教给学生知识的本源 | 讲座感悟整理

前言

曾经听过一位教授[好像叫张奠宙教授，最感慨的不是人家知识的渊博，倒是其身体好，80多的人了，在2004年新教材培训时，一直站着讲了四个多小时，洋洋洒洒，口若悬河，只是偶尔喝口水停顿一下，逆天了简直]一元二次方程根与系数关系的讲座，深有感触，也算是多少理解了到底应该教给学生什么样的知识。

案例说明

一元二次方程 \(ax^2+bx+c=0\) 根与系数的关系的证明思路的选择；

[思路一]：一元二次方程只有在满足 \(\Delta\geq0\) 时，才有实数根。在满足 \(\Delta>0\) 的前提下，由求根公式得到方程的两个根为

\[x_{1,2}=\cfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \]

则方程的两个根求和，求积分别得到：

\[x_1+x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}+\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\cfrac{b}{a} \]

\[x_1\cdot x_2=\cfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\times\cfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\cfrac{c}{a} \]

到此，一元二次方程根与系数的关系^[1]证明很完美的完成了；

但是如果要进一步问，一元三次方程的根与系数的关系，上述思路根本不能给出丝毫的提示和帮助。

紧接着，这位教授又给了另一个思路，他说：

[思路二]：一元二次方程如果有根，那么其必然满足如下关系，为什么^[2]

\[ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2) \]

对其整理得到，

\[ax^2+bx+c=ax^2-a(x_1+x_2)x+ax_1x_2 \]

上述表达式由于恒等，故对应系数相等，则得到

\[b=-a(x_1+x_2)，c=ax_1x_2 \]

稍作整理，即得到一元二次方程根与系数的关系如下：^[3]

\[\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2=-\cfrac{b}{a}}\\{x_1x_2=\cfrac{c}{a}}\end{array}\right. \]

感悟引申

很明显，上述思路二具有更大的延展性，由此我们自己就可以推导出一元三次方程根与系数的关系，具体如下：

一元三次方程如果有根，则其必然满足

\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \]

整理得到，

\[ax^3+bx^2+cx+d=ax^3-a(x_1+x_2+x_3)x^2+a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)x-ax_1x_2x_3 \]

由对应系数相等，则得到一元三次方程根与系数的关系：

\[\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2+x_3=-\cfrac{b}{a}}\\{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\cfrac{c}{a}}\\x_1x_2x_3=-\cfrac{d}{a}\end{array}\right. \]

问题：由上述的推导思路，你能推导一元四次方程根与系数的关系吗？

相关问题

【来自知乎问题】为什么一元二次方程 \(ax²+bx+c=0\) 有根 \(x_1\)、\(x_2\)，则 \(ax²+bx+c\) 可以因式分解成 \(a(x-x_1)(x-x_2)\) ?

解答：\(1^{\circ}\),假设两个实数根 \(x_1\neq x_2\)，则由 \(x_1\)、\(x_2\) 是方程的两个根，则必然有

\(ax_1^2 + bx_1 + c = 0\)，\(ax_2^2 + bx_2 + c = 0\)，

两式相减得 \(a(x_1 + x_2)(x_1 - x_2) + b(x_1 - x_2) = 0\)

约去 \(x_1 - x_2\)，得 \(b = -a(x_1 + x_2)\)

将 \(b\) 带入其中一个式子得 \(c = -ax_1^2 - bx_1 = -ax_1^2 + a(x_1 + x_2)x_1 = ax_1x_2\)

\( \begin{align*} ax^2 + bx + c&= ax^2 - a(x_1 + x_2)x + ax_1x_2 \\ &= a\left[ x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1x_2 \right] \\ &= a(x - x_1)(x - x_2) \end{align*} \tag{*} \)

\(2^{\circ}\),当 \(x_1=x_2\) [即方程有重根] 时，此时方程是 完全平方式，设重根为 \(x_1=x_2=m\)，

则方程可表示为：\(ax^2 + bx + c = a(x - m)^2\)

展开右边：\(a(x - m)^2 = ax^2 - 2amx + am^2\)

对比系数得：\(b = -2am\) [即 \(b = -a(x_1 + x_2)\)，因为 \(x_1 + x_2 = 2m\)]，\(c = am^2\)[即 \(c = ax_1x_2\)，因为 \(x_1x_2 = m^2\)]

也满足上述的\(\star\) 式的变形过程。

综上所述，一元二次方程 \(ax²+bx+c=0\) 有根 \(x_1\)、\(x_2\)，则 \(ax²+bx+c\) 可以因式分解成 \(a(x-x_1)(x-x_2)\) .

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1. 一元二次方程根与系数的关系也称为一元二次方程根与系数关系定理，有些资料上称为韦达定理；其逆定理为：如果两个数 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 满足 \(\alpha\)\(+\)\(\beta\)\(=\)\(-p\)，\(\alpha\)\(\cdot\)\(\beta\)\(=\)\(q\)，则这两个数 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 是方程 \(x^2\)\(+\)\(px\)\(+\)\(q\)\(=\)\(0\) 的两个根[这里已经渗透了构造法的影子] . ↩︎

2. 详细原因，请参阅本博文的相关问题，见下。 ↩︎

3. 这个思路也有一定的弊端，容易让人想到，任意给定一元二次方程，都可以写出根与系数的关系，从而淡化一元二次方程有实数根的前提： \(\Delta>0\) 。比如 \(x^2-x+1=0\) ，我们可以写出 \(\left\{\begin{array}{l}{x_1+x_2=1}\\{x_1x_2=1}\end{array}\right.\)， 但是我们知道方程 \(x^2\)\(-x\)\(+\)\(1\)\(=\)\(0\) 在实数范围内是无解的。故所写的根与系数关系是错误的。 ↩︎