集合习题 | 低阶

前言

用这些基本的题目，来理解巩固集合的基础知识和基本技能。基础好的同学请直接移步集合习题|高阶

基础习题

用列举法表示集合\(\{x\in N\mid \cfrac{6}{6-x}\in N\}\)=________________.

分析：\(\{0,3,4,5\}\)

用列举法表示集合\(\{y\in N\mid y=-x^2+6，x\in N\}\)=________________.

分析：\(\{2,5,6\}\)

用列举法表示集合\(\{(x,y)\mid y=-x^2+6，x\in N，y\in N\}\)=________________.

分析：\(\{(0,6),(1,5),(2,2)\}\)

设\(A\)，\(B\)为两个集合，下列四个命题：

①\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(\forall x\in A\)，有\(x\not\in B\)；②\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(A\cap B=\varnothing\)；

③\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(B\not\subset A\)；④\(A\not\subset B\) \(\Leftrightarrow\) \(\exists x\in A\)，使得\(x\not\in B\)；

其中真命题的序号是_____________;

分析：举反例即可，若\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{1,2,4,5\}\)，则满足\(A\not\subset B\)，但是\(1\in A\)且\(1\in B\)，\(A\cap B=\{1,2\}\)，故①②是假命题；

若\(A=\{1,2,4\}\)，\(B=\{1,2\}\)，满足\(A\not\subset B\)，但是\(B\subseteq A\)，则③是假命题，故只有④是真命题。

【2021届宝鸡质检3文理第1题】已知集合\(A=\{1，a\}\)，集合\(B=\{-1，1，a^2\}\)，若 \(A\subsetneqq B\) ，则\(a=\) 【\(\quad\)】

$A.0$ $B.1$ $C.-1$ $D.0或1$

解析：由于 \(A\subsetneqq B\) ，则 \(a=-1\) 或 \(a=a^2\) ；

当 \(a=-1\) 时，集合 \(B\) 不满足元素互异性，故排除；

当 \(a=a^2\) 时，\(a=0\) 或 \(a=1\)，当 \(a=1\) 时，集合 \(B\) 也不满足元素互异性，故排除；

故 \(a=0\)，则选 \(A\) .

将集合 \(\{2,4,6,8,10\}\)用描述法表示出来；

解析：初次学习，我们往往弄不清楚应该如何限制，其实将 \(x=2k\) 从函数的角度来理解，那么只需要限制自变量即可，即 \(\{x\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\)，或者写成 \(\{x\mid x=2k , k=1,2,3,4,5\}\)，或者 \(\{x\in N\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\)，或者 \(\{x\in Z\mid x=2k , k\in N^{*},k<6 \}\) .

中档题目

已知集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，集合\(B=\{x\mid m+1< x<2m-1 \}\)，若\(B\subseteq A\)，则实数\(m\)的取值范围是什么？

分析：集合\(A\)为定集，集合\(B\)为动集，又因为出现了条件\(B\subseteq A\)，故需要针对集合\(B\)分类讨论如下：

1、当集合\(B=\varnothing\)时用不等式表示的集合，其左端点值超过右端点值，则此不等式表示空集。若左端点值不超过右端点值，则其不是空集。，则有\(m+1\ge 2m-1\)，解得\(m\leq 2\)；

2、当集合\(B\neq\varnothing\)时，必须满足三个条件，即 \(\left\{\begin{array}{l}{m+1< 2m-1}\\{ -2 \leq m+1}\\{2m-1 \leq7}\end{array}\right.\)，解得\(2<m\leq 4\)；

综上所述：实数\(m\)的取值范围是\(\{m\mid m\leq 4\}\)。

上例中是否存在实数\(m\)，使得\(A\subseteq B\)？若存在，求其取值范围，若不存在说明理由。

分析：自行画出草图可知，若存在满足题意的实数\(m\)，则必满足条件\(\begin{cases} m+1 < -2 \\ 2m-1 >7\end{cases}\)，解得\(m\in \varnothing\)。故这样的实数不存在。

若集合\(B=\{x\mid m+1\leq x\leq 1-2m \}\)，集合\(A=\{x\mid -2\leq x\leq 7\}\)，若\(A\subsetneqq B\)，求实数\(m\)的取值范围。

分析：自行画出草图可知，先列出条件\(\begin{cases}&m+1\leq-2\\&1-2m \ge 7\end{cases}\)，解得\(m\leq -3\)，

接下来验证\(m=-3\)是否满足题意。

当\(m=-3\)时，\(A=[-2，7]\)，\(B=[m+1，1-2m]=[-2，7]\)，此时\(A=B\)，

不满足题意，舍去，故实数\(m\)的取值范围为\(\{m\mid m<-3\}\)。

已知集合\(A=\{2x，\cfrac{y-1}{x}，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+y，0\}\)，若\(A=B\)，求\(x+y\)=____________.

分析：本题目就对应相等的方向上有\(A\rightarrow B\)和\(B\rightarrow A\)两个方向，但是由\(B\rightarrow A\)比较简单，故求解如下

由\(0=2x\)，推出集合A中分母为0，故只能是\(0=\cfrac{y-1}{x}\)，故\(y=1\)，此时集合\(A=\{2x，0，1\}\)，集合\(B=\{x^2，x+1，0\}\)，这时候的对应要么\(2x=x^2\)要么\(2x=x+1\)，

当\(2x=x^2\)时，解得\(x=0或x=2\)，当\(x=2\)时，集合\(A=\{4，0，1\}\)，集合\(B=\{4，3，1\}\)，验证都不满足题意；

当\(2x=x+1\)时，解得\(x=1\)，验证得到此时\(A=\{2，0，1\}=B=\{1，2，0\}\)，满足题意，则\(x=1\)，故\(x+y=2\)。

(2015☆太原月考)已知集合\(M=\{(x，y)\mid y=x^2\}\)，集合\(N=\{(x，y)\mid y=2^x\}\)，则\(M\cap N\)的元素个数是几个？

分析：应该比较容易想到\(M\cap N\)的元素个数就是两个函数的图像的交点个数，但难点是这两个函数图像的交点，绝大多数学生会画错的，在\(x<0\)处有一个交点，在\(x>0\)处应该有两个交点，因为\(x=2\)或\(x=4\)时，\(x^2=2^x\)。故所求的元素个数是\(3\)个。

已知集合\(A=\{0,1,2\}\)，集合B满足\(A\cup B=\{0,1,2\}\)，则满足题意的集合B的个数是几个？

分析：由题目可知，本题实质是求集合\(A\)的所有子集的个数，故有\(2^3=8\)个。

已知集合\(A=\{-1,1\}\)，集合B满足\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，则满足题意的集合B的个数是几个？

分析：由于要求\(A\cup B=\{-1,0,1\}\)，故集合\(B\)的构成分为两步：第一步必须选必选元素\(0\)，第二步从可选元素\(-1,1\)中分别选出\(0\)个，\(1\)个，\(2\)个元素，即就是求集合\(\{-1,1\}\)的所有子集的个数，故有\(2^2=4\)个。

(2017铜川模拟)若集合\(A=\{x \in R\mid ax^2-3x+2=0\}\)中只有一个元素，求\(a\)的值。

分析：由于给定的方程\(ax^2-3x+2=0\)是仿二次方程，故需要针对\(a\)分类讨论：

当\(a=0\)时，\(x=\cfrac{2}{3}\)，此时\(A=\{\cfrac{2}{3}\}\)满足题意；

当\(a\neq 0\)时，二次方程必须有两个相等的根，由\(\Delta=0\)得到\(a=\cfrac{9}{8}\)，

故\(a=0\)或\(a=\cfrac{9}{8}\)。

设集合A=\(\{x\in R\mid 2x^2+ax-a^2=0\}\)，\(1\in A\)，\(-2\not\in A\)。

(1)求\(a\)的值，并写出\(A\)的所有子集。

(2)若集合\(B=\{x\in R\mid x^2+(m-3)x+m=0\}\)，\((C_RA)\cap B=\varnothing\),求实数\(m\)的集合。

【解析】(1)因为\(1\in A\)，所以\(2×1^2+a×1-a^2=0\)，解得\(a=-1\)或\(a=2\)

当\(a=2\)时，\(A=\{1，-2\}\)，与已知\(-2\not\in A\)矛盾，所以\(a\neq 2\)

当\(a=-1\)时，\(A=\{ x\in R\mid 2x^2-x-1=0\}=\{1,-\cfrac{1}{2}\}\)，符合题意。

所以A的所有子集为\(\varnothing\)，\(\{1\}\)，\(\{-\cfrac{1}{2}\}\)，\(\{1,-\cfrac{1}{2}\}\)。

(2)因为\((C_RA)\cap B=\varnothing\)，所以\(B\subseteq A\)，由于方程\(x^2\)\(+\)\((m-3)x\)\(+\)\(m\)\(=\)\(0\)的判别式\(\Delta\)\(=\)\((m-3)^2\)\(-4m\)\(=\)\(m^2\)\(-10m\)\(+\)\(9\)，所以按照判别式的符号分类讨论如下：

①当\(\Delta<0\)即\(1<m<9\)时，集合B为空集，符合题意。

②当\(\Delta=0\)即\(m=1\)或\(m=9\)时，若\(m=1\)，则\(B=\{1\}\)，符合题意，若\(m=9\)，则\(B=\{-3\}\)，不符合题意，舍去。

③当\(\Delta>0\)即\(m<1\)或\(m>9\)时，集合\(B\)有两个元素，所以\(B=A\)，所以\(\begin{cases}-\cfrac{1}{2}+1=-(m-3)\\(-\cfrac{1}{2})\times1=m\end{cases}\)矛盾，舍去。所以实数\(m\)的值构成的集合为\([1，9)\)。

已知集合\(A=\{1，2，3，4，5\}\) ，\(B=\{x-y\mid x\in A，y\in A，x-y\in A\}\),则\(B\)中所含元素的个数为【 】

$A.3$ $B.6$ $C.8$ $D.10$

【解析】选\(D\)，由\(x \in A\)，\(y \in A\)得\(x-y=0\)或\(x-y=\pm1\)或\(x-y=\pm2\)或\(x-y=\pm3\)或\(x-y=\pm4\)，

所以集合\(B=\{(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(3，2)，(4，2)，(5，2)，(4，3)， (5，3)，(5，4)\}\)，

所以集合\(B\)有10个元素。

若集合\(A=\{x\mid (k+2)x^2+2kx+1=0\}\)有且仅有两个子集 ，则实数\(k\)的取值为　【】

$A.2或-1$ $B.-2或-1$ $C.-2$ $D.\pm2或-1$

分析：由题目可知，集合\(A\)有且仅有两个子集，说明集合\(A\)应该为单元素集合，从而说明仿二次方程\((k+2)x^2+2kx+1=0\)，可能有一次方程和二次方程两种情形。

当 \(k=-2\) 时，原方程变形为一次方程 \(-4x+1=0\)，仅有一个解，适合题意；

当 \(k\neq -2\) 时，原方程要仅有一个解，则必须 \(\Delta =0\)，即 \((2k)^2-4\cdot(k+2)\cdot 1=0\)，解得 \(k=2\) 或 \(k=-1\)，满足题意，

综上所述，实数\(k\)的取值为\(\pm 2\) 或 \(-1\)，故选\(D\)。