推理与证明习题 | 新高考已删

前言

典例剖析

【类比推理】在等差数列 \(\{a_{n}\}\) 中，若 \(a_{10}=0\)， 则有 \(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{19-n}\) \((n<19\)，\(n\in\)\(N_{+})\)成立，类比上述性质，在等比数列 \(\{{b}_{n}\}\) 中，若 \(b_{9}=1\)， 则存在的等式为______________.

分析：将已知条件中的加法类比为乘法，由于\(2\times 10=1+19\)，\(2\times 9=1+17\)，

故类比得到: \(b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{n}=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{17-n}\) \((n<17，n\in N_{+})\)

【从验证层面】：从抽象的题目入手分析不清楚，那么就将其具体化，再来思考问题，比如令\(n=11\)，

对等差数列而言，等式的左端

\(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{11}\)

\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8+a_9+a_{10}+a_{11}\)

\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8+3a_{10}\)

\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8\)，

等式的右端\(=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_8\)，故原等式成立；

对等比数列而言，等式的左端

\(b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{11}\)

\(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\times b_{7}\times b_{8}\times b_{9}\times b_{10}\times b_{11}\)，

\(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\times (b_{9})^5\)，

\(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\)，

等式的右端 \(=b_{1}\times b_{2}\times\cdots\times b_{6}\)，故类比得到的等式成立；

【从逻辑证明层面】：仿上可以进行相关的证明；

【类比推理】【2019届高三理科数学月考三试题】甲、乙、丙三人各自独立地做同一道数学题，当他们把答案公布出来后，甲说：“我做错了”；乙说：“丙作对了”；丙说：“我做错了”；在一旁的老师看了他们的答案并听取了他们的意见后说：“你们三人中有一个人做对了，有一个人说对了”。请问他们中做对了的人是__________。

分析：若甲做对了，则在第二行和第三行中的红色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若乙做对了，则在第二行和第三行中的蓝色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

若丙做对了，则在第二行和第三行中的绿色的对号应该只有一个，而叉号有两个；

故只有甲做对了。

三人	若甲✔			乙✔			丙✔
说的	✘	✔	✔	✘	✘	✔	✔	✔	✘
做的	✔	✘	✘	✘	✔	✘	✘	✘	✔

【逻辑推理】六名同学\(A、B、C、D、E、F\)举行象棋比赛，采用单循环赛制，即参与比赛的每两个人之间仅赛一局。第一天\(A、B\)各参加了3局比赛，\(C、D\)各参加了3局比赛，\(E\)参加了2局比赛，且\(A\)和\(C\)没有比赛过，\(B\)和\(D\)没有比赛过，那么\(F\)在第一天参加的比赛局数是【\(\quad\)】局。

分析：由题目可知，暂时可以写出这样的表达式

\(A(B、D、E、F)\)，

\(B(A、C、E、F)\)，

\(C(B、D、E、F)\)，

\(D(A、C、E、F)\)，

\(E(C、D)\)，故由此可以知道，和\(A、B\)比赛的不可能有\(E\)，

这样全部条件都满足，显然和\(F\)比赛的有$A、B、C、D$4个人，即4局。

【类比推理】法官审理偷盗案件，四名嫌疑人供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一个是小偷”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一个是罪犯，由此可判断罪犯是（乙）。

分析：由题目可知四人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一个是罪犯，

假设甲乙说的都是真话，则罪犯是丙，丙说的是假话，而丁说的就是真话，和题目两人真话两人假话不符；

假设甲丙说的真话，则罪犯是乙，此时乙说的是假话，丙说的假话，符合题意，故罪犯是乙。

【逻辑推理】【2017全国卷2文科第9题理科第7题高考真题】甲、乙、丙、丁四位同学一起向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中，有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则【】

$A.$乙可以知道四人的成绩

$B.$丁可以知道四人的成绩

$C.$丙、丁可以知道对方的成绩

$D.$乙、丁可以知道自己的成绩

分析：由于甲看了乙、丙两人的成绩，那么结合“甲还是不知道自己的成绩”可知，乙、丙两人的成绩必然是一个优秀，一个良好；

否则如果这两人都是优秀，则甲一定是良好，与已知条件不符；那么甲和丁两人的成绩必然是一个优秀，一个良好；

而且乙看了丙的成绩，自然知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，自然就知道自己的成绩，

故选D，乙、丁可以知道自己的成绩。

【类比推理】已知\(k\cdot(k+1)=\cfrac{1}{3}[k\cdot(k+1)\cdot(k+2)-(k-1)\cdot k\cdot(k+1)]\)，

令\(k=1，2，3，\cdots，n\)，则得到以下\(n\)个式子：

\(1\cdot 2=\cfrac{1}{3}(1\cdot 2\cdot 3-0\cdot 1\cdot 2)\)

\(2\cdot 3=\cfrac{1}{3}(2\cdot 3\cdot 4-1\cdot 2\cdot 3)\)

\(3\cdot 4=\cfrac{1}{3}(3\cdot 4\cdot 5-2\cdot 3\cdot 4)\)

\(\cdots,\cdots\)

\(n\cdot (n+1)=\cfrac{1}{3}[n\cdot (n+1)\cdot (n+2)-(n-1)\cdot n\cdot (n+1))\)

累加得到：

\(1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot4+\cdots+n\cdot(n+1)=\cfrac{1}{3}n(n+1)(n+2)\)。

据此，类比得到：依托式子\(k\cdot(k+1)\cdot(k+2)=\cfrac{1}{4}[k\cdot(k+1)\cdot(k+2)\cdot(k+3)-(k-1)\cdot k\cdot(k+1)\cdot(k+2)]\)

可以得到下式：

\(1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+3\cdot 4\cdot 5+\cdots+n\cdot(n+1)\cdot (n+2)=\cfrac{1}{4}n(n+1)(n+2)(n+3)\)。

【类比推理】类似上式的变形，我们利用\((k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1\)，

可以得到\(1^2+2^2+\cdots+n^2=\cfrac{1}{6}n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)\)

我们令\(k=1，2，3，\cdots，n\)，则得到以下\(n\)个式子：

\((n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1\)，

\(n^3-(n-1)^3=3(n-1)^2+3(n-1)+1\)，

\((n-1)^3-(n-2)^3=3(n-2)^2+3(n-2)+1\)，

\(\cdots,\cdots\)

\(2^3-1^3=3\cdot 1^2+3\cdot 1+1\)，

累加得到\((n+1)^3-1^3=3(1^2+2^2+\cdots+n^2)+3(1+2+3+\cdots+n)+n\)，整理得到\(1^2+2^2+\cdots+n^2=\cfrac{1}{6}n\cdot(n+1)\cdot(2n+1)\)。

类比上述的方法，我们由\((n+1)^4-n^4=4n^3+6n^2+4n+1\)，可以得到\(1^3+2^3+3^3+\cdots+n^3=\cfrac{1}{4}n^2(n+1)^2=[\cfrac{n(n+1)}{2}]^2\)。

我们由\((n+1)^2-n^2=2n+1\)，可以得到\(1+2+3+\cdots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}\)。

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(a^2+b^2=c^2\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：请注意，平面内的直角三角形\(\stackrel{类比}{\Longrightarrow}\)空间中的直三面角，

如图所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)两两垂直，过点\(P\)做下底面\(ABC\)的垂线，垂足是\(O\)，连接\(AO\)并延长交\(BC\)于点\(D\)，

则由\(PA\perp\)面\(PBC\)可知，\(PA\perp BC\)，从而可知\(AD\perp\) \(BC\)，\(PD\perp\)\(BC\)，

令\(S_{\Delta PAB}=S_1\)，\(S_{\Delta PBC}=S_2\)，\(S_{\Delta PAC}=S_3\)，\(S_{\Delta ABC}=S\)，

则有结论为：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)

证明如下：\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)；

而\(S^2=\cfrac{1}{4}BC^2\cdot AD^2\)，\(BC^2=b^2+c^2\)，

又由于\(AD^2=PA^2+PD^2\)，\(PD^2=\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2}\)，解释此处使用了等面积法，\(S_{\triangle PBC}\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)\(PC\)\(\cdot\)\(PB\)\(=\)\(\frac{1}{2}\)\(BC\)\(\cdot\)\(PD\)\(\quad\)，

故代入得到\(S^2=\cfrac{1}{4}(b^2+c^2)(a^2+\cfrac{b^2c^2}{b^2+c^2})=\cfrac{1}{4}(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)\)，

故有\(S_1^2+S_2^2+S_3^2=S^2\)。

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(cos^2A+cos^2B=1\)，类比到空间会得到什么结论？

注意：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，

如图所示，\(PA\)、\(PB\)、\(PC\)两两垂直，过点\(P\)做下底面\(ABC\)的垂线，垂足是\(O\)，

连接\(AO\)并延长交\(BC\)于点\(D\)，则由\(PA\)\(\perp\)面\(PBC\)可知，\(PA\)\(\perp\)\(BC\)，从而可知\(AD\)\(\perp\)\(BC\)，\(PD\)\(\perp\)\(BC\)，

即\(\angle PDO=\alpha\)为侧面\(PBC\)和下底面\(ABC\)的夹角，同理\(\angle PEO=\beta\)为侧面\(PAB\)和下底面\(ABC\)的夹角，

\(\angle PFO=\gamma\)为侧面\(PAC\)和下底面\(ABC\)的夹角，

则\(cos\alpha=sin\angle PAD=\cfrac{PD}{AD}\)，

故\(cos^2\alpha=sin^2\angle PAD=\cfrac{PD^2}{AD^2}\)\(=\cfrac{\cfrac{1}{4}PD^2\cdot BC^2}{\cfrac{1}{4}AD^2\cdot BC^2}=\cfrac{(S_\Delta PBC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

同理\(cos^2\beta=sin^2\angle PCE=\cfrac{PE^2}{CE^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PE^2\cdot AB^2}{\cfrac{1}{4}CE^2\cdot AB^2}=\cfrac{(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

故\(cos^2\gamma=sin^2\angle PBF=\cfrac{PF^2}{BF^2}=\cfrac{\cfrac{1}{4}PF^2\cdot AC^2}{\cfrac{1}{4}BF^2\cdot AC^2}=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2}{(S_\Delta ABC)^2}\)；

又由上题可知，\((S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2=(S_\Delta ABC)^2\)，

即\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=\cfrac{(S_\Delta PAC)^2+(S_\Delta PBC)^2+(S_\Delta PAB)^2}{(S_\Delta ABC)^2}=1\).

故有\(cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1\)

【类比推理】将平面内的直角三角形中的结论\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)，类比到空间会得到什么结论？

分析：平面内的直角三角形\(\Rightarrow\)空间中的直三面角，

在直角三角形中，用等面积法很容易证明\(\cfrac{1}{CD}=\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}\)；

右图中，在直角三角形\(PAD\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PD}\)；

在直角三角形\(PBC\)中，容易得到\(\cfrac{1}{PD}=\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；

故有\(\cfrac{1}{PO}=\cfrac{1}{PA}+\cfrac{1}{PB}+\cfrac{1}{PC}\)；

【类比推理】正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值，类比到空间，得到正四面体内的任意一点到四个面的距离之和是一个定值；

如左图，正三角形内任意一点O到三边的距离分别为\(a、b、c\)，

则由等面积法可知\(S_{\Delta AOB}+S_{\Delta AOC}+S_{\Delta BOC}=\cfrac{1}{2}(a+b+c)\cdot AB=\cfrac{1}{2}AB\cdot h\)，

又\(h=\cfrac{\sqrt{3}}{2}AB\)，故\(a+b+c=h\)，

故正三角形内的任意一点到三边的距离之和为一个定值(正三角形棱长的\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)倍)；

如右图，类比推理，用等体积法容易知道\(a+b+c+d=h\)，

其中\(a，b，c，d\)分别是正四面体内部任意一点到四个面的距离，

\(h\)为正四面体的高(正四面体棱长的\(\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)倍)。

【类比推理】某校高二(1)班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”. 已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是 【 】

$A.小赵、小谭 $ $B.小马、小宋$ $C.小马、小谭$ $D.小赵、小宋$

分析：小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；

小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；

小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；

这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭，故选A.

【类比推理】若等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项之和为\(S_n\)，则一定有\(S_{2n-1}=(2n-1)a_n\)成立。若等比数列\(\{b_n\}\)的前\(n\)项之积为\(T_n\)，类比等差数列的性质，则有

$A.T_{2n-1}=(2n-1)+b_n$

$B.T_{2n-1}=(2n-1)b_n$

$C.T_{2n-1}=(2n-1)^{b_n}$

$D.T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}$

分析：在等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1+a_{2n-1}=2a_n\)，\(a_2+a_{2n-2}=2a_n\)，\(\cdots\)，

\(a_{n-1}+a_{n+1}=2a_n\)，\(a_n=a_n\)，这\(n\)个式子相加得到\(S_{2n-1}=(2n-1)a_n\)；

在等比数列\(\{b_n\}\)中，\(b_1\times b_{2n-1}=(b_n)^2\)，\(b_2\times b_{2n-2}=(b_n)^2\)，

\(\cdots\)，\(b_{n-1}\times +b_{n+1}=(b_n)^2\)，\(b_n=b_n\)，

这\(n\)个式子相乘得到\(T_{2n-1}=(b_n)^{2n-1}\).

反思总结：证明方法的类比，结论的类比。

【类比推理】【2017•青岛模拟】\(36\)的所有正约数之和可按如下方法得到：因为\(36\)\(=\)\(2^2×3^2\)，所以\(36\)的所有正约数之和为\((1+3+3^2)\)\(+\)\((2+2×3+2×3^2)\)\(+\)\((2^2\)\(+\)\(2^2×3\)\(+\)\(2^2×3^2)\)\(=\)\((1+2+2^2)\)\((1+3+3^2)\)\(=\)\(91\)，参照上述方法,可求得\(200\)的所有正约数和为 【 】

$A.217$ $B.400$ $C.465$ $D.500$

分析：类比求36的所有正约数之和的方法，因为\(200=2^3×5^2\)，所以200的所有正约数和为\((1+2+2^2+2^3)(1+5+5^2)=465\)。故选\(C\).

【类比推理】半径为\(r\)的圆的面积\(S=\pi r^2\),周长\(C=2\pi r\)，若将\(r\)看作\((0，+\infty)\)上的变量,则\((\pi r^2)′=2\pi r\)，即圆的面积函数的导数等于圆的周长函数；

对于半径为\(R\)的球，若将\(R\)看作\((0，+\infty)\)上的变量，类比圆的上述性质,可得球的相关性质为________________________(语言叙述).

分析：半径为\(R\)的球体积\(V= \cfrac{4}{3}\pi R^3\)，表面积\(S=4\pi R^2\)，显然$ (\cfrac{4}{3}\pi R^3)′=4\pi R^2$，

即球的体积函数的导数等于球的表面积函数。

【类比推理】【2016-2017宝鸡市第一次质量检测16题】我市在“录像课评比”活动中，。。。

分析：本题考察逻辑与推理中的不完全归纳法，策略：当5节课不好思考时，先减少课时思考；

当只有1节课时，比如结果\((1,优)\)或\((1,差)\)，优秀课最多是1节，

当只有2节课时，比如结果\((2,差)\)或\((1,优)\)，优秀课最多是2节，

当只有3节课时，比如结果\((3,差)\)或\((2,中)\)或\((1,优)\)，优秀课最多是3节，

解释：从第一个维度评判，第一节课是优秀课，从第二个维度评判，第三节课是优秀课，

评判第二节课时，由于2>1，中好于差，故第二节课从两个维度都不亚于其他课，那么也是优秀课。

当只有4节课时，比如结果\((4,差)\)或\((3,中)\)或\((2,良)\)或\((1,优)\)，优秀课最多是4节，

当只有5节课时，比如结果\((5,差)\)或\((4,次差)\)或\((3,中)\)或\((2,良)\)或\((1,优)\)，优秀课最多是5节，

【类比推理】【2019届高三理科数学资料用题】在平面几何中有如下结论：正三角形\(ABC\)的内切圆面积为 \(S_1\)，外接圆面积为\(S_2\)，则\(\cfrac{S_1}{S_2}=\cfrac{1}{4}\)，推广到空间可以得到类似结论。已知正四面体\(P-ABC\)的内切球体积为\(V_1\)，外接球体积为 \(V_2\)，则\(\cfrac{V_1}{V_2}=\cfrac{1}{27}\)。

分析：由于正三角形的内切圆半径\(r\)与外接圆半径\(R\)之比为\(r：R=1：2\)，

故\(\cfrac{S_1}{S_2}=\cfrac{\pi\cdot r^2}{\pi\cdot R^2}=(\cfrac{1}{2})^2=\cfrac{1}{4}\)，

正四面体的内切球半径\(r\)与外接球半径\(R\)之比为\(r：R=1：3\)，

故\(\cfrac{V_1}{V_2}=\cfrac{\cfrac{4}{3}\cdot \pi\cdot r^3}{\cfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot R^3}=(\cfrac{1}{3})^3=\cfrac{1}{27}\)。

【2019届高三理科数学第三轮模拟训练题】【逻辑推理】将\(10\)元、\(20\)元、\(50\)元随机分给甲、乙、丙三人，现有以下说法，甲：我比乙多40元；乙：我只有10元；丙：甲比我多10元。若以上说法中只有一个是正确的，则甲分得________元。

分析：逐个假设正确，进行逻辑推理，结果是丙说的是正确的，此时丙得\(10\)元，甲得\(20\)元。

【2018宝鸡市高三数学第一次质量检测第10题】某医务人员说：“包括我在内，我们社区诊所医生和护士共有17名。无论是否把我算在内，下面说法都是对的。在这些医务人员中：医生不少于护士；女护士多于男医生；男医生比女医生多；至少有两名男护士。”请你推断说话人的性别与职业是【】

$A.男医生$ $B.男护士$ $C.女医生$ $D.女护士$

分析：设男医生为\(a\)个，女医生为\(b\)个，女护士为\(c\)个，男护士为\(d\)个，则由题目可知

\(\begin{cases}&a+b+c+d=17\\&a+b\ge c+d\\&c>a\\&a>b\\&d\ge 2\end{cases}\)，由于\(b-d\ge c-a>0\)，故\(b>d\)，

故得到\(c>a>b>d\ge 2\)。

当\(d=2\)时，我们可以依次给其他三个变量赋值，比如\(c(5)>a(4)>b(3)>d(2)\)，此时不满足和为17；

再换一组比如\(c(8)>a(4)>b(3)>d(2)\)，又不满足\(a+b\ge c+d\)，

这样一路测试下来，只有\(c(6)>a(5)>b(4)>d(2)\)是满足所有条件的，而且此时只有\(b-1=3\)，

还满足刚才的式子，说明那个人只能是女医生；

当\(d>2\)，比如\(d=3\)时，仿上赋值\(c(6)>a(5)>b(4)>d(3)\)，或者其他的赋值方式，都是不符合题意的，

综上所述，那个人只能是女医生；故选C.

反思总结 ：这样的题目我们往往不知道从何入手，但是当我们把题目转化为不等式组这个数学模型时，我们就有了切入点了。

在平面上，设 \(h_{a}\)， \(h_{b}\)， \(h_{c}\) 是 \(\triangle ABC\) 三条边上的高，\(P\)为三角形内任一点，\(P\)到相应三边的距离分别为 \(P_{a}\)， \(P_{b}\)，\(P_{c}\)， 我们可以得到结论: \(\cfrac{P_{a}}{h_{a}}+\cfrac{P_{b}}{h_{b}}+\cfrac{P_{c}}{h_{c}}=1\)，把它类比到空间，则在三棱锥中的类似结论为__________.

补充对题设的证明，使用方法为等面积法；

\(\cfrac{1}{2}\times BC\times P_a+\cfrac{1}{2}\times AC\times P_b+\cfrac{1}{2}\times AB\times P_c=S\)

\(\cfrac{\cfrac{1}{2}\times BC\times P_a}{S}+\cfrac{\cfrac{1}{2}\times AC\times P_b}{S}+\cfrac{\cfrac{1}{2}\times AB\times P_c}{S}=1\)

\(\cfrac{\cfrac{1}{2}\times BC\times P_a}{\cfrac{1}{2}\times BC\times h_a}+\cfrac{\cfrac{1}{2}\times AC\times P_b}{\cfrac{1}{2}\times AC\times h_b}+\cfrac{\cfrac{1}{2}\times AB\times P_c}{\cfrac{1}{2}\times AB\times h_c}=1\)

\(\cfrac{P_a}{h_a}+\cfrac{P_b}{h_b}+\cfrac{P_c}{h_c}=1\)

分析：设 \(h_{a}\)， \(h_{b}\)， \(h_{c}\)， \(h_{d}\)分别是三棱锥\(A-BCD\)四个面上的高，

\(P\) 为三棱锥\(A-BCD\)内任一点，\(P\)到相应四个面的距离分别为\(P_{a}\)，\(P_{b}\)，\(P_{c}\)，\(P_{d}\)，

于是可以得出结论 \(\cfrac{P_{a}}{h_{a}}+\cfrac{P_{b}}{h_{b}}+\cfrac{P_{c}}{h_{c}}+\cfrac{P_{d}}{h_{d}}=1\)

证明方法类比上述等面积法，对应的调整为等体积法。

已知\(O\)是\(\triangle ABC\)内任意一点，连接\(AO\)，\(BO\)，\(CO\)并延长交对边于\(A'\)，\(B'\)，\(C'\)，则\(\frac{OA'}{AA'}\)\(+\)\(\frac{OB'}{BB'}\)\(+\)\(\frac{OC'}{CC'}\)\(=\)\(1\)，这是平面几何中的一个命题，其证明方法常采用“面积法"，详细证明如下，

如图所示，分别过点\(O\)和点\(A\)作底边\(BC\)的垂线，垂足分别为\(D\)和\(E\)，则\(OD\)和\(AE\)分别是\(\triangle OBC\)和\(\triangle ABC\)的高线，则\(\frac{OA'}{AA'}=\frac{OD}{AE}=\frac{\frac{1}{2}\times OD\times BC}{\frac{1}{2}\times AE\times BC}=\frac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}}\)，

同理，\(\frac{OB'}{BB'}=\frac{S_{\triangle OAC}}{S_{\triangle ABC}}\)，\(\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ABC}}\)，

故有，\(\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}=\frac{S_{\triangle OBC}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle OCA}}{S_{\triangle ABC}}+\frac{S_{\triangle OAB}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABC}}=1\)，证毕。

运用类比猜想，对于空间四面体存在什么类似的命题?并用“体积法"证明.

猜想：若\(O\)四面体\(ABCD\)内任意一点，连接\(AO\)，\(BO\)，\(CO\)，\(DO\)并延长交对面于\(A'\)，\(B'\)，\(C'\)，\(D'\)，则\(\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}+\frac{OD'}{DD'}=1\)，

证明如下:[类比采用体积法证明]，关键步骤的简要说明，

如图所示，分别过点\(O\)和点\(A\)作底面\(BCD\)的垂线，垂足分别为\(E\)和\(F\)，则\(OE\)和\(AF\)分别是四面体\(O-BCD\)和四面体\(A-BCD\)的高线，则\(\frac{OA'}{AA'}=\frac{OE}{AF}=\frac{\frac{1}{3}\times S_{\triangle BCD}\times OE}{\frac{1}{3}\times S_{\triangle BCD}\times AF}=\frac{V_{O-BCD}}{V_{A-BCD}}\)，

故\(\frac{OA'}{AA'}+\frac{OB'}{BB'}+\frac{OC'}{CC'}+\frac{OD'}{DD'}=\frac{V_{O-BCD}}{V_{A-BCD}}+\frac{V_{O-ACD}}{V_{A-BCD}}+\frac{V_{O-ABD}}{V_{A-BCD}}+\frac{V_{O-ABC}}{V_{A-BCD}}=\frac{V_{A-BCD}}{V_{A-BCD}}=1\)，

【2020\(\cdot\)河北正定模拟】已知 \(a\)、 \(b\)、 \(c\) 是 \(\triangle ABC\) 的内角 \(A\)、 \(B\)、 \(C\) 对应的三边，若满足 \(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)， 即 \((\cfrac{a}{c})^{2}+(\cfrac{b}{c})^{2}=1\)， 则 \(\triangle ABC\) 为直角三角形， 类比此结论可知，若满足 \(a^{n}+b^{n}=c^{n}\) \((n\in N^*, n\geqslant3)\)， 则 \(\triangle ABC\) 的形状为 【\(\quad\)】

$A.$锐角三角形

$B.$直角三角形

$C.$钝角三角形

$D.$以上都有可能

解析 : 由题意知角 \(C\) 最大， \(a^{n}+b^{n}=c^{n}\) \((n \in N^*， n\geqslant3)\)，

即 \((\cfrac{a}{c})^{n}+(\cfrac{b}{c})^{n}=1\) \((n \in N^*， n\geqslant3)\)，

又 \(c>a\)， \(c>b\)，故 \(0<\cfrac{a}{c}<1\)， \(0<\cfrac{b}{c}<1\)，

则有 \((\cfrac{a}{c})^2>(\cfrac{a}{c})^3>(\cfrac{a}{c})^4>(\cfrac{a}{c})^5>\cdots\)， \((\cfrac{b}{c})^2>(\cfrac{b}{c})^3>(\cfrac{b}{c})^4>(\cfrac{b}{c})^5>\cdots\)，

所以 \((\cfrac{a}{c})^{2}+(\cfrac{b}{c})^{2}>(\cfrac{a}{c})^{n}+(\cfrac{b}{c})^{n}=1\)，

即 \(a^{2}+b^{2}>c^{2}\)， 所以 \(\cos C=\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}\)\(>0\)，

所以 \(0<C<\cfrac{\pi}{2}\)， 故 \(\triangle ABC\) 为锐角三角形.

【2021届高三文科二轮资料用题】对大于 \(1\) 的自然数的三次幕可以分解成几个奇数的和，比如 \(2^3=3+5\)，\(3^{3}=7+9+11\)，\(4^{3}=13+15+17+19\), \(\cdots\)， 以此规律，则 \(45^{3}\) 的分解和式中一定不含有【\(\quad\)】

$A.2069$ $B.2039$ $C.2009$ $D.1979$

解析：观察总结可知， \(n^3\) 的分解式有 \(n\) 个奇数的和，而

\(2^3\) 的展开式中的第一项为 \(3=1\times 2+1\)；

\(3^3\) 的展开式中的第一项为 \(7=2\times 3+1\)；

\(4^3\) 的展开式中的第一项为 \(13=3\times 4+1\)；

\(5^3\) 的展开式中的第一项为 \(21=4\times 5+1\)；

故归纳总结可知，\(45^3\)的展开式中的第一项必然为\(44\times 45+1=1981\)，

故\(45^{3}\) 的分解和式中一定不含有\(1979\)，故选 \(D\).

【逻辑推理】学业水平测试成绩按照考生原始成绩从高到低分为 \(A, B, C, D, E\) 五个等级。 某班共有 \(36\) 名学生且全部选考物理、化学两科， 这两科的学业水平测试成绩如表所示。 该班学生中，这两科等级均为 \(A\) 的学生有 \(5\) 人，这两科中仅有一科等级为 \(A\) 的学生，其另外一科等级为 \(B\)， 则该班【 】

\(A\).物理、化学等级都是 \(B\) 的学生最多有 \(12\) 人

\(B.\)物理、化学等级都是 \(B\) 的学生最少有 \(5\) 人

\(C.\)这两科只有一科等级为 \(B\) 且最高等级为 \(B\) 的学生最多有 \(18\) 人

\(D.\)这两科只有一科等级为 \(B\) 且敢高等级为 \(B\) 的学生最少有 \(1\) 人

解析： 根据表格数据及题意可知，仅物理等级为 \(A\) ，化学等级为 \(B\) 的有 \(10-5=5\)(人)；仅化学等级为 \(A\) ，物理等级为 \(B\) 的有 \(8-5=3\)(人)，所以物理、化学等级都是 \(B\) 的学生最多有 \(16-3=13\)(人)\((13<19-5)\) ，故 \(A\)错误；

物理、化学等级都是 \(B\) 的学生最少有 \(16-7-2-3=4\) (人)(或 \(19-5-9-1=4\) )，故 \(B\) 错误；

这两科只有一科等级为 \(B\) 且最高等级为 \(B\) 的学生最多有 \(7+2+9+1=19\) (人)，故 \(C\) 错误；

物理、化学等级都是 \(B\) 的学生最多有 \(13\) 人，所以这两科只有一科等级为 \(B\) 且最高等级为 \(B\) 的学生最少有 \(19-5-13=1\) (人)， 故 \(D\) 正确.