正余弦函数的泰勒展开式

前情概要

以前对泰勒展开式的理解模模糊糊，在用 Desmos 求解现行高中数学教材上的某个探索类题目时，有点豁然开朗的感觉。另外，感觉现行的高中数学教材对学生的要求高多了，只是好多师生忙于高考备考，而无暇深入探究。

案例剖析

【人教2019 A 版教材 \(P_{256}\) 复习参考题5 拓广探索第26题】英国数学家泰勒给出如下公式：

\(\sin x\)\(=\)\(x\)\(-\)\(\cfrac{x^3}{3!}\)\(+\)\(\cfrac{x^5}{5!}\)\(-\)\(\cfrac{x^7}{7!}\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(x\)\(-\)\(\sum\limits_{k=1}^n\)\((-1)^{k+1}\cdot\)\(\cfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\)

\(\cos x\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{x^2}{2!}\)\(+\)\(\cfrac{x^4}{4!}\)\(-\)\(\cfrac{x^6}{6!}\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\sum\limits_{k=1}^n\)\((-1)^{k+1}\cdot\)\(\cfrac{x^{2k}}{(2k)!}\)

其中 \(n!\) \(=\) \(1\)\(\times\)\(2\)\(\times\)\(3\)\(\times\)\(4\)\(\times\)\(\cdots\) \(\times\) \(n\) . 上述表达式的最后式子为静雅斋添加 .

这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性。比如，用前三项计算 \(\cos\)\(0.3\)，就得到 \(\cos\)\(0.3\)\(\approx\)\(1\)\(-\)\(\cfrac{0.3^2}{2!}\)\(+\)\(\cfrac{0.3^4}{4!}\)\(=\)\(0.9553375\)，试用你的计算工具计算 \(\cos 0.3\)，并与上述结果比较。

解析：为便于表述，我们令 \(f(x)\)\(=\)\(\cos\)\(x\)，\(g(x)\)\(=\)\(1\)\(-\)\(\sum\limits_{k=1}^n\)\((-1)^{k+1}\cdot\)\(\cfrac{x^{2k}}{(2k)!}\)，

这样便于我们利用电脑验证：

① 从特殊值比对验证： \(f(0.3)\approx 0.955336489126\)；当 \(n=2\) 时，\(g(0.3)=\approx 0.9553375\)，差异数位出现在 \(10^{-6}\) 位 .

② 从图像上直观的感受一下，拖动滑块，当 \(n\) 的值逐步变大时，你会发现，函数 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 完美无缺的重合了，到这一刻，我才算真正和体会到泰勒展开式到底是个啥东东了。在数学上，我们将函数 \(g(x)\) 称为余弦函数的泰勒展开式 .

电脑验证1

$\cos x$$=$$1$$-$$\cfrac{x^2}{2!}$$+$$\cfrac{x^4}{4!}$$-$$\cfrac{x^6}{6!}$$+$$\cdots$$=$$1$$-$$\sum\limits_{k=1}^n$$(-1)^{k+1}\cdot$$\cfrac{x^{2k}}{(2k)!}$

注意：下述嵌入的课件的左侧边栏可以自行编辑。

电脑验证2

\(\sin x\)\(=\)\(x\)\(-\)\(\cfrac{x^3}{3!}\)\(+\)\(\cfrac{x^5}{5!}\)\(-\)\(\cfrac{x^7}{7!}\)\(+\)\(\cdots\)\(=\)\(x\)\(-\)\(\sum\limits_{k=1}^n\)\((-1)^{k+1}\cdot\)\(\cfrac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}\)

相关引申

以下为带佩亚诺余项的常用展开，收敛域标注于后，这个还是 AI 查询后得到的，纯粹为了炫耀和卖弄用的，大学学过的内容都忘光了，还给老师了。不过你要是会用 Desmos ，也可以从形的角度体会下这句话：泰勒展开式的核心是用多项式逼近光滑函数，将函数在某点 x0​ 展开为幂级数，其本质是在局部用更高阶的导数 “拼接” 出函数的形状。

指数函数的展开式：\(e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\cfrac{x^n}{n!}=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\cdots+ \cfrac{x^n}{n!}+o(x^n)\)，\(x\in\mathbb{R}\)

自然对数函数的展开式：\(\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\cfrac{x^n}{n}=x-\cfrac{x^2}{2}+\cfrac{x^3}{3}-\cdots+ (-1)^{n-1}\cfrac{x^n}{n}+o(x^n)\)，\(x\in(-1,1]\)

幂函数的展开式：\((1+x)^\alpha=1+\alpha x+\cfrac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+ \cfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\)，\(x\in(-1,1)\)（\(\alpha\) 为任意实数）