高中数学中具有对称中心的函数研究整理

前情概要

将高中数学中具有对称中心的函数加以整理，并尝试验证和拓展。

函数研究

函数 \(h(x)=\dfrac{9}{9^x+9}\)，由于满足 \(h(x)+h(2-x)=1\) ，故其对称中心为 \((1,\cfrac{1}{2})\)

验证：从数的角度验证，\(h(x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^x+9}\)，\(h(2-x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^{2-x}+9}\)，

则有 \(h(2-x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^{2-x}+9}\)\(=\)\(\dfrac{9\cdot 9^x}{(9^{2-x}+9)\cdot 9^x}\)\(=\)\(\dfrac{9\cdot 9^x}{9^{2}+9^{x+1}}\)\(=\)\(\dfrac{9^x}{9^{x}+9}\)，

所以，\(h(x)+h(2-x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^{x}+9}\)\(+\)\(\dfrac{9^x}{9^{x}+9}\)\(=\)\(1\) .

❶ 如何确定是否中心对称？通过验证 \(h(x)+h(2-x)\mathop{\Longrightarrow}\limits^{?}1(或其他常数)\)，则对称中心横坐标 \(x_0\)\(=\)\(\cfrac{x+(2-x)}{2}\)\(=\)\(1\)，对称中心纵坐标 \(y_0\)\(=\)\(\cfrac{h(x)+h(2-x)}{2}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\) .

❷ 如何想到是否中心对称？研究函数的性质，定义域为 \((-\infty,+\infty)\)，单调递减，\(0<\dfrac{9}{9^{x}+9}<1\)，函数的图像应该是夹在两条平行直线 \(y=0\) 和 \(y=1\) 之间的一条单调递减的曲线，故猜想，可能是中心对称图形。

❸ 如何确定应该是 \(h(2-x)\) ，而不是 \(h(1-x)\) 或 \(h(3-x)\)，可以用 \(h(x)+h(m-x)\mathop{\Longrightarrow}\limits^{?}常数\)，来确定 \(m\) 的取值。比如，\(h(x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^x+9}\)，而 \(h(m-x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^{m-x}+9}\)\(=\)\(\dfrac{9\cdot 9^x}{(9^{m-x}+9)\cdot 9^x}\)\(=\)\(\dfrac{9\cdot 9^x}{9^{m}+9^{x+1}}\)\(=\)\(\dfrac{9^{x+1}}{9^{m}+9^{x+1}}\)，对照 \(h(x)+h(m-x)\mathop{\Longrightarrow}常数\)，猜测验证后 \(m=2\) .

❹ 当然，以上的内容都是我们后续深入研究后得到的，为降低难度，在具体题目中，可能会让你先计算 \(h(2-x)\)，更直接的是让你计算 \(h(x)+h(2-x)\mathop{\Longrightarrow}\limits^{?}常数\)，剩下的找对称中心，就看你的数学素养和造化了。

❺ 可以拓展到当 \(m\in N_{+}\) 时，\(h(x)\)\(=\)\(\dfrac{m}{m^x+m}\)\(=\)\(\dfrac{1}{m^{x-1}+1}\)，对称中心也是 \((1,\cfrac{1}{2})\) .

❻ 如何用电脑探究？我依托的是 Desmos 软件，在软件界面的左侧边栏第一行先输入 \(h(x)\)\(=\)\(\dfrac{9}{9^x+9}\)，第二行输入 \(h(x)\)\(+\)\(h(2-x)\) ，如果其和为定值 \(1\)，则绘图区会出现 \(y=1\) 这条直线。注意第二行不能输入 \(h(x)\)\(+\)\(h(2-x)=1\)，否则会报错。顺便说一句，将 \(9\) 换成其他数字，比如 \(6\)，你也能看到其对称性。

❼ 如果能说明 \(g(x)=h(x+1)-\cfrac{1}{2}\) 为奇函数，则也能说明 \(h(x)\) 的对称中心是 \((1,\cfrac{1}{2})\)，具体原理请参阅 如何求函数的对称中心和对称轴 | 探究拓宽 .

具体变形如下：\(g(x)\)\(=\)\(h(x+1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{9}{9^{x+1}+9}\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)， 则 \(g(-x)\)\(=\)\(h(-x+1)\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)\(=\)\(\cfrac{9}{9^{-x+1}+9}\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)，

则 \(g(x)+g(-x)\)\(=\)\(\cfrac{9}{9^{x+1}+9}\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}+\)\(\cfrac{9}{9^{-x+1}+9}\)\(-\)\(\cfrac{1}{2}\)

\(=\)\(\cfrac{9}{9^{x+1}+9}\)\(+\)\(\cfrac{9\cdot 9^x}{(9^{-x+1}+9)\cdot 9^x}\)\(-\)\(1\)

\(=\)\(\cfrac{9}{9^{x+1}+9}\)\(+\)\(\cfrac{9^{x+1}}{9^{x+1}+9}\)\(-\)\(1\) \(=1-1=0\)

即函数 \(g(x)\) 为奇函数，故函数 \(h(x)\) 的对称中心为 \((1,\cfrac{1}{2})\) .

相关练习

函数 \(h(x)=\dfrac{3}{9^x+3}\)， 满足 \(h(x)+h(1-x)=1\)，则对称中心 \((\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2})\) .

提示：已验证，仿上述思路和方法完成。

函数 \(f(x)=\dfrac{x}{1+x^2}\)，奇函数， 满足 \(f(x)+f(-x)=0\)，对称中心 \((0,0)\) .

提示：已验证，仿上述思路和方法完成。

函数 \(g(x)=\dfrac{4^x}{4^x+2}\)，满足 \(g(x)+g(1-x)=1\)，对称中心 \((\cfrac{1}{2},\cfrac{1}{2})\) .

提示：已验证，仿上述思路和方法完成。

函数 \(k(x)=x+\sin\pi x-3\)，\(k(x)+k(2-x)=-4\)，对称中心 \((1,-2)\)、\((2,-1)\)、\((3,0)\)、\((4,1)\) 等 .

提示：已验证，仿上述思路和方法完成。

典例剖析

【函数性质的应用】定义在 \(R\) 上的函数满足 \(f(\cfrac{1}{2}+x)\)\(+\)\(f(\cfrac{1}{2}-x)\)\(=\)\(2\)，求值：\(S\)\(=\)\(f(\cfrac{1}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{2}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{3}{8})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f(\cfrac{7}{8})\) ．

解：由于 \(S\)\(=\)\(f(\cfrac{1}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{2}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{3}{8})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f(\cfrac{7}{8})①\)．

又由于 \(S\)\(=\)\(f(\cfrac{7}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{6}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{5}{8})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f(\cfrac{1}{8})②\) [倒序书写]．

结合已知可知，\(f(\cfrac{1}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{7}{8})=2\)，\(f(\cfrac{2}{8})\)\(+\)\(f(\cfrac{6}{8})=2\)，\(\cdots\)，

①+②求和，得到 \(2S=14\)，即得到 \(S=7\) .

【学生练习题】已知函数 \(f(x)=\cfrac{3}{9^{x}+3}\).

(1). 求 \(f(1)+f(0)=\)______________; \(f(x)+f(1-x)=\)_____________;

解析： \(f(x)=\cfrac{3}{9^{x}+3}\)，所以 \(f(1)+f(0)=\cfrac{3}{9+3}+\cfrac{3}{1+3}=1\)，

\(f(x)+f(1-x)=\cfrac{3}{9^{x}+3}+\cfrac{3}{9^{1-x}+3}\)

\(=\cfrac{3}{9^{x}+3}+\cfrac{3\cdot9^{x}}{(9^{1-x}+3)\cdot 9^{x}}\)

\(=\cfrac{3}{9^{x}+3}+\cfrac{9^{x}}{3+9^{x}}=1\)，

(2). 记 \(S_{m}=f(\cfrac{1}{m})+f(\cfrac{2}{m})+\cdots+f(\cfrac{m-1}{m})+f(\cfrac{m}{m})\)， 求 \(S_{m}=\)__________.

解析： 可知 \(f(x)+f(1-x)=1\)， \(f(1)=\cfrac{1}{4}\)，

又 \(S_{m}=f(\cfrac{1}{m})+f(\cfrac{2}{m})+\cdots+f(\cfrac{m-1}{m})+f(\cfrac{m}{m})\)

即 \(S_{m}=f(\cfrac{m-1}{m})+f(\cfrac{m-2}{m})+\cdots+f(\cfrac{1}{m})+f(\cfrac{m}{m})\)，

两式相加得:

\(2 S_{m}=[f(\cfrac{1}{m})+f(\cfrac{m-1}{m})]+[f(\cfrac{2}{m})+f(\cfrac{m-2}{m})]+\cdots+[f(\cfrac{m-1}{m})+f(\cfrac{1}{m})]+2 f(1)\)

\(=m-1+\cfrac{1}{2}=m-\cfrac{1}{2}\)， 所以 $S_{m}=\cfrac{2 m-1}{4} $.

解后反思：本题主要考查数列的综合运用，涉及了倒序相加法，函数性质等知识，属于中档题。

已知函数\(f(x)=x\)\(+\)\(\sin\pi x-3\)，则\(f(\cfrac{1}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{2}{2017})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f(\cfrac{4032}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{4033}{2017})\)的值为______.

【观察】：注意到\(\cfrac{1}{2017}\)\(+\)\(\cfrac{4033}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cfrac{2}{2017}\)\(+\)\(\cfrac{4032}{2017}=\cfrac{4034}{2017}=2\)，\(\cdots\)，

【归纳】：以上诸多表达式，我们一般不会一一验证，如果我们用\(x\)和 \(2-x\)来代表上述不同表达式中的自变量，则到两端等距离的两项的函数值的和就可以归纳为\(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)\)，

【猜想】：是否对任意\(x\)，都满足\(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)=m\)(\(m\)为常数)？

【验证】：\(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)=x\)\(+\)\(sin\pi x-3\)\(+\)\((2-x)\)\(+\)\(sin\pi(2-x)-3\)\(=\)\(sin\pi x\)\(+\)\(sin(2\pi-\pi x)-4\)\(=\)\(sin\pi x-sin\pi x-4\)\(=\)\(-4\)，

【结论】：\(f(x)\)\(+\)\(f(2-x)\)\(=\)\(-4\)。

解析：故\(f(\cfrac{1}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{2}{2017})\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(f(\cfrac{4032}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{4033}{2017})\)

\(=\)\(\bigg[f(\cfrac{1}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{4033}{2017})\bigg]\)\(+\)\(\bigg[f(\cfrac{2}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{4032}{2017})\bigg]\)\(+\)\(\cdots\)\(+\)\(\bigg[f(\cfrac{2016}{2017})\)\(+\)\(f(\cfrac{2018}{2017})\bigg]\)\(+\)\(f(\cfrac{2017}{2017})\)

\(=\)\(2016\times(-4)\)\(+\)\(f(1)\)\(=\)\(-8064\)\(+\)\(1\)\(+\)\(0-3\)\(=\)\(-8066\)，故选\(D\)。