网上看到一题目的解法的启示

已知函数\(f(x)=2ax^2-x-1\)在区间\((0，1)\)上仅有一个零点，求实数\(a\)的取值范围。

【法1】：(某搜题软件的解法)由于\(f(x)=0\)在区间\((0，1)\)上仅有一个根，有以下两种情形：

①\(f(0)f(1)<0\)；②\(\begin{cases} a\neq 0 \\ \Delta=0 \end{cases}\)且解在\((0，1)\)上，

由①得\(-1(2a-2)<0\)，解得\(a>1\)，

由②得\(1+8a=0\)，但此时代入方程得到\(x=-2\not\in(0，1)\)上，舍去，

综上可知\(a>1\).

【法2】：如果注意到仿二次函数\(f(x)\)恒过点\((0，-1)\)，即\(f(x)=-1\)已经满足，结合其图像的可能情形，

只能是二次函数且开口向上，由根的存在性定理可知，必须且只需满足条件\(f(1)>0\)，解得\(a>1\).

• 导数法+分离参数

【法3】：原题转化为方程\(2ax^2=x+1\)在区间\((0，1)\)上仅有一个根，

即方程\(2a=\cfrac{x+1}{x^2}\)在区间\((0，1)\)上仅有一个根，

即函数\(y=2a\)和函数\(g(x)=\cfrac{x+1}{x^2}=\cfrac{1}{x}+\cfrac{1}{x^2}\)在区间\((0，1)\)上仅有一个交点，

以下用导数方法研究函数\(g(x)\)的单调性，以便手工做出其大致图像。

\(g'(x)=-\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x^3}\)，故\(x\in (0，1)\)，\(g'(x)<0\)恒成立，故\(g(x)\)在区间\((0，1)\)上单调递减，

\(g(x)_{min}\rightarrow g(1)=2\)，要使两个函数图像有一个交点，

则须有\(2a>2\)，解得\(a>1\).

已知函数\(f(x)=ax^2-4x+1\)在区间\((0，1)\)上仅有一个零点，求实数\(a\)的取值范围。

分析：此题也可以用法2和法3求解，但感觉法3简单，所以针对函数在某区间仅有一个零点的问题，首选导数和分离参数法。