破解统计章节的几个难点

前言

我们已经知道了给定一组数据，计算其众数、中位数、平均数、方差，标准差等的算法公式，但是将一组数据制作成频率分布直方图时，数据信息会有所损失，故相关数据的求解会和前面所用的方法有点不太一样了。

用图算数据

给定频率分布直方图，计算其众数、中位数、平均数、方差，标准差等的算法思路如下：

• 1、方差：以计算出的平均数为依托，代入公式求解。

• 2、众数：直方图中最高矩形的中点横坐标

• 3、中位数：中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的值，即面积等分线所对应的横坐标。

• 4、平均数：每个矩形的分组的中点值乘以每个对应矩形的面积再求和。

• 5、给定频数分布表求平均数：每个矩形的分组的中点值乘以频数再求和，最后除以样本容量。

• 6、给定频率分布表求平均数：每个矩形的分组的中点值乘以每个对应矩形的频率再求和。

• 7、加权平均数：一般来说，如果在几个数中，\(x_1\)出现\(f_1\)次，\(x_2\)出现\(f_2\)次，\(\cdots\)，\(x_k\)出现\(f_k\)次(\(f_1\)\(+\)\(f_2\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f_k\)\(=\)\(n\))，\(\bar{x}=\cfrac{x_1f_1+x_2f_2+\cdots+x_kf_k}{n}\)，这个平均数叫做加权平均数，其中\(f_1\)、\(f_2\)、\(\cdots\)、\(f_k\)叫做权，也叫权数，\(\cfrac{f_k}{n}\) 叫权重。

典例剖析

【2017高考真题卷Ⅱ文科19题改编】如图所示，求该频率分布直方图的众数\(A\)、中位数\(B\)、平均数、方差。

解析：先求众数，“旧养殖法”的众数为\(A=47.5\)；“新养殖法”的众数为\(B=52.5\)；

再求中位数，“旧养殖法”的中位数先判断其大概位置，由于\(25-50\)之间的面积和为\(0.62\)，\(25-45\)之间的面积和为\(0.42\)，

故中位数一定位于\(45-50\)之间，设中位数为\(x\)，则\(0.42+(x-45)\times0.04=0.50\)，求得\(x=47\)，即中位数为\(47\)。

最后求平均数：比如“旧养殖法”的平均数的计算

\(\bar{x}=27.5\times5\times0.012+32.5\times5\times0.014+37.5\times5\times0.024\)

\(+42.5\times5\times0.034+47.5\times5\times0.040+52.5\times5\times0.032\)

\(+57.5\times5\times0.020+62.5\times5\times0.012+67.5\times5\times0.012\)

\(=47.1\)；

“新养殖法”的平均数的计算

\(\bar{y}=37.5\times5\times0.004+42.5\times5\times0.020+47.5\times5\times0.044\)

\(+52.5\times5\times0.068+57.5\times5\times0.046\)

\(+62.5\times5\times0.010+67.5\times5\times0.008\)

\(=52.35\)；

求方差：比如“新养殖法”的方差计算

\(S^2=(37.5-52.35)^2\times 0.004\times 5+(42.5-52.35)^2\times 0.020\times 5+(47.5-52.35)^2\times 0.044\times 5\)

\(+(52.5-52.35)^2\times 0.068\times 5+(57.5-52.35)^2\times 0.046\times 5\)

\(+(62.5-52.35)^2\times 0.010\times 5+(67.5-52.35)^2\times 0.008\times 5\)

\(=?\)

• 2、利用茎叶图估算平均数、方差
• 3、利用给定数据估算平均数、方差

求平均数

层次一，给定一组数据计算平均数；

不带权重的平均数计算；比如给定数据\(1，2，3，4，5\)的平均数的算法是\(\bar{x}=\cfrac{1+2+3+4+5}{5}=3\)，

带有权重的平均数计算；那么给定数据\(2，2，4，4，4\)的平均数的算法是

\(\bar{x}=\cfrac{2+2+4+4+4}{5}=\cfrac{2\times 2+4\times 3}{5}\)

\(=2\times \cfrac{2}{5}+4\times \cfrac{3}{5}\)，

表达式中的\(\cfrac{2}{5}\)和\(\cfrac{3}{5}\)的含义就是\(\cfrac{频数}{样本容量}=频率\)。

层次二，利用频率分布直方图计算平均数计算；如上题；

层次三，带有概率的频率分布直方图计算平均数计算；

【选自2021届黄冈八模测试卷一第19题】小明每天从家步行去学校，有两条路线可以选择，第一条路线，需走天桥，不用等红灯，平均用时 \(910\) 秒；第二条路线，要经过两个红绿灯路口，如图，

\(A\) 处为小明家，\(D\) 处为学校，走路段 \(AB\) 需 \(240\) 秒，在 \(B\) 处有一红绿灯，红灯时长 \(120\) 秒，绿灯时长 \(30\) 秒，走路段 \(BC\) 需 \(450\) 秒；在 \(C\) 处也有一红绿灯，红灯时长 \(100\) 秒，绿灯时长 \(50\) 秒，走路段 \(CD\) 需 \(200\) 秒，小明进行了 \(60\) 天的试验，每天都选择第二条路线，并记录了在 \(B\) 处等待红灯的时长，经统计， \(60\) 天中有 \(48\) 天在 \(B\) 处遇到红灯，根据记录的 \(48\) 天等待红灯时长的数据绘制了下面的频率分布直方图。已知 \(B\) 处和 \(C\) 处的红灯亮起的时刻恰好始终保持相同，且红绿灯之间切换无时间间隔。

(1). 若小明选择第二条路线，设当小明到达 \(B\) 处的时刻为 \(B\) 处红灯亮起后的第 \(x\) 秒（\(0≤x<150\))时，小明在 \(B\) 处等待红灯的时长为 \(y\) 秒，求 \(y\) 关于 \(x\) 的函数的解析式.

分析：由题意，\(y\) 是 \(x\) 的一次型函数，又由于当 \(x=0\) 时，应该有 \(y=120\)，当 \(x=120\) 时，应该有 \(y=0\)，

故在等红灯阶段有 \(y=120-x\)；综上得到，

\(y=\left\{\begin{array}{l}120-x, &0 \leqslant x<120 \\ 0,&120 \leqslant x<150\end{array}.\right.\)

(2). 若小明选择第二条路线，请估计小明在 \(B\) 处遇到红灯的概率，并问小明是否可能在 \(B\) 处和 \(C\) 处都遇到红灯.

分析：估计小明在 \(B\) 处遇到红灯的概率为 \(\cfrac{48}{60}=\cfrac{4}{5}\) 注意此处的关键词【估计】，其含义是用样本容量\(60\)里面出现红灯的频率来估计总体，即以后的任何一天在\(B\)处遇到红灯的概率，涉及的是用样本的数字特征来估计总体的数字特征；\(\quad\)；

由于小明过 \(B\) 处的时刻一定是 \(B\) 处红灯亮起 \(120\) 秒后， 而 \(B\) 和 \(C\) 处的红灯亮起的时刻恰好始终保持相同且 \(B\) 处和 \(C\) 处红绿灯的时长之和相等，\(120+30\)\(=\)\(100+50\)，都等于小明走路段 \(BC\) 所需的时间 \(450\) 秒的 \(\cfrac{1}{3}\)，所以小明到达 \(C\) 处的时刻一定是 \(C\) 处红灯亮起 \(120\) 秒之后， 而此时已经是 \(C\) 处绿灯亮了 \(20\) 了，故小明不会在 \(C\) 处遇到红灯， 因此小明不可能在 \(B\) 处和 \(C\) 处都遇到红灯.

(3). 若取区间中点作为该区间对应的等待红灯的时长，以这两条路线的平均用时作为决策依据，小明应选择哪一条路线?

分析：小明走第二条路线平均等待红灯的时长，即利用频率分布直方图求平均值；此处又由于涉及碰到红灯和绿灯的概率不一致，故

小明走第二条路线平均等待红灯的时长

\((10\times 0.00625\) \(+30\times 0.015625\)\(+\)\(50\times 0.0125+\)\(70\times 0.00625\)\(+\)\(90\times 0.00625\)\(+\)\(110 \times 0.003125\)\()\times 20\)\(\times\cfrac{4}{5}+0\times\cfrac{1}{5}=40\) (秒)，

小明走第二条路线平均用时为 \(240+450+200+40=930\) (秒)，由于 \(930>910\) ， 故小明应该选择第一条路线.