三角形周长取值范围的数形对应解释

前情概要

三角形的三边记为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，三角形周长的取值范围自然是指 \(a+b+c\)，但题目中还会考查形如 \(3a-b+2c\)、\(\cfrac{b+c}{a}\) 等等的取值范围，而这些又不能归类到周长的范畴，所以标记为 周长类 .

本博文是 求三角形周长类的取值范围 中的典型题目的延申解读和通透解释。一句话总结：针对三角形周长类的取值范围问题，一般求解的思路有：

❶ 在高中阶段，要大练特练的思路就是转化为正弦型的思路求解；这个思路既能训练学生的运算能力 [学生的运算能力很弱的，好吧，另外学生也好怕三角函数的运算的]，也能强化三角函数正弦型这个数学模型的应用，估计三角函数部分的题目中，有 \(70\%\sim 80\%\) 以上的题目都可以转化为这个类型，例证如下：使用正弦型思路考查的素材，通过这些不同类型的例题的求解思路，估计你也会有这个感受。这个思路特别适合解答题的求解。

❷ 绝大多数学生会选均值不等式的思路，这个思路运算简单快捷。尤其是求周长的最大值问题。

❸ 数形结合，若题目的已知条件是对边对角型求周长的范围，可以利用三角形的外接圆来求解。

典例剖析

【三角函数图像性质和解三角形结合】【2017•福州模拟】在 \(\triangle\)\(ABC\) 中，角 \(A\)、\(B\)、\(C\) 的对边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，满足\((2b-c)\)\(\cdot\)\(\cos A\)\(=\)\(a\)\(\cdot\)\(\cos\)\(C\)。　

(1). 求角 \(A\) 的大小；(考查角度：解三角形，不是我们要说的重点)

分析：(1)由\((2b-c)\cdot cosA=a\cdot cosC\)，以及正弦定理，

得\((2sinB-sinC)cosA=sinAcosC\)，

所以\(2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC\)， 所以\(2sinBcosA=sin(C+A)=sinB\)，

因为\(B\in (0，π)\)，所以\(sinB\neq 0\)，

因为\(A\in (0，π)\)，\(cosA=\cfrac{1}{2}\)，所以$A=\cfrac{\pi}{3} $。

(2). 若\(a=3\)，求 \(\triangle ABC\) 周长的取值范围[原题是求最大值]。(考查角度：三角函数图像性质)

法1️⃣：三角函数法，适合解答题，由(1)得 \(A=\cfrac{\pi}{3}\)，

由正弦定理得\(\cfrac{b}{sinB}=\cfrac{c}{sinC} =\cfrac{a}{sinA} =\cfrac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} =2\sqrt{3}\)，

所以 \(b=2\sqrt{3}\cdot sinB\)，\(c=2\sqrt{3}\cdot sinC\)，则所求的 \(\triangle ABC\) 的周长：

\(l=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot sinC\)

\(=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)

\(=3+2\sqrt{3}\cdot sinB+2\sqrt{3}\cdot (\cfrac{\sqrt{3}}{2}cosB+\cfrac{1}{2}sinB)\)

\(=3+3\sqrt{3}sinB+3cosB=3+6sin(B+\cfrac{\pi}{6})\)

由于 \(B\in(0,\cfrac{2\pi}{3})\)，则 \(B+\cfrac{\pi}{6}\in(\cfrac{\pi}{6},\cfrac{5\pi}{6})\)，

则有 \(6sin(B+\cfrac{\pi}{6})\in (3,6]\)，即 \(3+6sin(B+\cfrac{\pi}{6})\in (6,9]\) .

即 \(\triangle ABC\) 周长的取值范围为 \((6,9]\) .

法2️⃣：均值不等式法，适合解答题，

由 (1) 得\(A=\cfrac{\pi}{3}\)，且\(a=3\)，

则由余弦定理可得，\(a^2=b^2+c^2-2bccosA\)，

即\(3^2=b^2+c^2-bc=(b+c)^2-3bc\)，

即\((b+c)^2=9+3bc\leq 9+3\times (\cfrac{b+c}{2})^2\)，视\(b+c\)为整体，

解不等式得到，\(\cfrac{1}{4}(b+c)^2\leq 9\)，即\(b+c\leq 6\)如果解单纯的数学不等式模型，得到\(-6\)\(\leqslant\)\(b+c\)\(\leqslant\)\(6\)，此处是实际问题，故首先需要\(0\)\(<\)\(b+c\)\(\leqslant\)\(6\)，其实这还不够，还需要\(3\)\(<\)\(b+c\)\(\leqslant\)\(6\)[两边之和大于第三边]，如果三角形还有形状上的要求，那么还需要添加其他的限制；，当且仅当\(b=c=3\)时取得等号。

则 \((a+b+c)_{max}=3+6=9\)，即 \(\triangle ABC\) 周长的最大值为 \(9\) .

又由三角形任意两边之和大于第三边可知，则 \(b+c\) \(>\) \(a\)，故 \(a+b+c\) \(>2a\) \(=6\)，即 \(\triangle ABC\) 周长最小值的极限为 \(6\) .

即 \(\triangle ABC\) 周长的取值范围为 \((6,9]\) .

法3️⃣：数形结合法，适合选择题和填空题，最快捷的解法。如下图所示，做出三角形 \(\triangle ABC\) 的外接圆，首先确认 \(BC\) \(=\) \(a\) \(=\) \(3\)，\(\angle A\) \(=\) \(\dfrac{\pi}{3}\)，点 \(A\) 在 \(\odot O\) 的优弧 \(\overset{\frown}{BC}\) 上自由运动 .

点 \(A\) 沿从点 \(B\) \(\rightarrow D\) \(\rightarrow C\)，和从点 \(C\) \(\rightarrow D\) \(\rightarrow B\) 的路径是对称的，故当点 \(A\) 落在点 \(B\) 或点 \(C\) 上时，一定对应三角形周长的一个最值[此处准确的说法是最值的极限，原因是此时三角形已经不存在了]，当点 \(A\) 落在点 \(D\) 时必然对应三角形周长的另一个最值。接下来我们具体确认谁是最大谁是最小。一种思考方式是点 \(A\) 落在点 \(B\) [或点 \(C\)] 时，三角形的周长只是两边之和了，自然最小，这样点 \(A\) 落在点 \(D\) 时，三角形的周长自然就是最大值；另一种是计算出具体的周长，其最大最小值自然就确定了。

由此种解法，我们甚至还可以产生一种暴力解法，依托如上的三角形和其外接圆图形，当过点 \(A\) 的高线最小时[这是从形上的表述]三角形的周长最小[这是对应的从数上的刻画]，当过点 \(A\) 的高线最大时[这是从形上的表述]三角形的周长最大[这是对应的从数上的刻画]。

有空，再探索一边和邻角的类型。