不等式习题

前言

收集整理感觉有价值的不等式习题 .

典例剖析

【2017宝中训练题】若点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，则下列不等式正确的是【\(\qquad\)】

$A.a^2+b^2\leq 1$ $B.a^2+b^2\ge 1$ $C.\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\leq 1$ $D.\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1$

法1：三角函数的有界性，由于点\(P(cos\theta，sin\theta)\)在直线\(\cfrac{x}{a}+\cfrac{y}{b}=1\)上，则有\(bcos\theta+asin\theta=ab\)，

即\(\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)=ab，tan\phi=\cfrac{b}{a}\)，由三角函数的有界性可知\(|sin(\theta+\phi)|=|\cfrac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}|\leq 1\)，

即\(\cfrac{\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\ge 1\)，即\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选\(D\).

法2：数形结合，由已知可知点\(P\)在单位圆上，自己做出大致图像可知，直线和圆的位置关系只能是相切和相交，

故圆心\((0，0)\)到直线\(bx+ay-ab=0\)的距离应该小于等于半径\(1\)，即\(\cfrac{|b\cdot 0+a\cdot 0-ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}\leq 1\)，

化简得\(\cfrac{1}{a^2}+\cfrac{1}{b^2}\ge 1\)，故选\(D\).

\(a>b>1\)是\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)的【 充分不必要 】条件。

法1：常规用做差法，由已知可知\(ab-1>0，a-b>0\)，

\(a+\cfrac{1}{a}-(b+\cfrac{1}{b})=a-b-\cfrac{a-b}{ab}=(a-b)\cfrac{ab-1}{ab}>0\)，

即\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)，故充分性成立；

当\(a=\cfrac{1}{4}，b=\cfrac{1}{2}\)时，满足\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)，但不能得到\(a>b>1\)，故必要性不成立。

法2：巧解构造函数法，令\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\)，则原题目变形为\(a>b>1\)是\(f(a)>f(b)\)的什么条件，结合对勾函数的图像很容易判断。

求下列代数式的取值范围【用不等式性质求范围】

① 已知\(1<\alpha<3\)，\(-4<\beta<2\)，求\(\alpha-|\beta|\)的取值范围。

分析：由于\(-4<\beta<2\)，

则\(0\leq |\beta|<4\)，即\(-4<-|\beta|\leq 0\)，

又\(1<\alpha<3\)，同向不等式相加，得到

\(-3<\alpha-|\beta|<3\)，注意，右端等号不能同时取到，

故\(\alpha-|\beta|\in (-3，3)\)。

② 已知\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，求\(\alpha-\beta\)的取值范围；

分析：①已知条件等价转化为不等式组\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2} }\\\\{ -\cfrac{\pi}{2}<\beta<\cfrac{\pi}{2} }\\\\{ \alpha<\beta }\end{array}\right.\)，

这样得到\(-\pi<\alpha-\beta<\pi\)，且\(\alpha-\beta<0\)，故\(-\pi<\alpha-\beta<0\)，

③ 已知\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，求\(2\alpha-\beta\)的取值范围；

分析：仿上，先转化得到\(-\pi<\alpha-\beta<0\)，又由于\(-\cfrac{\pi}{2}<\alpha<\cfrac{\pi}{2}\)，

两个同向不等式相加，得到\(-\cfrac{3\pi}{2}<2\alpha-\beta<\cfrac{\pi}{2}\)，

【比较大小】若\(P=\sqrt{a+2}+\sqrt{a+5}\)，\(Q=\sqrt{a+3}+\sqrt{a+4}(a\ge 0)\)，比较\(P、Q\)的大小。

分析：由于\(a\ge 0\)，\(P > 0\)，\(Q > 0\)，

则有\(Q^2-P^2=2a+7+2\sqrt{a^2+7a+12}-(2a+7+2\sqrt{a^2+7a+10})\)

\(=2(\sqrt{a^2+7a+12}-\sqrt{a^2+7a+10}) > 0\)，

所以\(Q^2 > P^2\)，则\(Q > P\)。

【比较大小】【2019高三理科数学启动卷，2019陕西省二检试卷第5题】若正实数\(a\)，\(b\)满足\(a>b\)，且\(lna\cdot lnb>0\)，则【\(\qquad\)】

$A.\cfrac{1}{a} > \cfrac{1}{b}$ $B.a^2 < b^2$ $C.ab+1 > a+b$ $D.\ln a+\ln b > 0$

分析：由于\(a>b>0\)，则得到\(\cfrac{1}{a}<\cfrac{1}{b}\)，且\(a^2>b^2\)，故选项\(A\)，\(B\)错误；

又由于\(lna\cdot lnb>0\)，则\(lna\)与\(lnb\)同正或同负，由\(y=lnx\)的图像可知，它们同正或同负都有可能，故选项\(D\)错误；

对于选项\(C\)而言，可以变形得到\(ab+1-a-b=(a-1)(b-1)\)，则当\(a，b\in (0，1)\)或\(a，b\in (1，+\infty)\)时，可知\(ab+1-a-b=(a-1)(b-1)>0\)，故选\(C\)。

【比较大小】【2020高三数学课时作业】已知\(a=\cfrac{ln3}{3}\)，\(b=\cfrac{ln4}{4}\)，\(c=\cfrac{ln5}{5}\)，则其大小为【\(\qquad\)】

$A.a < b < c$ $B.c< b < a$ $C.c < a < b$ $D.b < a < c$

法1：作差法，\(a-b=\cfrac{ln3}{3}-\cfrac{ln4}{4}=\cfrac{1}{12}(4ln3-3ln4)=\cfrac{1}{12}(ln81-ln64)>0\)，则\(a >b\)；

\(b-c=\cfrac{ln4}{4}-\cfrac{ln5}{5}=\cfrac{1}{20}(5ln4-4ln5)=\cfrac{1}{20}(ln1024-ln625)>0\)，则\(b >c\)；

综上所述，\(c< b < a\)，故选\(B\).

法2：作商法，注意到\(a,b,c>0\)，则可以考虑作商法，

\(\cfrac{b}{a}=\cfrac{\frac{ln4}{4}}{\frac{ln3}{3}}=\cfrac{3ln4}{4ln3}=\cfrac{ln64}{ln81}<1\)，则\(b <a\)；

\(\cfrac{c}{b}=\cfrac{\frac{ln5}{5}}{\frac{ln4}{4}}=\cfrac{4ln5}{5ln4}=\cfrac{ln625}{ln1024}<1\)，则\(c< b\)；

综上所述，\(c< b< a\)，故选\(B\).

法3：构造函数法，注意到三个式子同结构，故令\(f(x)=\cfrac{lnx}{x}\)，定义域\(x\in (0，+\infty)\)，

则\(f'(x)=\cfrac{1-lnx}{x^2}\)，令\(f'(x)>0\)，则\(0<x<e\)，令\(f'(x)<0\)，则\(x>e\)，

故\(x\in (0，e)\)时，\(f(x)\)单调递增，\(x\in (e，+\infty)\)时，\(f(x)\)单调递减，

又由于\(3<4<5\)，故\(f(3)>f(4)>f(5)\)，即\(c<b<a\)，故选\(B\).

【比较大小】【2020高三数学课时作业】已知实数\(a,b,c\)满足\(b+c=6-4a+3a^2\)，\(c-b=4\)\(-4a+\)\(a^2\)，则\(a,b,c\)的大小关系为【\(\qquad\)】

$A.c\geqslant b >a$ $B.a >c\geqslant b$ $C.c > b >a$ $D.a > c >b$

分析：由于\(c-b=4-4a+a^2=(a-2)^2\geqslant 0\)，故\(c\geqslant b\)；

又由于\(c+b=6-4a+3a^2\)，\(c-b=4-4a+a^2\)，故由方程思想得到，\(b=a^2+1\)，

则\(b-a=a^2-a+1>0\)恒成立，即\(b>a\)，故\(c\geqslant b >a\)，选\(A\).

【分子有理化】已知\(a=\sqrt{2}\)，\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}\)，\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}\)，比较\(a、b、c\)的大小。

分析：\(b=\sqrt{7}-\sqrt{3}=\cfrac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}\)；

\(c=\sqrt{6}-\sqrt{2}=\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{1}=\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)；

由于\(\sqrt{7}+\sqrt{3}>\sqrt{6}+\sqrt{2}\)，故\(\cfrac{4}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}<\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)，即\(b<c\)，

又\(\sqrt{2}(\sqrt{6}+\sqrt{2})=2\sqrt{3}+2>4\)，故\(\sqrt{2}>\cfrac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}\)，即\(c<a\)，

综上所述，故 \(b<c<a\)；

正在解决

【学生资料上的难题】已知\(x^2+y^2\leq 1\)，求\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\)的最小值 .

思路1️⃣：转化为点线距之和求解；我们发现 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\)\(=\sqrt{5}\)\(\times\)\(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\)\(+\)\(\sqrt{10}\)\(\times\)\(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\)，其中表达式 \(\cfrac{|2x+y-2|}{\sqrt{5}}\) 和 \(\cfrac{|x+3y-6|}{\sqrt{10}}\) 分别表示园内及圆上的动点到两条直线的距离，

故可以把“数”的问题转化为“形”的问题。可以求得圆 \(x^2\)\(+\)\(y^2\)\(=\)\(1\) 与直线 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(=\)\(0\) 的交点\(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\)；显然点 \(A\) 能使得 \(|2x+y-2|\) 取到最小值 \(0\) ，故此时只需要将点 \(A\) 的坐标代入 \(|x+3y-6|\) 计算即可；怎么老是感觉这个思路有点牵强呀 .

计算得到 \(|x+3y-6|\)\(=\)\(|\cfrac{3}{5}\)\(+\)\(3\times\)\(\cfrac{4}{5}\)\(-\)\(6\)\(|=3\)，故 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\) 的最小值为 \(3\).

思路2️⃣：三角代换，学生一般很少考虑这个思路。

令\(x\)\(=\)\(R\cos\theta\)，\(y\)\(=\)\(R\sin\theta\)，\(R\)\(\in\)\([0，1]\)，

则 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|x+3y-6|\)\(\geqslant\)\(|(2x+y-2)+(x+3y-6)|\)\(=\)\(|3x+4y-8|\)

\(=\)\(|3R\cos\theta\)\(+\)\(4R\sin\theta\)\(-\)\(8|\)\(=\)\(|5R\sin(\theta+\phi)\)\(-8|\)\(=\)\(|8\)\(-\)\(5R\)\(\sin(\theta+\phi)|\)

故当 \(R\sin(\theta+\phi)\)\(=\)\(1\) 时，上式有最小值，最小值为 \(3\)；

补充思路，\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geqslant |(2x+y-2)-(x+3y-6)|=|x-2y+4|\)

\(=|R\cos\theta-2R\sin\theta+4|=|\sqrt{5}R\sin(\theta-\beta)+4|\)，可以这样思考计算吗，待后思考；

思路3️⃣：由 \(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(\leq\)\(1\)，可得 \(6-x-3y\)\(>\)\(0\)，故 \(|6-x-3y|\)$=\(6-x-3y\)；

如图直线 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(=\)\(0\) 将圆 \(x^{2}\)\(+\)\(y^{2}\)\(=\)\(1\) 分成两部分；

在直线的右上方(含直线，注意这会影响到可行域)，均有 \(2x\)\(+\)\(y\)\(-\)\(2\)\(\geq\)\(0\)，故有 \(|2x+y-2|\) \(=\) \(2x+y-2\)，且恒有\(6-x-3y\)\(>\)\(0\)，此时\(|2x+y-2|\)\(+\)\(|6-x-3y|\)\(=\)\((2x+y-2)\)\(+\)\((6-x-3y)\)\(=\)\(x\)\(-\)\(2y\)\(+\)\(4\)

利用线性规划【此时的可行域为图中的小弓形，绿色部分】可得在 \(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\) 处取得最小值 \(3\)；

在直线的左下方(含直线，注意这会影响到可行域)，均有 \(2x+y-2\)\(\leq\)\(0\)，故有\(|2x+y-2|\)\(=\)\(-(2x+y-2)\)

此时 \(|2x+y-2|\)\(+\)\(|6-x-3y|\)\(=\)\(-(2x+y-2)\)\(+\)\((6-x-3y)\)\(=\)\(8\)\(-\)\(3x\)\(-\)\(4y\)

利用线性规划【此时的可行域为图中的大弓形，蓝色部分】可得在 \(A(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})\) 处取得最小值 \(3\)；

综上所述，答案为：\(3\).

思路4️⃣：利用不等式性质，\(|a|-|b|\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|\)，

\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geq |(2x+y-2)+(x+3y-6)|=|x-2y+4|\) 或

\(|2x+y-2|+|x+3y-6|\geq |(2x+y-2)-(x+3y-6)|=|3x+4y-8|\)，这个思路能不能行得通呢 .