极坐标参数方程不等式选讲考点关联速查表17-19

前情概要

此表格涉及到极坐标参数方程不等式选讲三个章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查17-19

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$J$ - 极坐标与参数方程 + 不等式选讲

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
极坐标与参数方程+不等式选讲	极坐标与参数方程	J-01-173	平面直角坐标系中的坐标伸缩变换	细目①坐标伸缩变换的定义；②横坐标伸缩变换；③纵坐标伸缩变换；④横纵坐标同时伸缩变换；⑤伸缩变换的逆变换	方法①伸缩变换公式：设点$P(x,y)$，经过变换$\begin{cases}x'=\lambda x(\lambda>0)\\y'=\mu y(\mu>0)\end{cases}$得到点$P'(x',y')$；②解题步骤：确定伸缩变换参数$\lambda,\mu$→代入变换公式→得到变换后的坐标或方程；③逆变换：由变换后的坐标反求原坐标，公式为$\begin{cases}x=\frac{1}{\lambda}x'\\y=\frac{1}{\mu}y'\end{cases}$	注意①$\lambda>1$时横坐标伸长，$0<\lambda<1$时横坐标缩短；②$\mu>1$时纵坐标伸长，$0<\mu<1$时纵坐标缩短；③伸缩变换是线性变换，不改变图形的形状类型，只改变大小；④伸缩变换的参数$\lambda,\mu$必须为正数；⑤变换公式中，$x'$与$x$，$y'$与$y$的对应关系不能混淆
		J-01-174	直线和圆的极坐标方程	细目①极坐标的定义；②直线的极坐标方程的常见形式；③圆的极坐标方程的常见形式；④特殊位置的直线和圆的极坐标方程；⑤极坐标方程的几何意义	方法①直线的极坐标方程：过极点且与极轴成$\alpha$角的直线：$\theta=\alpha$；过点$(a,0)$且垂直于极轴的直线：$\rho\cos\theta=a$；过点$(a,\frac{\pi}{2})$且平行于极轴的直线：$\rho\sin\theta=a$；②圆的极坐标方程：圆心在极点，半径为$r$的圆：$\rho=r$；圆心在$(a,0)$，半径为$a$的圆：$\rho=2a\cos\theta$；圆心在$(a,\frac{\pi}{2})$，半径为$a$的圆：$\rho=2a\sin\theta$；③解题步骤：确定图形的位置和大小→选择合适的极坐标方程形式→写出极坐标方程	注意①极坐标中，点的表示不唯一，$(\rho,\theta)$与$(\rho,\theta+2k\pi)$，$(-\rho,\theta+(2k+1)\pi)$（$k\in Z$）表示同一点；②直线的极坐标方程中，$\theta=\alpha$表示过极点的直线，不包括极点时需要注明$\rho>0$；③圆的极坐标方程中，要注意圆心的位置和半径的大小；④极坐标方程的几何意义要结合图形来理解；⑤同一条直线或同一个圆，可能有不同的极坐标方程形式
		J-01-175	极坐标方程与直角坐标方程的互化	细目①互化的前提条件；②互化的基本公式；③极坐标方程化为直角坐标方程；④直角坐标方程化为极坐标方程；⑤互化过程中的注意事项	方法①互化的前提条件：极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的$x$轴的正半轴重合，长度单位相同；②互化的基本公式：$x$$=$$\rho$$\cos$$\theta$，$y$$=$$\rho$$\sin$$\theta$，$\rho^2$$=$$x^2$$+$$y^2$，$\tan$$\theta$$=$$\frac{y}{x}(x\neq0)$；③极坐标方程化为直角坐标方程；④直角坐标方程化为极坐标方程；	注意①互化的前提条件必须满足，否则互化公式不成立；②极坐标方程化为直角坐标方程时，要注意$\rho$的取值范围，可能需要对直角坐标方程进行限制；③直角坐标方程化为极坐标方程时，要注意$\theta$的取值范围，可能需要对极坐标方程进行限制；④互化过程中，要注意化简的正确性，避免出现错误；⑤同一条曲线，其极坐标方程和直角坐标方程是等价的，只是表示形式不同
		J-01-176	求曲线的极坐标方程	细目①求曲线的极坐标方程的一般步骤；②直接法求曲线的极坐标方程；③间接法求曲线的极坐标方程；④参数法求曲线的极坐标方程；⑤曲线的极坐标方程的检验	方法①一般步骤：建立极坐标系→设点极坐标→列关于$\rho$,$\theta$的等式→化简→检验；②直接法：直接根据曲线的几何性质，列出关于$\rho$,$\theta$的等式；③间接法：先求出曲线的直角坐标方程，再化为极坐标方程；④参数法：引入参数，建立点的极坐标与参数的关系，消去参数，得到曲线的极坐标方程	注意①建立极坐标系，要选合适的极点和极轴，以便简化计算；②设点时，要设曲线上任意一点的极坐标，而不是特殊点；③化简等式时，要注意运算的正确性，避免出现错误；④检验方程时，要确保方程的完备性和纯粹性
		J-01-177	直线的参数方程的常见应用	细目①直线的参数方程的标准形式；②直线的参数方程的非标准形式；③求直线上两点间的距离；④求直线与曲线的交点坐标；⑤求直线上某点到交点的距离	方法①标准形式；②非标准形式：化为标准形式后再应用；③求距离；④求交点：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，解出参数$t$，再代入参数方程，得到交点坐标；⑤求点到交点的距离：利用参数$t$的几何意义，距离为$|t|$	注意①直线的参数方程的标准形式的判断；②参数$t$的几何意义；③求直线上两点间的距离时，要注意参数$t$的符号；④求直线与曲线的交点时，要注意参数$t$的解的个数，可能有两个、一个或没有；⑤非标准形式要先化为标准形式，才能应用参数$t$的几何意义
		J-01-178	圆和椭圆的参数方程的应用	细目①圆的参数方程；②椭圆的参数方程；③求圆上或椭圆上点的坐标的最值；④求圆上或椭圆上两点间的距离的最值；⑤求直线与圆或椭圆的位置关系	方法①圆的参数方程；②椭圆的参数方程；③求最值：利用参数方程，将问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的有界性求解；④求距离最值：利用参数方程，将距离表示为三角函数的形式，求解最值；⑤判断位置关系：利用参数方程，将直线与圆或椭圆的位置关系转化为三角函数的问题，求解	注意①圆的参数方程中，参数$\theta$是旋转角，椭圆的参数方程中，参数$\theta$是离心角，不是旋转角；②利用参数方程求最值时，要注意三角函数的有界性，$\cos\theta\in[-1,1]$，$\sin\theta\in[-1,1]$；③求圆上或椭圆上点的坐标的最值时，要注意参数$\theta$的取值范围；④求距离最值时，要注意距离的表达式的正确性；⑤判断直线与圆或椭圆的位置关系时，也可以使用普通方程的方法，参数方程的方法有时更简便
		J-01-179	参数方程的消参	细目①代数法消参(代入法，加减法，乘除法，乘方法以及组合法等)；②三角恒等式消参法，使用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ 消参	方法①代入消参法：由一个方程解出参数，代入另一个方程，消去参数；②加减消参法：将两个方程相加或相减，消去参数；③乘除消参法：将两个方程相乘或相除，消去参数；④乘方消参法：将方程两边平方，利用平方关系消去参数；⑤三角恒等式消参法：利用三角函数的基本恒等式，如$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$，$\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$等，消去参数；⑥组合消参法：结合多种消参方法，消去参数	难点①$(t+\frac{1}{t})^2-(t-\frac{1}{t})^2=4$; ②$(\frac{2t}{1+t^2})^2+(\frac{1-t^2}{1+t^2})^2=1$; ③$(e^{t}+e^{-t})^2-(e^t-e^{-t})^2=4$; ④消参后要注意原参数方程中变量的取值范围，对普通方程进行限制
		J-01-180	求曲线的参数方程	细目①求曲线的参数方程的一般步骤；②直接法求曲线的参数方程；③间接法求曲线的参数方程；④参数的选择原则；⑤曲线的参数方程的检验	方法①一般步骤：建立直角坐标系→选择合适的参数→设曲线上任意一点的坐标为$(x,y)$→建立$x,y$与参数的关系，得到参数方程→检验方程的完备性和纯粹性；②直接法：直接根据曲线的几何性质，建立$x,y$与参数的关系；③间接法：先求出曲线的普通方程，再引入参数，化为参数方程；④参数的选择原则：参数要能准确地表示曲线上点的位置，参数与$x,y$的关系要简单，便于计算；⑤常见的参数：角度、时间、距离、斜率等	注意①建立直角坐标系时，要选择合适的坐标系，以便简化计算；②选择参数时，要根据曲线的特点，选择合适的参数；③设点时，要设曲线上任意一点的坐标，而不是特殊点；④建立关系时，要确保关系的正确性，避免出现错误；⑤检验方程时，要确保方程的完备性（曲线上的点都满足方程）和纯粹性（满足方程的点都在曲线上）；⑥同一条曲线，选择不同的参数，会得到不同的参数方程
	不等式选讲	J-02-181	绝对值不等式的求解	细目①绝对值的定义；②单绝对值不等式的求解；③双绝对值不等式的求解；④含参数的绝对值不等式的求解；⑤绝对值不等式的几何意义	方法①单绝对值不等式；②双绝对值不等式：零点分段法，找到绝对值内的零点，将数轴分成若干段，在每一段上去掉绝对值符号，求解不等式，最后取并集；③几何意义法：利用绝对值的几何意义，$|x-a|$表示数轴上点$x$到点$a$的距离，求解不等式；④含参数的绝对值不等式：对参数进行分类讨论，再求解不等式	注意①解绝对值不等式时，要注意绝对值的定义，绝对值内的表达式的符号；②单绝对值不等式中，$a$必须为正数，当$a\leq0$时，$|x|a$的解集为$R$；③双绝对值不等式的零点分段法是最基本的方法，要熟练掌握；④几何意义法可以简化某些绝对值不等式的求解；⑤含参数的绝对值不等式的求解是重点和难点，要对参数进行合理的分类讨论；⑥解绝对值不等式时，要注意不等式的同解变形，避免出现错误
		J-02-182	证明不等式的基本方法	细目①比较法证明不等式；②综合法证明不等式；③分析法证明不等式；④反证法证明不等式；⑤放缩法证明不等式	方法①比较法：作差比较法，$a-b>0\Leftrightarrow a>b$；作商比较法，$\frac{a}{b}>1(b>0)\Leftrightarrow a>b$；②综合法：从已知条件出发，利用不等式的性质和基本不等式，推导出所要证明的不等式；③分析法：从所要证明的不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后，把所要证明的不等式归结为判定一个明显成立的条件为止；④反证法：先假设所要证明的不等式不成立，然后推出矛盾，从而证明不等式成立；⑤放缩法：通过放大或缩小不等式的一边，得到一个中间不等式，再利用中间不等式证明所要证明的不等式	注意①比较法是证明不等式的最基本的方法，要熟练掌握；②综合法的关键是找到合适的已知条件和基本不等式，推导出所要证明的不等式；③分析法的关键是找到使不等式成立的充分条件，要注意书写的格式；④反证法的关键是推出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与基本不等式矛盾，与定义、定理、公理矛盾等；⑤放缩法的关键是掌握合适的放缩技巧，放缩要适度，不能过大或过小，否则无法证明不等式；⑥证明不等式时，要根据不等式的特点，选择合适的证明方法，有时需要结合多种证明方法