ} +90^{\circ}，k\in Z\}\)
   第二象限的角：\(\{\theta\mid k\cdot360^{\circ}+90^{\circ}<\theta<k\cdot360^{\circ} +180^{\circ}，k\in Z\}\)
   第三象限的角：\(\{\theta\mid k\cdot360^{\circ}+180^{\circ}<\theta<k\cdot360^{\circ} +270^{\circ}，k\in Z\}\)
   第四象限的角：\(\{\theta\mid k\cdot360^{\circ}+270^{\circ}<\theta<k\cdot360^{\circ} +360^{\circ}，k\in Z\}\) ↩︎