变换作图中的常用模板函数

前言

体会常用模板函数在变换作图中的重要性；提起函数图像的作图方法，估计好多学生会一口锁定描点法，其实高中更多使用的是变换作图法，尤其是在分秒必争的高考中。要想在很短的时间内，做出一个函数的大致草图，缺乏平时的对应训练几乎是不可能的。因此我们需要研究和总结函数图像的常用模板。

比如我们常常把函数$f(x)=x+\cfrac{1}{x}$作为模板，意思是对这个函数的大致图像我们要掌握的非常熟练。那么我们为什么要把函数$f(x)=x+\cfrac{1}{x}$作为模板来看呢？

请大家先看一个函数$h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}$，这个函数在高三数学学习中应该很常见，初次接触我们感觉很恐怖，心里都没有底，主要原因是不知道这个函数的图像和性质到底是什么样的。

别着急，慢慢看，我们对这个函数做个变换，

$h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}\xrightarrow{x-2=t}t+\cfrac{1}{t}$，

看到变换最后的函数$g(t)=t+\cfrac{1}{t}$，应该不陌生，看着眼熟吧，这时候你还害怕吗？对了，我们心里稍稍安稳了一些，通过模板函数的图像变换就可以搞定它，那你还害怕什么呢？

具体变换思路：先做出函数$f(x)=x+\cfrac{1}{x}$，然后将函数$f(x)$的图像向右平移2个单位，得到函数$f(x-2)$，

也就是函数$f(x-2)=(x-2)+\cfrac{1}{x-2}=\cfrac{(x-2)^2+1}{x-2}=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}=h(x)$，不是很简单吗？如右图所示，当我们把模板函数的性质研究的透透的，对于函数$h(x)$的图像和性质不也就知道了吗？

$f(x)=\cfrac{x^2+2x+2}{x+1}$；$g(x)=\cfrac{x^2+2x}{x+1}$；$m(x)=\cfrac{x^2+3x+3}{x+1}$；

$n(x)=\cfrac{x+1}{x^2+3x+3}$；$l(t)=\cfrac{1+t^2}{1+2\sqrt{2}t}$；$h(x)=\cfrac{x^2-4x+5}{x-2}$；

$y=kx(k\neq 0)$；

$y=ax^2+bx+c(a\neq 0)$；

$y=x^a$；

$y=a^x(a>0，a\neq 1)$；

$y=log_a^x(a>0，a\neq 1)$；

$y=sinx，y=cosx$；

$f(x)=|x|$；

$y=2^{|x|}$

$y=e^x-e^{-x}$

$f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k>0)$，

$f(x)=x+\cfrac{k}{x}(k<0)$，

$y=e^x+e^{-x}$

$f(x)=|2^x-1|$，$g(x)=|\lg x|$

定义域是$x\in(-\infty，0)\cup(0，+\infty)$，且是奇函数，故只先研究$x\in(0，+\infty)$上的图像，研究工具是导数。

先求导，得到$f'(x)=1-\cfrac{1}{x^2}=\cfrac{x^2-1}{x^2}$，

令$f'(x)>0$，即$x^2-1>0$，得到$x>1$；

令$f'(x)<0$，即$x^2-1<0$，得到$0<x<1$；结合奇函数的特性，

可知，函数在区间$(-\infty，-1]$单增，在$[-1，0)$单减，在$(0，1]$单减，在区间$[1，+\infty)$单增，又$f(1)=2，f(-1)=-2$，

所以可以手动做出函数的图像如下：