某典例中的换元法多角度使用赏析

前情概要

从知乎问答中收集了某个二元二次条件下的线性式最值问题，知乎大神们思路大开，让我们对换元思路的多向发散佩服的五体投地，现将20多种解法中涉及到的换元法做个整理，以供各位学子体会、玩味、揣摩、赏析，并尝试内化为自己的换元素养。

涉及到的其他的解题思路过程，可以参考以下两篇：

• 二元二次条件下的线性式最值问题的 20 + 种解法(上)

• 二元二次条件下的线性式最值问题的20+种解法(下)

典型案例

【问题来自知乎问答】已知 \(x^2\) \(+\) \(y^2\) \(-\) \(xy\) \(=3\)，如何求 \(x\) \(+\) \(y\) 的最小值和最大值？

换元法❶：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法1】三角换元法，这个解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，但是换元思路在高中阶段非常少见。

配方，将原等式整理为 \((x-y)^2+xy=3\) ^[1]

三角换元：令\(x-y=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(xy=3\sin^2\theta\)，

推导\((x+y)^2\)：利用完全平方公式展开，

\((x+y)^2=(x-y)^2+4xy\)，代入换元式得：

\((x+y)^2=3\cos^2\theta+12\sin^2\theta=3+9\sin^2\theta\)

确定取值范围：由\(\sin^2\theta\in[0,1]\)，可得 \(3+9\sin^2\theta\leq12\)，即 \((x+y)^2\leq12\)

开方得到，\(-2\sqrt{3}\leq x+y \leq2\sqrt{3}\)，

因此 \(x+y\) 的最大值为\(2\sqrt{3}\)，最小值为\(-2\sqrt{3}\)。

换元法❷：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法2】标准三角换元法，高中基础解法[考试必拿分]，这类解法思路常规、步骤易懂，适配高考、期中期末等应试场景，无超纲知识点，干净利落，但是配方的过程比较复杂。

核心思路：将约束式配方为椭圆标准型，利用三角恒等式换元，转化为三角函数值域问题。

对约束式配方：\(\left(x-\cfrac{y}{2}\right)^2\)\(+\)\(\left(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y\right)^2\)\(=\)\(3\) ^[2]

三角换元：令 \(x-\cfrac{y}{2}=\sqrt{3}\cos\theta\)，\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}y=\sqrt{3}\sin\theta\)；

解出 \(x=\sqrt{3}\cos\theta+\sin\theta\)，\(y=2\sin\theta\)；

合并 \(x+y=3\sin\theta+\sqrt{3}\cos\theta=2\sqrt{3}\sin(\theta+\varphi)\)（辅助角公式）；

由正弦函数值域 \([-1,1]\)，得 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

换元法❸：【艾劳曼斯同学提供思路，换元系列解法-解法3】线性换元法[整体消元]，高中技巧解法 [知友原创·秒杀速解]，适配小题秒杀、快速验算，思路巧妙，考场节省时间。

设 \(x=a+b\)，\(y=a-b\) [对称换元，消去交叉项，网上有人也称这个换元法为和差换元法]；

代入约束式化简：\(a^2+3b^2=3\)；由 \(a^2=3-3b^2 \leq 3\)，得 \(a \in [-\sqrt{3},\sqrt{3}]\)；

由于 \(x+y=2a\)，故 \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)。

点评：这个解法的好处是，通过对 \(x\)、\(y\) 的线性变换，代回原式后发现 \(ab\) 项被消去了，可以简化原等式 .

换元法❹：【知乎踢歪提供思路】整体构造换元法 + 椭圆模型，这个解法包含了斜椭圆变形为标准椭圆的方法。

令: \(x+y=m①\)，\(x-y=n②\)，由于: \((x+y)^2\)\(=\)\(x^2+y^2+2xy\)，\((x-y)^2\)\(=\)\(x^2+y^2-2xy\)

故:\(x^2+y^2\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\left(m^2+n^2\right)\)，\(xy\)\(=\)\(\cfrac{1}{4}\left(m^2-n^2\right)\)

故原等式可化作: \(\cfrac{m^2}{12}\)\(+\)\(\cfrac{n^2}{4}\)\(=\)\(1\)，

显然为椭圆， 所以有 \(-2\sqrt{3}\)\(\le\)\(m\)\(=x+y\)\(\le\)\(2\sqrt{3}\)

\(m\) 取到最值时， \(n\) 等于 \(0\) ， 联立①、②两方程可解 \(x\)、\(y\) 的具体取值。

换元法❺：【知乎踢歪提供思路】极坐标换元 + 三角变换，没想到极坐标方法求解还这样顺畅。

令: \(x\)\(=\)\(\rho\cos\theta\) 、\(y\)\(=\)\(\rho\sin\theta\)，原等式可化作: \(\rho^2\left(1-\cos\theta\sin\theta\right)=3\)

则 \((x+y)^2\)\(=\)\(\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)\)

\(=\)\(\cfrac{3\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)}{3}\)

\(=\cfrac{3\rho^2\left(1+2\cos\theta\sin\theta\right)}{\rho^2\left(1-\cos\theta\sin\theta\right)}\)

\(=\)\(\cfrac{3(1+2\cos\theta\sin\theta)}{1-\cos\theta\sin\theta}\) \(=\cfrac{6(1+2\cos\theta\sin\theta)}{2-2\cos\theta\sin\theta}\)

\(=6\left(\cfrac{\sin2\theta-2+3}{2-\sin2\theta}\right)\)\(=6\left(\cfrac{3}{2-\sin2\theta}-1\right)\)

\(-1 \le \sin2\theta \le 1\),

故: \((x+y)^2 \le 12\)，则有 \(-2\sqrt{3} \le x+y \le 2\sqrt{3}\)

不难知道， 当 \(x=y\) 时取得最值。

换元法❻：【知乎踢歪提供思路】对称性思考 + 偏移量构造，我们发现，等式中的 \(x\) 与 \(y\) 的值都是对称分布的， 然后有没有一种可能，当两者相等的时候，取得最大值或最小值。这个思路有点意思。

令 \(x\) 与 \(y\) 的平均值为 \(r\)， \(x\)、\(y\) 与平均值的差值为偏移量为 \(c\)，

故: \(x=r+c\)，\(y=r-c\)，\(x+y\)\(=\)\(2r\) ^[3]，

原等式可化为: \((r+c)^2\)\(+\)\((r-c)^2\)\(-\)\((r+c)(r-c)\)\(=\)\(3\)，

即 \(r^2\)\(+\)\(3c^2\)\(=\)\(3\)，即 \(r^2=3-3c^2\leq 3\)，即 \((\cfrac{x+y}{2})^2\leq 3\)，

故: \((x+y)^2 \le 12\)，则有 \(-2\sqrt{3} \le x+y \le 2\sqrt{3}\)

换元法❼：【知乎白公子提供思路】三角换元法，这个换元法对学生来说太突兀了。

令 \(\begin{cases}x=\sqrt{3}\sin\alpha+\cos\alpha\\y=\sqrt{3}\sin\alpha-\cos\alpha\end{cases}\)，这一换元的依据和思路来源，具体可以参照解法㉔的说明；

因此，\(x+y= 2\sqrt{3}\sin\alpha \in [-2\sqrt{3}, 2\sqrt{3}]\)

换元法❽：【知乎我执提供思路】待定系数法+三角换元法，三角换元法的本质在于三角函数中有: \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)， 也就是通过构造平方和等于1建立起与三角函数的关系，从而最终利用三角函数的有界性得到最值的范围。

不妨设 \(a(x+y)^2+b(x-y)^2=x^2+y^2-xy\)，可解得: \(a=\cfrac{1}{4}\)， \(b=\cfrac{3}{4}\)，

那么原式即为: \(\cfrac{1}{4}(x+y)^2\) \(+\) \(\cfrac{3}{4}(x-y)^2=3\)，

故将上式变为: \((x+y)^2+3(x-y)^2=12\)，考虑到： \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，

将上式再次变形为 \((\cfrac{x+y}{\sqrt{12}})^2+(\cfrac{x-y}{2})^2=1\)

则有 \(\sin\theta=\cfrac{x+y}{2\sqrt{3}}\)，\(\cos\theta=\cfrac{1}{2}(x-y)\)

即 \(x+y=2\sqrt{3}\sin\theta\)，\(x-y=2\cos\theta\)，

解关于 \(x\)、\(y\) 的方程得到

则 \(x=\sqrt{3}\sin\theta+\cos\theta\)，\(y=\sqrt{3}\sin\theta-\cos\theta\)

于是: \(x+y=2\sqrt{3}\sin\theta\)，

由于 \(\theta\) 是任意角， 所以 \(\sin\theta \in [-1,1]\)，进而得到: \(x+y \in [-2\sqrt{3},2\sqrt{3}]\)

评注: 三角换元法主要运用了 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\)，所以在处理约束条件为平方项的问题时较为方便，若在约束条件中出现类似 \(xy\) 的项，则可以通过待定系数法构造出符合要求的式子。

感悟反思

仅仅一个换元法，都能完成这么多的花样，我怎么不行呢？

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1. 这个配方的方向，还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\) 来的，同时感觉换元的做法很大胆，思维很开阔。 ↩︎

2. 这个配方的方向，也还是比照着 \(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)，同时还有要消去 \(xy\)，把它涵盖在平方项下面。 ↩︎

3. 此处当然也可以设为 \(x=r-c\)，\(y=r+c\)，则 \(x+y\)\(=\)\(2r\) ↩︎