三角形中各要素的求解公式 | 梳理

前情概要

对三角形中各要素的学习和认知，是高中数学中一个比较重要的任务，为便于学习和查阅，特此编辑一篇。

为了方便叙述，特别约定，\(\triangle ABC\) 的中的三边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，且 \(A(x_1,y_1)\)、 \(B(x_2,y_2)\)、 \(C(x_3,y_3)\)，面积为 \(S\)，半周长 \(p\)\(=\)\(\cfrac{a+b+c}{2}\) .

各种点的坐标

❶ 令 \(BC\) 边的中点为 \(D\) ，则其中点坐标为 \(D\) \((\cfrac{x_2+x_3}{2},\cfrac{y_2+y_3}{2})\)，其他中点坐标可类比自行求出；

❷ 重心 \(G\) 的坐标 \(G\) \((\cfrac{x_1+x_2+x_3}{3},\cfrac{y_1+y_2+y_3}{3})\)；

❸ 内心 \(I(x_I,y_I)\) 的坐标为：\(x_I=\dfrac{a x_1 + b x_2 + c x_3}{a+b+c},y_I=\dfrac{a y_1 + b y_2 + c y_3}{a+b+c}\)，内心就是按对边长度加权平均[超纲]；

各种线的长度

❶ 各边长度：

\(a=BC=\sqrt{(x_2-x_3)^2+(y_2-y_3)^2}\)，其他类比求解；

❷ 中位线长度：

令 \(DE\) 为 \(BC\) 边所对应的中位线，则 \(DE=\cfrac{1}{2}BC\)；其他类比求解；

❸ 中线长度：

如图，在 \(\triangle ABC\) 中，\(AD\) 为 \(BC\) 边上的中线，则 \(AD^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\)\((2AB^2\)\(+\)\(2AC^2\)\(-\)\(BC^2)\) .

❹ 角平分线长度：

如图，\(\triangle ABC\) 的三边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，\(BD\) 是 \(\triangle ABC\) 中的角 \(B\) 的平分线。则有：\(BD\)\(=\)\(\cfrac{2ac\cos\cfrac{B}{2}}{a+c}\) .

仿上式引申：若 \(\angle A\) 和 \(\angle C\) 的平分线分别为 \(AE\) 和 \(CF\)，则 \(AE\)\(=\)\(\cfrac{2bc\cos\cfrac{A}{2}}{b+c}\)，\(CF\)\(=\)\(\cfrac{2ab\cos\cfrac{C}{2}}{a+b}\) .

❺ 高线长度：\(\triangle ABC\) 三边分别为 \(a\)、\(b\)、\(c\)，对应边上的高分别为：\(h_a\)(指 \(a\) 边上的高)、\(h_b\)、\(h_c\)；

其一由面积直接得 \(h_a\)\(=\)\(\dfrac{2S}{a}\)、\(h_b\)\(=\)\(\dfrac{2S}{b}\)、\(h_c\)\(=\)\(\dfrac{2S}{c}\)；

其二由海伦公式 \(S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\) 结合高线得 \(h_a\)\(=\)\(\dfrac{2S}{a}\)，\(h_b\)\(=\)\(\dfrac{2S}{b}\)，\(h_c\)\(=\)\(\dfrac{2S}{c}\)；

其三用两边及夹角正弦得 \(h_a\)\(=\)\(b\sin C\)\(=\)\(c\sin B\)、\(h_b\)\(=\)\(a\sin C\)\(=\)\(c\sin A\)、\(h_c\)\(=\)\(a\sin B\)\(=\)\(b\sin A\)；

其四直角三角形高线(特殊) 若 \(\angle C\)\(=\)\(90^{\circ}\)，斜边上高 \(h_c\)：则 \(h_c\)\(=\)\(\dfrac{ab}{c}\)，且满足：\(\dfrac{1}{h_a^2}\)\(+\)\(\dfrac{1}{h_b^2}\)\(=\)\(\dfrac{1}{h_c^2}\)^[1]；

其五用外接圆半径 \(R\) 得 \(h_a\)\(=\)\(\dfrac{bc}{2R}\)、\(h_b\)\(=\)\(\dfrac{ac}{2R}\)、\(h_c\)\(=\)\(\dfrac{ab}{2R}\)；

其六用内切圆半径 \(r\) 得 \(\cfrac{1}{h_a}+\cfrac{1}{h_b}+\cfrac{1}{h_c}=\cfrac{1}{r}\) ^[2]；

❻ 内切圆半径 \(r\) 长度

其一 \(r=\cfrac{S}{p}\) ；

其二 海伦公式形式 \(r=\sqrt{\cfrac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}\)；

其三 用高表示 \(\cfrac{1}{r}=\cfrac{1}{h_a}+\cfrac{1}{h_b}+\cfrac{1}{h_c}\)

其四 直角三角形(其中 \(\angle C\)\(=\)\(90^{\circ}\)) \(r=\cfrac{a+b-c}{2}\)

❼ 外接圆半径 \(R\) 长度

其一 正弦定理形式 \(R=\cfrac{a}{2\sin A}=\cfrac{b}{2\sin B}=\cfrac{c}{2\sin C}\)

其二 用面积和边长 \(R=\cfrac{abc}{4S}\)

其三 直角三角形 (其中 \(\angle C\)\(=\)\(90^{\circ}\)) \(R=\cfrac{c}{2}\)

❽ \(R\) 与 \(r\) 的关系

欧拉公式（了解即可）：\(d^2=R^2-2Rr\)，\(d\) 是内外圆心距离。

各种角的度量

❶ 三角形内角：用余弦定理 \(\cos A=\cfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)，\(\cos B=\cfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\)，\(\cos C=\cfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)，

❷ 三角形内角和定理，三角形外角和定理，

❸ 相关概念：内角、外角、锐角、直角、钝角、锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形、余角、补角；

三角形的边角互化

❶ \(a=2R\sin A\)， \(b=2R\sin B\)， \(c=2R\sin C\)，

❷ \(\sin A:\sin B:\sin C=a:b:c\)

❸ \(a\sin B=b\sin A\)，\(a\sin C=c\sin A\)，\(b\sin C=c\sin B\)，

面积公式

❶ \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cdot a\cdot h_a\)；小学数学中的内容，

❷ \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}ab\sin C=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}ca\sin B\)；

❸ \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}(a+b+c)\cdot r\)，其中 \(r\) 为内切圆的半径；高中的内容

❹ \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{abc}{4R}\)，其中\(R\)为外接圆的半径；高中的内容

❺ \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cfrac{a^2\cdot\sin B\cdot\sin C}{\sin A}\) ，此公式的相关推论：

涉及两角及一夹边：\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cfrac{a^2\cdot\sin B\cdot\sin C}{\sin(B+C)}\) ；

涉及两角及一邻边：\(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\cfrac{a^2\cdot\sin(A+B)\cdot\sin B}{\sin A}\) ；

❻ 点的坐标表示三角形的面积，设 \(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，\(C(x_3,y_3)\)，则 \(S_{\triangle ABC}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\)\(\bigg|\)\((x_1y_2+x_2y_3+x_3y_1)\)\(-\)\((y_1x_2+y_2x_3+y_3x_1)\)\(\bigg|\)；

❼ 向量坐标表示三角形的面积，设 \(\overrightarrow{AB}=(x_1,y_1)\)， \(\overrightarrow{AC}=(x_2,y_2)\)，则 \(S_{\triangle ABC}=\cfrac{1}{2}\bigg|x_1y_2-x_2y_1\bigg|\)；

❽ 求解策略，如 \(S_{\triangle ABC}=S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}+S_{\triangle AOB}\)，比如用割补法，初高中内容

❾ 【海伦公式】\(S_{\triangle ABC}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\)，其中\(p=\cfrac{1}{2}(a+b+c)\)，

❿ 【三斜求积公式】 \(S_{\triangle ABC}\)\(=\)\(\sqrt{\cfrac{1}{4}\bigg[a^{2}\times b^{2}-(\cfrac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2})^{2}\bigg]}\) .

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1. 由于 \(\angle C\)\(=\)\(90^{\circ}\)，斜边上高 \(h_c\)，\(h_{b}=a\)，\(h_{a}=b\)，则 \(\dfrac{1}{h_a^2}+\dfrac{1}{h_b^2}\)\(=\)\(\dfrac{1}{b^2}\)\(+\)\(\dfrac{1}{a^2}\)\(=\)\(\dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\)\(=\)\(\dfrac{c^2}{a^2b^2}\)，\(\dfrac{1}{h_c^2}=\dfrac{c^2}{a^2b^2}\)，故 \(\dfrac{1}{h_a^2}\)\(+\)\(\dfrac{1}{h_b^2}\)\(=\)\(\dfrac{1}{h_c^2}\) . ↩︎

2. 由于 \(\cfrac{1}{h_a}\)\(+\)\(\cfrac{1}{h_b}\)\(+\)\(\cfrac{1}{h_c}\)\(=\)\(\cfrac{a}{2S}\)\(+\)\(\cfrac{b}{2S}\)\(+\)\(\cfrac{c}{2S}\)\(=\)\(\cfrac{2p}{2S}\)\(=\)\(\cfrac{p}{S}\)\(=\)\(\cfrac{1}{r}\)，
   故 \(\cfrac{1}{h_a}+\cfrac{1}{h_b}+\cfrac{1}{h_c}=\cfrac{1}{r}\) ↩︎