垂直平行求体积经典综合题 | 立体几何

前情概要

看到这个题目的第一眼，就感觉第二问，有加以整理的价值，粗看大致可以归类于立体几何里面的存在性探索性问题，这类题目本身难度就比较大。

典例剖析

【2025级高一学生试题】如图，在正方体 \(ABCD\) \(-\) \(A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}\) 中，棱长 \(AB=2\)，点 \(M\) 为 \(DD_{1}\) 的中点 .

(1). 求证 \(BD_{1}\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\) .

法 ❶：立体几何法，由三角形中位线，得到线线平行，进而推出线面平行，此法容易想到且快捷易操作。

连结 \(BD\) 与 \(AC\) 交于点 \(G\)，则由于 \(MG\) 为中位线，故有 \(MG\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}BD_1\) ，又由线面平行的判定定理可知，

$\left.\begin{array}{l}{MG\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}BD_1}\\{MG\subset 平面 AMC}\\{BD_1\not\subset 平面 AMC}\end{array}\right\}$ $\implies$ $BD_{1}\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}$ 平面 $AMC$ .

法 ❷：空间向量法，可以通过直线的方向向量和平面内的直线的方向向量平行，进而证明；也可通过直线的方向向量与平面的法向量垂直证明；

简单提示：以 \(D\) 为原点，\(DA\) 为 \(x\) 轴，\(DC\) 为 \(y\) 轴，\(DD_1\) 为 \(z\) 轴，建立空间直角坐标系，可求得各点的坐标为：\(D(0,0,0)\)、\(A(2,0,0)\)、\(C(0,2,0)\)、\(B(2,2,0)\)、\(D_1(0,0,2)\)、\(B_1(2,2,2)\)、\(M(0,0,1)\)，

直线 \(BD_1\) 的方向向量 \(\vec{s}=(-2,-2,2)\)，平面 \(AMC\) 法向量 \(\vec{n}=(1,1,2)\) [详细求解过程见下第二问]，

由于 \(\vec{s}\cdot\vec{n}=(-2)\times1+(-2)\times1+2\times2=0\)，且有直线 \(BD_1\) \(\not\subset\) 平面 \(AMC\)，故 \(BD_{1}\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\) .

① 对于高一学生而言，大多题目也就仅仅当作个数学题目来做，做完了也就扔到一边了，很少考虑这个题目的训练价值。其实，对于众多的空间几何体而言，比较特殊的那几种，比如正三棱锥、正四面体、正方体，等等，常常是高频考查命题的数学载体，所以，要给与足够的重视。

②我感觉，高一学生初次学习就应该掌握[不是一般的见过，要熟记于心的那种，因为它们是后续拔高的基础]的基础知识，如上的正方体中，比如 \(B_1D\perp\) 平面 \(ACD_1\) ，三棱锥 \(D-ACD_1\) 是正三棱锥，等等 .若还想知道，请参阅 更多正方体的应知应会常识，正确方向上的足够的储备对学生的裨益是不言而喻的。

③ 法 ❷ 的优越性体现在，若后续求解也用到空间向量法，则建系求坐标的基础工作就没有白做，也能给学生渗透向量思想，求解形的问题，通过数的方法来解决；求解数的问题，通过形的方法来解决，学生见的多了，对向量方法的体会就更加深入，也便利于学生建立向量解决问题的思维框架。

(2). 设 \(E\) 为 \(BD_{1}\) 上的动点，问在棱 \(CC_{1}\) 上是否存在一点 \(N\)，使得 \(EN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\) ? 若存在请说明 \(N\) 的位置并证明，若不存在说明理由 .

法 ❶：立体几何法，从形的角度思考，通过构造面面平行来证明线面平行。

结论：存在满足题意的点 \(N\)，其中点 \(N\) 为棱 \(CC_1\) 的中点，理由如下：

取 \(N\) 为 \(CC_{1}\) 的中点，连结 \(BN\)、\(D_1N\)，由于点 \(M\)、\(N\) 分别为 \(DD_1\)、\(CC_1\) 的中点，

则容易知道 \(BN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}AM\)，\(D_1N\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}MC\)，由面面平行的判定定理可知，平面 \(BD_1N\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\)，

则由面面平行的性质定理可知，必有 \(EN//\) 平面 \(AMC\)，\(E\in BD_{1}\) .

① 那么如何能想到这种思路呢？如果你熟稔正方体这种特殊的数学载体，对其中的线线、线面、面面位置关系如庖丁解牛般的成竹于胸，自然不难想到这种思路。这类题目满足题意的点一般都是中点。当然也有例外。

② 有个易错点需要注意，有些题库中给出的答案是 \(E\) 为 \(BD_1\) 的中点且 \(N\) 为 \(CC_1\) 的中点时，满足 \(EN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\) ，这种解答是不完善的，没有照顾到点 \(E\) 的任意性。

③ 在平面 \(AMC\) 内，如何找和 \(EN\) 平行的直线？暂时没有太多思路，待后思考解决。

法 ❷：空间向量法，从数的角度计算，设参数，求参数，确定点的位置。自我感觉是最有说服力的思路。

结论：存在满足题意的点 \(N\)，其中点 \(N\) 为棱 \(CC_1\) 的中点，理由如下：

以 \(D\) 为原点，\(DA\) 为 \(x\) 轴，\(DC\) 为 \(y\) 轴，\(DD_1\) 为 \(z\) 轴，建立空间直角坐标系，可求得各点的坐标为：\(D(0,0,0)\)、\(A(2,0,0)\)、\(C(0,2,0)\)、\(B(2,2,0)\)、\(D_1(0,0,2)\)、\(B_1(2,2,2)\)、\(M(0,0,1)\)，

令 \(E(m,n,p)\)，则 \(\overrightarrow{BE}\) \(=\) \((m-2,n-2,p)\)，\(\overrightarrow{BD_1}\) \(=\) \((-2,-2,2)\)，

设动态参数 \(\lambda\) ，使得 \(BD_1\) 上动点 \(E\) 满足 \(\overrightarrow{BE}\) \(=\) \(\lambda\) \(\cdot\) \(\overrightarrow{BD_1}\)，\(\lambda\in[0,1]\)，

则由坐标关系可知，\(\left\{\begin{array}{l}{m-2=(-2)\lambda}\\{n-2=(-2)\lambda}\\{p=2\lambda}\end{array}\right.\)，求得点 \(E(2-2\lambda,\ 2-2\lambda,\ 0+2\lambda)\) .

再设棱 \(CC_1\) 上的某点 \(N(0,2,t)\)，\(t\in[0,2]\)，则 \(\overrightarrow{EN}\) \(=\) \((-2+2\lambda,\ 2\lambda,\ t-2\lambda)\)。

设平面 \(AMC\) 的法向量 \(\vec{n}=(x,y,z)\)，由平面 \(AMC\) 内的向量 \(\overrightarrow{MA}\) \(=\) \((2,0,-1)\)，\(\overrightarrow{MC}\) \(=\) \((0,2,-1)\)，则由 \(\overrightarrow{MA}\cdot\vec{n}\) \(=\) \(0\)，及 \(\overrightarrow{MC}\cdot\vec{n}\) \(=\) \(0\)，可得到平面 \(AMC\) 法向量 \(\vec{n}=(1,1,2)\)，

则由 \(EN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(AMC\) \(\iff\) \(\overrightarrow{EN}\) \(\perp\) \(\vec{n}\)，即 \(\overrightarrow{EN}\) \(\cdot\) \(\vec{n}=0\)，也即\((2\lambda-2)\) \(\cdot\) \(1\) \(+\) \(2\lambda\) \(\cdot\)\(1\) \(+\) \((t-2\lambda)\) \(\cdot\) \(2\) \(=\) \(0\)，

化简：\(2\lambda-2\) \(+\) \(2\lambda\) \(+\) \(2t-\) \(4\lambda\) \(=0\)，解得 \(t=1\)，

也即 \(N(0,2,1)\)，此时 \(N\) 为 \(CC_1\) 的中点。求值过程，与动态参数 \(\lambda\) 无关，说明任意 \(E\in BD_1\)都满足 ，得证。

❶ 此法，我最满意之处，就是设元。通过设动态参数值的变化来控制点的运动，玩过几何画板的同仁，估计更能理解这一点。具体来说，给定线段 \(AB\)，其上有个动点 \(C\)，则我们的一般做法都是在线段 \(AB\) 上取一个动点，令 \(\dfrac{AC}{AB}=t\)，若拉动点 \(C\) 在线段 \(AB\) 的两个端点之间运动，则此时必有 \(t\in [0,1]\)。这样做的意义是什么呢？如果我们需要 \([0,1]\) 之间的动态参数，来控制图形的缩小，这个系数就是这样来的。如果需要 \([1,+\infty)\) 之间的系数，则可以将动点 \(C\) 取在线段的延长线上，这样就可以控制图形的放大。

❷ 有了向量框架，问题变得更简单了，比如本题目，令 \(\overrightarrow{BE}\) \(=\) \(\lambda\) \(\cdot\) \(\overrightarrow{BD_1}\)，则当 \(\lambda\in[0,1]\) 时，就能控制点 \(E\) 在 点 \(B\) 和 点 \(D_1\) 之间运动。

❸ 本题中的点 \(N\) ，由于在 \(CC_1\) 上，故设棱 \(CC_1\) 上的某点 \(N(0,2,t)\)，\(t\in[0,2]\)，通过参数 \(t\) 的变化来控制点 \(N\) 的位置。

(3). 设三棱锥 \(D-MAC\) 的体积为 \(V_{1}\)，三棱锥 \(D_{1}-B_{1}AC\) 的体积为 \(V_{2}\)，求 \(\dfrac{V_{1}}{V_{2}}\) 的值 .

法 ❶：等体积转换，顶点轮换，考试最常用，也最常考查的一点，就看你的思维是否具备灵活性。

\(V_{D-MAC}\) \(=\) \(V_{M-ACD}\)，底面 \(\triangle ACD\)是正方形一半，\(S_{\triangle ACD}=\dfrac12\times 2\times 2=2\)，

则 \(V_{M-ACD}\) \(=\) \(\dfrac13\) \(\cdot\) \(S_{\triangle ACD}\) \(\cdot\) \(DM\) \(=\) \(\dfrac13\)\(\times\)\(2\)\(\times\)\(1=\)\(\dfrac{2}{3}\)，

又由于几何体 \(B_1-ACD_1\) 是正方体的内接正四面体，正方体在四个角处各切割去最大的正三棱锥，剩余的几何体就是正四面体 \(B_1-ACD_1\)。

故 \(V_{B_1-ACD_1}\) \(=\) \(V_{正方体}\) \(-\) \(4V_{D_1-ACD}\) \(=\) \(8-\) \(\dfrac{16}{3}\) \(=\) \(\dfrac{8}{3}\)，

则 \(\dfrac{V_1}{V_2}\) \(=\) \(\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{3}}\) \(=\) \(\dfrac{2}{8}\) \(=\) \(\dfrac14\) .

反例提升

【豆包编制的配套模拟训练题，反例，已人工核验】直三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\)，\(\angle ABC=90^\circ\)，\(AB=BC=2\)，\(AA_1=4\)，\(D\) 为棱 \(A_1C_1\) 的中点，\(M\) 是 \(AC_1\) 的中点，试问：在棱 \(BB_1\) 上是否存在点 \(N\)，使得 \(MN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(BDC_1\) ? 若存在，求出 \(N\) 的位置；若不存在，说明理由。

解：以 \(B\) 为原点，\(BA\) 为 \(x\) 轴，\(BC\) 为 \(y\) 轴，\(BB_1\) 为 \(z\) 轴，则得到各点坐标为：\(B(0,0,0)\)，\(A(2,0,0)\)，\(C(0,2,0)\)，\(C_1(0,2,4)\)，\(D(1,1,4)\)，\(B_1(0,0,4)\)，\(M(1,1,2)\)，设 \(N\) 在 \(BB_1\) 上，令 \(N(0,0,t)\)，其中 \(0\leq t \leq 4\)。

\(\overrightarrow{MN}\) \(=\) \((-1,-1,t-2)\)，平面 \(BDC_1\) 的一个法向量：\(\vec{n}\) \(=\) \((-2,-2,1)\)，详细求解过程略。

再由线面平行等价条件：\(\overrightarrow{MN} \perp \vec{n}\)，即 \(\overrightarrow{MN}\cdot\vec{n}=0\)

则有 \((-1)\times(-2)\) \(+\) \((-1)\times(-2)\) \(+\) \((t-2)\times1\) \(=\) \(0\)，解得：\(t=-2\)

又由于 棱 \(BB_1\) 上点的竖坐标范围是 \(0\le t \le 4\)，\(t=-2\) 不在该区间内。

故在棱 \(BB_1\) 上不存在满足条件的点 \(N\)，使得 \(MN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(BDC_1\) .

解后反思：通过此例题，能体会到从数的角度，借助计算来判定形的问题的便捷性。

【上例的变式】直三棱柱 \(ABC-A_1B_1C_1\)，\(\angle ABC=90^\circ\)，\(AB=BC=2\)，\(AA_1=4\)，\(D\) 为棱 \(A_1C_1\) 的中点，\(M\) 是 \(AC_1\) 的中点，试问：在棱 \(CC_1\) 上是否存在点 \(N\)，使得 \(MN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(BDC_1\) ? 若存在，求出 \(N\) 的位置；若不存在，说明理由。

解：设 \(N(0,2,m)\) \((0\le m\le4)\)，则 \(\overrightarrow{MN}\) \(=\) \((-1,1,m-2)\)

由 \(\overrightarrow{MN}\cdot\boldsymbol{n}=0\)，\((-1)\times(-2)+1\times(-2)+(m-2)\times1 = 0 \implies m=2\)

\(m=2\in[0,4]\)，符合范围。

故存在点 \(N\) 为棱 \(CC_1\) 上纵坐标为 \(2\) 的点，即点 \(N\) 为 \(CC_1\) 中点，能使得 \(MN\mathrel{\raise{0.3ex}{\scriptsize/}\mskip-2.5mu\raise{0.3ex}{\scriptsize/}}\) 平面 \(BDC_1\) .

关联探究

若你还想学习更多这个类型的问题，请参阅博文 线段或棱上是否存在一个点|探索性问题 .