2017全国卷1文科第9题高考真题的解法

【2017全国卷1文科第9题高考真题】已知函数\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，则【】

$A.$在$(0，2)$上单调递增

$B.$在$(0，2)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=1$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(1，0)$对称

分析：由于函数\(f(x)\)是复合函数，定义域要使\(x>0，2-x>0\)，即定义域是\((0，2)\)，

又\(f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]\)，则由复合函数的单调性法则可知，

在\((0，1)\)上单增，在\((1，2)\)上单减，故排除\(A\)，\(B\)；

若函数\(y=f(x)\)关于点\((1，0)\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)+f(2-x)=0\)；

若函数\(y=f(x)\)关于直线\(x=1\)对称，则函数\(f(x)\)必然满足关系：\(f(x)=f(2-x)\)；

接下来我们用上述的结论来验证，由于\(f(x)=lnx+ln(2-x)\)，

\(f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx\)，即满足\(f(x)=f(2-x)\)，故函数\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=1\)对称，选\(C\)；

再来验证\(D\)，发现\(f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0\)，\(D\)选项不满足。故选\(C\)。

【2018高三文科训练题】已知函数\(f(x)=lg(4x-x^2)\)，则【】

$A.f(x)$在$(0，4)$上单调递增

$B.f(x)$在$(0，4)$上单调递减

$C.y=f(x)$的图像关于直线$x=2$对称

$D.y=f(x)$的图像关于点$(2，0)$对称

分析：令内函数\(g(x)=4x-x^2>0\)，得到定义域\((0，4)\)，又\(g(x)=-(x-2)^2+4\)，故内函数在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，外函数只有单调递增，故复合函数\(f(x)\)在\((0，2]\)单减，在\([2，4)\)单增，故排除\(A\)、\(B\)；

要验证\(C\)选项，只需要验证\(f(x)=f(4-x)\)即可，这是\(y=f(x)\)的图像关于直线\(x=2\)对称的充要条件；

而\(f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)\)，故选\(C\)。

若要验证\(D\)选项，只需要利用\(y=f(x)\)的图像关于点\((2，0)\)对称的充要条件，即验证\(f(x)+f(4-x)=0\)即可。自行验证，不满足。

故本题目选\(C\).