两个易混概率题 | 教学争鸣
争鸣|两个易混概率题
前言
在概率的教学中，有时候碰到的题目，我们真的不好判断其求解过程到底对还是错。曾经就有如下的两个题目，我有意做了收录。
案例剖析
①. 第一次抽到次品的概率；
分析：由于仅仅考虑第一次抽取的情况，故所求概率 \(P=\cfrac{C_5^1}{C_{20}^1}=\cfrac{1}{4}\)；
②. 第一次和第二次都抽到次品的概率；
分析：抽取时要考虑到次序，即所求概率 \(P=\cfrac{C_5^1\times C_4^1}{C_{20}^1\times C_{19}^1}=\cfrac{1}{19}\)；
或理解为所求概率 \(P=\cfrac{C_5^1}{ C_{20}^1}\times \cfrac{C_4^1}{C_{19}^1}=\cfrac{1}{19}\)；
③. 在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率．
分析：本问属于条件概率问题，令“第一次抽到次品”为事件 \(A\)，“第二次抽到次品”为事件 \(B\)，则“在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品 ”为事件 \((B|A)\)，
由前面两问可知，\(P(A)=\cfrac{1}{4}\)，\(P(AB)=\cfrac{1}{19}\)，
故由条件概率公式可得，\(P(B|A)=\cfrac{P(AB)}{P(A)}=\cfrac{4}{19}\)
错解：由于数据一致，所以我们很容易将本题目的求解模型转化为上述的 ③ 来求解，从而选了 \(C\)，其实是有问题的。
分析：条件概率，设事件 \(A\) 表示“抽到的两张都是假钞”，事件 \(B\) 表示“抽到的两张至少有一张假钞”，则所求概率为 \(P(A|B)\)，
又\(P(AB)=P(A)=\cfrac{C_5^2}{C_{20}^2}\)，\(P(B)=\cfrac{C_{5}^2+C_{5}^1\cdot C_{15}^1}{C_{20}^2}\)，
由公式\(P(A|B)=\cfrac{P(AB)}{P(B)}=\cfrac{C_5^2}{C_{5}^2+C_{5}^1\cdot C_{15}^1}=\cfrac{10}{10+75}=\cfrac{2}{17}\)。
DeepSeek 给出的关于本题目的解答
答案
选项 C. \(\cfrac{4}{19}\) 正确，原分析错误。
解析：
题目要求计算“在抽到的两张中，已知其中一张检验为假钞”的条件下，另一张也是假钞的概率。关键点在于条件事件的定义：
-
事件的实际条件是“至少有一张假钞且被检验到”，而非简单的“至少有一张假钞”。需考虑检验过程的影响：
-
若抽到两张假钞（概率 \(P(A)\)\(=\)\(\cfrac{C_5^2}{C_{20}^2}\)\(=\)\(\cfrac{10}{190}\)\(=\)\(\cfrac{1}{19}\)），必然检验到假钞；
-
若抽到一假一真（概率 \(P(B)\)\(=\)\(\cfrac{C_5^1 C_{15}^1}{C_{20}^2}\)\(=\)\(\cfrac{75}{190}\)\(=\)\(\cfrac{15}{38}\)），检验到假钞的概率为 \(\cfrac{1}{2}\)。
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条件概率计算：
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分子：两张均为假钞且检验到假钞的概率为 \(P(A)\)\(\times\)\(1\)\(=\)\(\cfrac{1}{19}\)。
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分母：所有检验到假钞的概率为 \(P(A)\)\(\times\)\(1\)\(+\)\(P(B)\)\(\times\)\(\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{19}\)\(+\)\(\cfrac{15}{38}\)\(\times\)\(\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{19}\)\(+\)\(\cfrac{15}{76}\)\(=\)\(\cfrac{19}{76}\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\)。
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最终条件概率为 \(\cfrac{\frac{1}{19}}{\frac{1}{4}}\)\(=\)\(\cfrac{4}{19}\)。
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原分析错误地将条件简化为“至少有一张假钞”，忽略了检验过程的随机性，导致错误结果 \(\cfrac{2}{17}\)。正确答案为 C。
解后反思
你会发现这两个题目的背景非常的类似，但是有区别，本质是条件概率的前提条件不一样。题目 \(1\) 的 ③ 的条件是“第一次抽到次品”，而仔细研读题目2的条件应该是“抽到的两张至少有一张假钞”，很显然两者是不同的。所以我们拿到题目需要仔细、认真理解题意，甄别题目的不同，才能不出错。
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