对称性策略

前情概要

在知乎上看到如下问题的解答过程，甚为喜欢，顿感知乎大神云集，能从中学习到好多东西。就大神提供的解题思路方法对开拓数学思维非常有帮助，故几乎整理了绝大多数如下，重复思路略过，大学数学中的几个方法略过。

同时，还想借助整个整理过程来验证能不能全部依托 AI 来完成 。同时在编辑格式的过程中，为便于各位理解，对相关步骤做了适当的拓展。 问题原解答出处

【典型案例】【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？

最终结论：\(x+y\) 的最大值为 \(2\sqrt{3}\)，最小值为 \(-2\sqrt{3}\)，即取值范围为 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\) .

引申：同时由我们研究过的线性表示，可以将以下的好多种解法思路，拓展到求解 \(ax+by\)(\(a\in R\)、\(b\in R\)) 的取值范围 .

对称性思维

对称性的几何本质(曲线特征)：原方程 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=\) \(3\) 表示一个中心对称且轴对称的二次曲线(椭圆)，其对称特征如下：注意，从此方程的代数形式可以看出来，该图形一定是中心对称图形，且是轴对称图形。

中心对称：此图形关于原点 \((0,0)\) 对称。判断依据：若点 \((x_0,y_0)\) 在曲线上，则点 \((-y_0,-x_0)\) 也在曲线上。

轴对称：

关于直线 \(y=x\) 对称 (轮换对称的几何体现，判断依据：方程中 \(x\) 与 \(y\) 相互替换后，方程形式不变)；

关于直线 \(y=-x\) 对称 (方程中 \(x\) 替换为 \(-y\)、\(y\) 替换为 \(-x\)，方程形式不变)。

对称轴与目标函数的关系：目标函数 \(x+y=k\) 是一组斜率为 \(-1\) 的平行直线，其方向恰好与椭圆的对称轴 \(y=-x\) 垂直。根据几何对称性，当直线 \(x+y=k\) 与椭圆相切时，切点必落在对称轴 \(y=x\) 上，即 \(x=y\)。

解法赏析

解法⓱：【知乎踢歪提供思路】对称性思考 + 偏移量构造，我们发现，等式中的 \(x\) 与 \(y\) 的值都是对称分布的， 然后有没有一种可能，当两者相等的时候，取得最大值或最小值。这个思路有点意思。

令 \(x\) 与 \(y\) 的平均值为 \(r\)， \(x\)、\(y\) 与平均值的差值为偏移量为 \(c\)，

故: \(x=r+c\)，\(y=r-c\)，\(x+y\)\(=\)\(2r\) ^[1]，

原等式可化为: \((r+c)^2\) \(+\) \((r-c)^2\) \(-\) \((r+c)(r-c)\) \(=\) \(3\)，

即 \(r^2\) \(+\) \(3c^2\) \(=\) \(3\)，即 \(r^2=3-3c^2\leq 3\)，即 \((\cfrac{x+y}{2})^2\leq 3\)，

故: \((x+y)^2 \le 12\)，则有 \(-2\sqrt{3} \le x+y \le 2\sqrt{3}\)

取等条件：偏移量 \(c=0\) 时，\(r^2\) 取得最大值 \(3\)，对应 \(x=y\)，此时 \(x+y=2r\) 取得最值 \(\pm 2\sqrt{3}\)。

解法⓲：【知乎踢歪提供思路】对称性思考 + 线性规划

几何直观：曲线 \(x^2 + y^2 - xy = 3\) 关于 \(y=x\) 对称，目标函数 \(x+y\) 的几何意义是直线在 \(y\) 轴上的截距。

对称切点性质：由于曲线对称，最值点 (切点) 必然关于 \(y=x\) 对称或直接落在 \(y=x\) 上。

联立 \(y=x\) 与 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，得 \(x^2+x^2-x^2=3\)，即 \(x^2=3\)， 也即 \(x=y=\pm\sqrt{3}\)，

即 \(x+y=\pm 2\sqrt{3}\)。

引申思考

对称性解题的通用模型的引申思考(拓展至 \(ax+by\) 型)，针对约束条件形如 \(Ax^2\) \(+\) \(Bxy\) \(+\) \(Cy^2\) \(=\) \(D\)，则约束条件满足轮换对称的特点，此时求目标式 \(ax+by\) 最值的问题：

① 若目标式满足轮换对称的特点，则 \(x=y\) 必为最值点且最值点必为切点；可将 \(y=x\) 代入原方程式求解切点；

② 若目标式不满足轮换对称的特点，则 \(ax+by\) 的最值和 \(bx+ay\) 的最值相等。通过下面的例子体会。

【对称性拓展】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=\) \(3\)， ① 求：\(3x\) \(+\) \(y\) 的最值；② 求 \(x\) \(+\) \(3y\) 的最值。

提示：虽然目标函数 \(3x\) \(+\) \(y\)、\(x\) \(+\) \(3y\) 不是对称式，但原方程 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=\) \(3\) 是轮换对称式，故可结合几何对称性分析切点位置。

注：上述课件中，用 \(3x+y\)\(=\)\(t\) 来验证有个矛盾，待解决。后来通过邮件咨询美国人，说是近似值的影响。 \(3A.x\)\(+A.y\)\(\approx\)\(7.1999\)，后来给了个解决方案，用 \(3x+y=t*2\sqrt{12}\)，\(t\in[-2,2]\)，才避免了近似值的影响。

解：用判别式法求解的结果如下，两个切点坐标关于直线 \(y=x\) 对称，暂记录：

\((3x+y)_{max}=2\sqrt{13}\)，切点 \((\cfrac{7\sqrt{13}}{13}，\cfrac{5\sqrt{13}}{13})\)；\((3x+y)_{min}=-2\sqrt{13}\)，切点 \((-\cfrac{7\sqrt{13}}{13}，-\cfrac{5\sqrt{13}}{13})\)；

\((x+3y)_{max}=2\sqrt{13}\)，切点 \((\cfrac{5\sqrt{13}}{13}，\cfrac{7\sqrt{13}}{13})\)；\((3x+y)_{min}=-2\sqrt{13}\)，切点 \((-\cfrac{5\sqrt{13}}{13}，-\cfrac{7\sqrt{13}}{13})\)；

相关补充

对称结构专用均值换元 其核心原理：当变量满足和为定值( \(a+b=m\) )时，设 \(a=\cfrac{m}{2}+t\)，\(b=\cfrac{m}{2}-t\)，利用对称性消元，简化计算。

适用场景：对称不等式证明( 如 \(a+b=1\) 求 \(ab\) 最值 )；对称方程求解( 如 \(x+y=5\) 且 \(x^2+y^2=13\) )；均值不等式应用( 和定积最大、积定和最小 )；

【豆包提供例题，已人工验证】 已知 \(a>0\)，\(b>0\)，\(a+b=4\)，求 \(a^2+b^2\) 的最小值。

解：设 \(a=2+t\)，\(b=2-t\) ( \(t\in(-2,2)\) )，

则 \(a^2+b^2\)\(=\)\((2+t)^2+(2-t)^2\)\(=\)\(8+2t^2\)，

当 \(t=0\) 时，最小值为 \(8\)。

拓展：【多元均值换元】若 \(a+b+c=m\)，可设 \(a\)\(=\)\(\cfrac{m}{3}+t_1\)，\(b\)\(=\)\(\cfrac{m}{3}+t_2\)，\(c\)\(=\)\(\cfrac{m}{3}-t_1-t_2\)，适用于三元对称问题。

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1. 此处当然也可以设为 \(x=r-c\)，\(y=r+c\)，则 \(x+y\)\(=\)\(2r\) ↩︎