由一个三角函数求最值问题延伸开去

前情概要

网上看到的几个知乎网友提供的三角函数求最值思路，感觉很有意思，遂总结如下：

典例剖析

【来自知乎问答】已知：\(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\cos(\alpha+\beta)\) 的最小值。

法1️⃣：解答者知友 freeMaths，构造辅助等式，设 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)

将两式平方后相加，得到 \((2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta)^2\)\(+\)\((2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta)^2\)\(=\)\(3^2\)\(+\)\(m^2\)

整理，得到：\(4(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)\)\(+\)\(3(\cos^2\beta+\sin^2\beta)\)\(+\)\(4\sqrt{3}(\cos\alpha\cos\beta\)\(-\)\(sin\alpha\sin\beta)\)\(=\)\(9\)\(+\)\(m^2\)

即，\(7\)\(+\)\(4\sqrt{3}\cos(\alpha+\beta)\)\(=\)\(9\)\(+\)\(m^2\)

也即，\(\cos(\alpha+\beta)\)\(=\)\(\cfrac{2 + m^2}{4\sqrt{3}}\)，因为 \(m^2\geqslant 0\)，

所以\(\cos(\alpha+\beta)\)\(\ge\)\(\cfrac{2}{4\sqrt{3}}\)\(=\)\(\cfrac{1}{2\sqrt{3}}\)\(=\) \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)

故 \(\cos(\alpha+\beta)\) 的最小值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)。

① 本题目在构造了 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\) 两个式子同时平方再相加后，利用三角函数的平方关系，能巧妙的消除掉单独的项 \(\sin\alpha\)、\(\cos\alpha\)、\(\sin\beta\)、\(\cos\beta\)，剩下的自然就能朝 \(\cos(\alpha+\beta)\) 变形，且等式的另一端只含有一个参数的平方项，自然就能利用二次函数来求解最小值；
② 题目开篇必须有意识的构造 \(2\sin\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)，而不能构造 \(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=m\)，否则后边的变形就出现了 \(\cos(\alpha-\beta)\)，而不是题目要的 \(\cos(\alpha+\beta)\)；
③同样的思路可以处理类似题目如，已知：\(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\sin(\alpha+\beta)\) 的最小值。提示：构造\(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(m\)；
④同样的思路可以处理类似题目如，已知：\(2\cos\alpha\)\(-\)\(\sqrt{3}\sin\beta\)\(=\)\(3\)，求 \(\sin(\alpha-\beta)\) 的最小值。提示：构造\(2\sin\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos\beta\)\(=\)\(m\)；
⑤这种构造设元的思路很特别、很大胆，一次引入了三个未知量，到最后就剩下一个未知量 \(m\) 了，大多人的思路到此往往就因为难就怕了放弃了。

法2️⃣：解答者知友 予一人，变量代换 + 柯西不等式

令 \(x\)\(=\)\(\alpha\)\(+\)\(\beta\)，则 \(\beta\)\(=\)\(x\)\(-\)\(\alpha\)，代入原式得，\(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos(x-\alpha)\)\(=\)\(3\)

展开 \(\cos(x-\alpha)\)，得到 \(2\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}(\cos x\cos\alpha\)\(+\)\(\sin x\sin\alpha)\)\(=\)\(3\)，

即 \((2+\sqrt{3}\cos x)\)\(\cos\alpha\)\(+\)\(\sqrt{3}\sin x\)\(\sin\alpha\)\(=\)\(3\)，

由柯西不等式的变形式子，得到如下：

\(|(2+ \sqrt{3}\cos x)\cdot\cos\alpha + \sqrt{3}\sin x\cdot\sin\alpha| \le \sqrt{[(2+\sqrt{3}\cos x)^2 + (\sqrt{3}\sin x)^2](\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)}\)

当且仅当 \(\cfrac{2+\sqrt{3}\cos x}{\cos\alpha}=\cfrac{\sqrt{3}\sin x}{\sin\alpha}\) 时，即 \(2\sin\alpha=\sqrt{3}\sin(x-\alpha)\) 时取到等号；

即 \(3\le\sqrt{4+4\sqrt{3}\cos x+3\cos^2 x+3\sin^2x}\)，也即 \(3\le\sqrt{7+4\sqrt{3}\cos x}\)，

两边平方，得到 \(9\le7+4\sqrt{3}\cos x\)，则有 \(2\le4\sqrt{3}\cos x\)

即 \(\cos x\ge\cfrac{1}{2\sqrt{3}}=\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)

故 \(\cos(\alpha+\beta)\) 的最小值为 \(\cfrac{\sqrt{3}}{6}\)。

柯西不等式：\((ac+bd)^2\)\(\leq\)\((a^2+b^2)(c^2+d^2)\)，\(a\)，\(b\)，\(c\)，\(d\)\(\in\) \(R\)，当且仅当\(\cfrac{a}{c}\)\(=\)\(\cfrac{b}{d}\)时取到等号；两边开平方即得到其变形形式为 \(|ac+bd|\)\(\leq\)\(\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)

思路总结

结合高中学生的认知水平和考试中的实际使用频度，将三角函数求最值的高中阶段解题方法总结如下，供大家参考使用：

❶ 辅助角公式，高频核心方法，考试中最常出现，也叫合一变形或化一法。

适用场景：形如 \(a\sin x\)\(+\)\(b\cos x\) 的函数。

操作：将表达式转化为 \(A\sin(x+\phi)\) 或 \(A\cos(x+\phi)\) 的形式，直接利用正弦/余弦函数的有界性求最值。

例如：\(y\)\(=\)\(\sin x\)\(+\)\(\sqrt{3}\cos x\)\(=\)\(2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)\)，最大值为 \(2\)，最小值为 \(-2\)。

❷ 换元法，高频核心方法，考试中最常出现，代数化

适用场景：含 \(\sin x\)、\(\cos x\) 的多项式或分式函数。

操作：令 \(t\)\(=\)\(\sin x\)（或 \(\cos x\)），将问题转化为关于 \(t\) 的二次函数 \(y\)\(=\)\(at^2\)\(+\)\(bt\)\(+\)\(c\)（\(t\)\(\in\)\([-1,1]\)），再用二次函数的性质求最值。

例如：\(y\)\(=\)\(\sin^2x\)\(+\)\(\sin x\)\(+\)\(1\)，令 \(t\)\(=\)\(\sin x\)，则 \(y\)\(=\)\(t^2\)\(+\)\(t\)\(+\)\(1\)，在 \(t\)\(\in\)\([-1,1]\) 上的最值为 \(\cfrac{3}{4}\) 和 \(3\)。

❸ 数形结合法，高频核心方法，考试中最常出现，

适用场景：可转化为斜率、距离几何意义的表达式。

斜率型：如 \(y\)\(=\)\(\cfrac{\sin x - a}{\cos x - b}\)，可看作单位圆上的点 \((\cos x, \sin x)\) 与点 \((b, a)\) 连线的斜率。

距离型：如 \(y\)\(=\)\(\sqrt{(\cos x - a)^2+(\sin x - b)^2}\)，可看作单位圆上的点到点 \((a, b)\) 的距离。

❹ 利用三角函数有界性，高频核心方法，考试中最常出现，

适用场景：形如 \(y\)\(=\)\(A\sin(\omega x+\phi)\)\(+\)\(B\) 或 \(y\)\(=\)\(A\cos(\omega x+\phi)\)\(+\)\(B\) 的函数。

操作：直接根据 \(\sin\theta\), \(\cos\theta\)\(\in\)\([-1,1]\) 确定值域。

例如：\(y\)\(=\)\(3\sin(2x+\cfrac{\pi}{4})\)\(+\)\(1\)，最大值为 \(4\)，最小值为 \(-2\)。

❺ 导数法，中频常用技巧

适用场景：含三角函数的复杂函数（如 \(y\)\(=\)\(x\sin x\)、\(y\)\(=\)\(e^x\cos x\)），或无法用代数变形直接处理的函数。

操作：对函数求导，找到导数为零的点（极值点），再结合定义域比较端点和极值点的函数值，确定最值。

❻ 三角恒等变换，中频常用技巧

适用场景：含 \(\sin x\cos x\)、\(\sin^2x\)、\(\cos^2x\) 的函数。

操作：用二倍角公式、降幂公式等进行化简，转化为熟悉的形式再求最值。

例如：\(y\)\(=\)\(\sin x\)\(\cos x\)\(=\)\(\cfrac{1}{2}\sin 2x\)，最大值为 \(\cfrac{1}{2}\)，最小值为 \(-\cfrac{1}{2}\)。

❼ 均值不等式/基本不等式，中频常用技巧

适用场景：含 \(\sin x\) 与 \(\cos x\) 的乘积或和，且满足“一正二定三相等”条件的表达式。

例如：\(y\)\(=\)\(\sin^2x\)\(+\)\(\cfrac{4}{\sin^2x}\)（\(\sin x\)\(\neq\)\(0\)），由均值不等式得 \(y\geq 4\)，当且仅当 \(\sin^2x\)\(=\)\(2\) 时取等（但 \(\sin^2x\)\(\in\)\((0,1]\)，故需结合 \(y\)\(=\)\(t\)\(+\)\(\cfrac{4}{t}\) 的单调性求最小值为 \(5\)）。

❽ 切比雪夫多项式/泰勒展开（切线放缩），低频拓展技巧

适用场景：在特定区间内对三角函数进行近似放缩，从而求最值。

例如：在 \(x\)\(\in\)\([0,\cfrac{\pi}{2}]\) 时，\(\sin x\)\(\leq\)\(x\)，可用于放缩证明不等式。

❾ 复数模长法，低频拓展技巧

适用场景：涉及 \(\sin x\) 与 \(\cos x\) 的平方和或组合，可与复数模长联系的问题。

例如：\(y\)\(=\)\(a\sin x\)\(+\)\(b\cos x\) 可看作复数 \(b\)\(+\)\(ai\) 与 \(e^{ix}\) 乘积的虚部，其模长为 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)，即辅助角公式的几何意义。

应试经验技巧

❿ 摸鱼法（选填题快速取等）

适用场景：选择题、填空题中，可凭经验直接代入特殊角（如 \(0\), \(\cfrac{\pi}{2}\), \(\pi\)）或边界值验证，快速锁定答案。

⓫ “Notice that”观察法

适用场景：题目中存在特殊结构或对称性时，优先观察是否能通过简单变形或特殊值直接找到最值。

相关延伸

求三角函数的最值