重根法求分式多项式函数极值

前情概要

这是在知乎问答中看到的问题，由知乎大佬 予一人 给出的解答方法，感觉很清奇，故做以整理和诠释，便于学习。

典例剖析

求函数 \(f(x)=\dfrac{x^2(1-x)}{1+x}\) 在 \(x\in(0,1)\) 上的最大值。

解法1️⃣：知乎大佬予一人给出的解法，假设 \(f(x)\) 在 \(x\) \(=\) \(c\in\) \((0,1)\) 时取得最大值 \(m\)，

则方程 \(\dfrac{x^2(1-x)}{1+x}\) \(=\) \(m\)，也即 \(x^3\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(mx\) \(+\) \(m\) \(=\) \(0\) 必以 \(x\) \(=\) \(c\) 为重根 ^[1] ，

于是左端多项式必可分解为

\(x^3\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(mx\) \(+\) \(m\) \(=\) \((x-c)^2\) \(\cdot\) \((x+a)\) \(=\) \(x^3\) \(+\) \((a-2c)x^2\) \(+\) \((c^2-2ac)x\) \(+\) \(ac^2\)

于是 \(\begin{cases}a-2c = -1\\c^2-2ac = m\\ac^2 = m \end{cases}\)

解得 \(a\) \(=\) \(\sqrt{5}\) \(-\) \(2\) ，\(c\) \(=\) \(\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) ，\(m\) \(=\) \(\dfrac{5\sqrt{5}-11}{2}\)，

进而可以验证 \(m\) \(=\) \(\dfrac{5\sqrt{5}-11}{2}\) 确是 \(f(x)\) 的最大值，因为对上述 \(a\)，\(c\)，\(m\) 值来说，当然成立

\(f(x)\) \(-\) \(m\) \(=\) \(\dfrac{x^2(1-x)}{1+x}\) \(-\) \(m\) \(=\) \(-\dfrac{x^3-x^2+mx+m}{x+1}\) \(=\) \(-\dfrac{(x-c)^2(x+a)}{x + 1}\) \(\le\) \(0\) .

解法2️⃣：导数法，常规方法且是通用方法

原函数整理得 \(f(x)=\dfrac{-x^3+x^2}{x+1}\)，

求导得到，\(f'(x)=\dfrac{(-3x^2+2x)(x+1)-(-x^3+x^2)}{(x+1)^2}=\dfrac{-2x(x^2+x-1)}{(x+1)^2}\)

区间内 \((x+1)^2>0,\ -2x<0\)，令 \(f'(x)=0\)，只需 \(x^2+x-1=0\)

解得正根 \(c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\in(0,1)\)

\(x\in(0,c)\) 时 \(f'(x)>0\)，函数递增；\(x\in(c,1)\) 时 \(f'(x)<0\)，函数递减，\(x=c\) 为最大值点

由 \(c^2=1-c\)，代入原式化简：即最大值 \(m\)\(=\)\(f(c)\)\(=\)\(\dfrac{c^2\cdot c^2}{1+c}\)\(=\)\(\dfrac{(1-c)^2}{1+c}\)\(=\)\(\dfrac{1-2c+c^2}{1+c}\)\(=\)\(\dfrac{1-2c+1-c}{1+c}\)\(=\)\(\dfrac{2-3c}{1+c}\)

代入 \(c=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) 并分母有理化：\(m=\dfrac{7-3\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}=\dfrac{5\sqrt{5}-11}{2}\)

故函数最大值为 \(\dfrac{5\sqrt{5}-11}{2}\)，对应的最大值点为 \(x=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\) .

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1. 为什么极值点对应方程的二重根[重根] ?
   从几何直观的角度解释：\(y=f(x)\) 在最大值点 \(x=c\) 处，水平线 \(y=m\) 和曲线 \(y=f(x)\) 相切，切点横坐标 \(c\) 是方程 \(f(x)\)\(-\)\(m\)\(=\)\(0\) 的二重根。
   从代数的角度解释，若多项式 \(P(x)\)\(=\)\(x^3\) \(-\) \(x^2\) \(+\) \(mx\) \(+\) \(m\) 有二重根 \(x=c\)，则：
   1.\(P(c)=0\)（\(c\) 是根）；2.\(P'(c)=0\)（相切，导数为0，对应函数极值点导数为0，和求导法本质相通）。
   因此三次多项式一定能分解成：\(P(x)=(x-c)^2(x+a)\)，其中 \(a\) 是第三个实根对应的常数。 ↩︎