数学错题本 · 标准模板

前情概要

以前在教学时经常自己动手给学生做错题本的模板样式，今天利用 Kimi 做个标准模板，直接贴在博客内，以供学生参考。

标准模板

📒 数学错题本 · 标准样例

不是抄答案，是做「错误诊断」

📅 日期：2026.07.26

📖 章节：导数 · 极值与最值

📄 来源：月考卷 T20

🏷️ 类型：概念混淆

1 原题

已知函数 $f(x)$ $=$ $x^3$ $-$ $3x^2$ $+$ $a$，若 $f(x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上的最大值为 $2$，求实数 $a$ 的值。

2 我的错误解法 ❌ 错误

$f'(x)$ $=$ $3x^2$ $-$ $6x$ $=$ $3x(x-2)$
令 $f'(x)$ $=$ $0$，得 $x$ $=$ $0$ 或 $x$ $=$ $2$
所以 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上的最大值在 $x=0$ 处取得
$f(0)$ $=$ $a$ $=$ $2$
∴ $a$ $=$ $2$

3 错因诊断（核心！）

🔴 认知层

误以为"端点和极值点"就是所有候选点。实际上，闭区间上的最值必须比较端点值和区间内所有极值点，但这里 $x=0$ 和 $x=2$ 恰好都是端点，我漏掉了检查区间内是否还有其他极值点。

🟡 操作层

求导后只看了 $f'(x)$$=$$0$ 的点，没有画符号表/单调性表来确认函数在区间内的走势。如果画了表，会发现 $x=0$ 处是极大值，但还需要和端点 $f(2)$ 比较。

🟢 信号词

看到"闭区间上的最值"，应该立刻触发"三步检查清单"：① 求导找临界点 ② 判断临界点是否在区间内 ③ 比较所有候选点的函数值。

4 正确解法 ✅ 正确

$f'(x)$ $=$ $3x^2$ $-$ $6x$ $=$ $3x(x - 2)$
令 $f'(x)$ $=$ $0$ → $x$ $=$ $0$ 或 $x$ $=$ $2$

// 画单调性表确认走势
$x$ ∈ $(0, 2)$ 时，$f'(x)$ $<$ $0$，函数单调递减
所以 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上递减

// 比较候选点
最大值在左端点 $x$ $=$ $0$ 处取得
$f(0)$ $=$ $a$ $=$ $2$

// 验证！（关键步骤）
当 $a$ $=$ $2$ 时，$f(2)$ $=$ $8$ $-$ $12$ $+$ $2$ $=$ $-2$ < $f(0)$ $=$ $2$ ✓
∴ $a$ $=$ $2$

5 迁移 & 防错清单

🎯 同类题信号：闭区间最值、含参函数最值、定义域受限的极值问题

📋 三步检查清单：① 求导找临界点 ② 判断临界点是否在区间内 ③ 比较端点值 + 区间内极值点的函数值

⚠️ 易错警示：不要看到 f'(x)=0 的点就在端点上，就以为不用比较了！无论端点是不是临界点，都要比较所有候选点。

🔁 复习计划：3天后做同类题1道 → 1周后做变式题1道 → 考前只看这张卡片

💡 错题本的黄金公式

记录错题 ≠ 抄题 + 抄答案
记录错题 = 错因诊断 + 防错清单 + 复习计划

最大问题

紧张繁重的高三生涯中，如何安排时间做这个错题本，什么时间安排复习？