概率与统计考点关联速查表15-16

前情概要

此表格涉及到概率与统计两个章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查15-16

全屏

$I$ - 概率 与 统计

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
统计及其案例算法初步	统计、算法初步	I-01-140	三种抽样方法	细目①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样；④三种抽样方法的区别与联系；⑤抽样方法的选择与应用	方法①简单随机抽样：抽签法、随机数表法，适用于总体容量较小的情况；②系统抽样：等距抽样，适用于总体容量较大且分布均匀的情况；③分层抽样：按比例抽样，适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；④核心：保证抽样的公平性和代表性	注意①简单随机抽样中，每个个体被抽到的概率相等；②系统抽样中，分段间隔的确定，注意剔除多余个体；③分层抽样中，各层的抽样比相等，等于总体的抽样比；④三种抽样方法都是不放回抽样；⑤抽样方法的选择要根据总体的特点
		I-01-141	用样本估计总体	细目①频率分布表与频率分布直方图；②茎叶图；③样本的数字特征；④用样本的频率分布估计总体分布；⑤用样本的数字特征估计总体的数字特征	方法①频率分布直方图：纵轴表示频率/组距，各小长方形的面积之和为1；②茎叶图：保留原始数据，便于比较两组数据；③样本的数字特征：众数、中位数、平均数、方差、标准差；④方差：$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，反映数据的离散程度	注意①频率分布直方图中，中位数左右两边的面积相等；②平均数是频率分布直方图的“重心”；③方差越小，数据越稳定；方差越大，数据越离散；④茎叶图适用于数据较少的情况；⑤用样本估计总体时，样本要具有代表性和广泛性
		I-01-142	变量的相关关系与统计案例	细目①变量的相关关系；②散点图；③线性回归方程；④独立性检验；⑤统计案例的应用	方法①相关关系：正相关、负相关、不相关，用散点图判断；②线性回归方程：$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$\hat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$，$\hat{a}=\bar{y}-\hat{b}\bar{x}$；③独立性检验：利用列联表和$\chi^2$统计量，判断两个分类变量是否有关联	注意①相关关系是一种非确定的关系，不同于函数关系；②线性回归方程必过样本中心点$(\bar{x},\bar{y})$；③相关系数$r$的绝对值越接近1，线性相关程度越强；越接近0，线性相关程度越弱；④独立性检验中，$\chi^2$越大，两个分类变量有关联的可能性越大；⑤统计案例的应用要结合实际问题
		I-01-143	算法初步	细目①算法的概念与特征；②程序框图的基本逻辑结构；③基本算法语句；④算法案例；⑤程序框图的绘制与解读	方法①算法的特征：有穷性、确定性、可行性、输入、输出；②程序框图的基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构；③基本算法语句：输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句；④算法案例：辗转相除法、更相减损术、秦九韶算法、进位制转换	注意①程序框图中，循环结构分为当型循环和直到型循环；②条件语句对应条件结构，循环语句对应循环结构；③赋值语句中，赋值号左边是变量，右边是表达式；④进位制转换中，十进制转换为其他进制用除k取余法，其他进制转换为十进制用按权相加法；⑤算法的设计要简洁、高效
	概率	I-02-144	随机事件概率、古典概型、几何概型	细目①随机事件的概率；②古典概型的概率；③几何概型的概率；④三种概率的区别与联系；⑤概率的实际应用	方法①随机事件的概率：频率估计概率，$P(A)\in[0,1]$；②古典概型的概率：$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}$，适用于基本事件有限且等可能的情况；③几何概型的概率：$P(A)=\frac{构成事件A的区域长度(面积或体积)}{试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)}$，适用于基本事件无限且等可能的情况	注意①必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0；②古典概型中，基本事件的确定是关键；③几何概型中，区域的选择要合理，长度、面积、体积的计算要准确；④概率的实际应用要结合实际问题；⑤三种概率的计算方法要根据问题的类型选择
计数原理概率随机变量及分布列	两个计数原理(文科不涉及)	I-03-145	分类加法计数原理	细目①分类加法计数原理的概念；②分类加法计数原理的适用条件；③分类加法计数原理的应用；④分类的原则；⑤含参分类加法计数原理的问题	方法①分类加法计数原理：完成一件事，有$n$类办法，在第1类办法中有$m_1$种不同的方法，在第2类办法中有$m_2$种不同的方法，……，在第$n$类办法中有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1+m_2+\dots+m_n$种不同的方法；②核心：分类，各类办法相互独立，每类办法都能完成这件事；③分类的原则：不重不漏	注意①分类加法计数原理适用于完成一件事有多种不同的方法，且每种方法都能独立完成这件事的情况；②分类的原则是不重不漏，即每个方法都属于且只属于某一类；③分类时，要根据问题的特点选择合适的分类标准；④含参分类加法计数原理的问题，要对参数进行分类讨论；⑤分类加法计数原理是计数的基本原理之一，是排列组合的基础
		I-03-146	分步乘法计数原理	细目①分步乘法计数原理的概念；②分步乘法计数原理的适用条件；③分步乘法计数原理的应用；④分步的原则；⑤含参分步乘法计数原理的问题	方法①分步乘法计数原理：完成一件事，需要分成$n$个步骤，做第1步有$m_1$种不同的方法，做第2步有$m_2$种不同的方法，……，做第$n$步有$m_n$种不同的方法，那么完成这件事共有$N=m_1\times m_2\times\dots\times m_n$种不同的方法；②核心：分步，各步骤相互依存，只有完成所有步骤，才能完成这件事；③分步的原则：步骤完整	注意①分步乘法计数原理适用于完成一件事需要多个步骤，且只有完成所有步骤才能完成这件事的情况；②分步的原则是步骤完整，即完成这件事的所有步骤都要考虑到；③分步时，要根据问题的特点选择合适的分步标准；④含参分步乘法计数原理的问题，要对参数进行分类讨论；⑤分步乘法计数原理是计数的基本原理之一，是排列组合的基础
		I-03-147	两个计数原理的综合应用	细目①两个计数原理的区别与联系；②分类与分步的综合应用；③两个计数原理在排列组合中的应用；④两个计数原理在实际问题中的应用；⑤含参两个计数原理的综合问题	方法①两个计数原理的区别：分类加法计数原理是“分类”，各类办法相互独立；分步乘法计数原理是“分步”，各步骤相互依存；②两个计数原理的联系：都是计数的基本原理，都可以用来计算完成一件事的不同方法数；③综合应用：先分类，后分步；或先分步，后分类；④核心：根据问题的特点，选择合适的计数原理，或综合运用两个计数原理	注意①两个计数原理的综合应用是计数问题的重点和难点；②综合应用时，要先分析问题的特点，确定是分类还是分步，或两者兼而有之；③分类时，要注意不重不漏；分步时，要注意步骤完整；④含参两个计数原理的综合问题，要对参数进行分类讨论；⑤两个计数原理的综合应用要结合实际问题，灵活运用
	排列与组合(文科不涉及)	I-04-148	排列问题	细目①排列的概念；②排列数的计算公式；③排列问题的基本类型；④排列问题的解题方法；⑤含参排列问题	方法①排列的概念：从$n$个不同元素中取出$m(m\leq n)$个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个排列；②排列数的计算公式：$A_{n}^{m}=n(n-1)(n-2)\dots(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$，其中$n!=n(n-1)(n-2)\dots1$，规定$0!=1$；③排列问题的解题方法：直接法、间接法、捆绑法、插空法、定序问题倍缩法等	注意①排列的本质是“有序”，即取出的元素有顺序之分；②排列数的计算公式适用于从$n$个不同元素中取出$m$个元素的排列数的计算；③排列问题的基本类型：无限制条件的排列问题、有限制条件的排列问题；④有限制条件的排列问题的解题方法：直接法（特殊元素优先法、特殊位置优先法）、间接法（排除法）、捆绑法（相邻问题）、插空法（不相邻问题）等；⑤含参排列问题，要对参数进行分类讨论
		I-04-149	组合问题	细目①组合的概念；②组合数的计算公式；③组合数的性质；④组合问题的基本类型；⑤组合问题的解题方法	方法①组合的概念：从$n$个不同元素中取出$m(m\leq n)$个元素，组成一组，叫做从$n$个不同元素中取出$m$个元素的一个组合；②组合数的计算公式：$C_{n}^{m}=\frac{A_{n}^{m}}{A_{m}^{m}}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$；③组合数的性质：$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$，$C_{n+1}^{m}=C_{n}^{m}+C_{n}^{m-1}$；④组合问题的解题方法：直接法、间接法、分组法等	注意①组合的本质是“无序”，即取出的元素没有顺序之分；②组合数的计算公式适用于从$n$个不同元素中取出$m$个元素的组合数的计算；③组合数的性质可以简化组合数的计算；④组合问题的基本类型：无限制条件的组合问题、有限制条件的组合问题；⑤有限制条件的组合问题的解题方法：直接法、间接法等
		I-04-150	分组分配问题	细目①分组问题的基本类型；②分配问题的基本类型；③分组分配问题的解题方法；④均匀分组问题；⑤不均匀分组问题；⑥定向分配问题；⑦不定向分配问题	方法①分组问题：将$n$个不同元素分成$k$组，每组的元素个数分别为$n_1,n_2,\dots,n_k$，其中$n_1+n_2+\dots+n_k=n$；②均匀分组问题：每组的元素个数相等，分组数为$\frac{C_{n}^{n_1}C_{n-n_1}^{n_2}\dots C_{n_k}^{n_k}}{m!}$，其中$m$是均匀分组的组数；③不均匀分组问题：每组的元素个数不相等，分组数为$C_{n}^{n_1}C_{n-n_1}^{n_2}\dots C_{n_k}^{n_k}$；④分配问题：将分组后的元素分配给$k$个不同的对象，定向分配问题的分配数等于分组数，不定向分配问题的分配数等于分组数乘以$k!$	注意①分组分配问题是排列组合的综合应用，是重点和难点；②分组问题的关键是区分均匀分组和不均匀分组，均匀分组要除以均匀分组的组数的阶乘，以消除重复的分组；③分配问题的关键是区分定向分配和不定向分配，定向分配不需要乘以对象的个数的阶乘，不定向分配需要乘以对象的个数的阶乘；④分组分配问题的解题步骤：先分组，后分配；⑤分组分配问题要结合实际问题，灵活运用排列组合的知识
	二项式定理(文科不涉及)	I-05-151	二项式的特定项或系数问题	细目①二项式定理的内容；②二项展开式的通项公式；③求二项展开式的特定项；④求二项展开式的特定项的系数；⑤含参二项式的特定项或系数问题	方法①二项式定理：$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}(n\in N^*)$；②二项展开式的通项公式：$T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}(k=0,1,2,\dots,n)$；③求二项展开式的特定项：令通项公式中的$k$等于特定项的项数减1，求出$k$的值，代入通项公式，即可求出特定项；④求二项展开式的特定项的系数：求出特定项后，其系数即为所求	注意①二项式定理适用于二项式的展开，$n$是正整数；②二项展开式的通项公式是二项式定理的核心，是求特定项和特定项的系数的关键；③通项公式中的$k$是从0开始的，项数是从1开始的，即第$k+1$项的通项公式是$T_{k+1}=C_{n}^{k}a^{n-k}b^{k}$；④含参二项式的特定项或系数问题，要对参数进行分类讨论；⑤求二项展开式的特定项或系数问题，要注意二项式的底数的符号
		I-05-152	二项式系数的和或各项系数的和	细目①二项式系数的概念；②二项式系数的和；③各项系数的和；④二项式系数的性质；⑤各项系数的和的求法	方法①二项式系数：二项展开式中，$C_{n}^{k}(k=0,1,2,\dots,n)$叫做二项式系数；②二项式系数的和：$\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}=2^n$；③各项系数的和：令二项式中的字母等于1，即可求出各项系数的和；④二项式系数的性质：对称性、增减性与最大值，$C_{n}^{k}=C_{n}^{n-k}$，当$n$为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当$n$为奇数时，中间两项的二项式系数相等且最大	注意①二项式系数与各项系数是不同的概念，二项式系数是$C_{n}^{k}$，各项系数是二项展开式中各项的系数；②二项式系数的和是固定的，等于$2^n$；③各项系数的和的求法是令二项式中的字母等于1，这是求各项系数的和的常用方法；④二项式系数的性质可以简化二项式系数的计算；⑤求各项系数的和的问题，要注意二项式的底数的符号
		I-05-153	项的系数的最值问题	细目①二项式系数的最值问题；②各项系数的最值问题；③项的系数的最值问题的解题方法；④含参二项式的项的系数的最值问题；⑤项的系数的最值问题的应用	方法①二项式系数的最值问题：利用二项式系数的性质，对称性、增减性与最大值，求解二项式系数的最值；②各项系数的最值问题：先求出各项系数的表达式，再利用函数的单调性或不等式的方法，求解各项系数的最值；③项的系数的最值问题的解题方法：先求出项的系数的表达式，再利用函数的单调性或不等式的方法，求解项的系数的最值；④核心：根据问题的类型，选择合适的解题方法	注意①二项式系数的最值问题与各项系数的最值问题是不同的问题，解题方法也不同；②二项式系数的最值问题可以利用二项式系数的性质求解，比较简单；③各项系数的最值问题需要先求出各项系数的表达式，再利用函数的单调性或不等式的方法求解，比较复杂；④含参二项式的项的系数的最值问题，要对参数进行分类讨论；⑤项的系数的最值问题的应用要结合实际问题
		I-05-154	二项式定理的应用	细目①二项式定理在近似计算中的应用；②二项式定理在整除问题中的应用；③二项式定理在证明不等式中的应用；④二项式定理在组合恒等式证明中的应用；⑤二项式定理的综合应用	方法①近似计算：利用二项式定理展开，舍去高阶无穷小，得到近似值；②整除问题：利用二项式定理展开，将式子变形为含有除数的倍数的形式，证明式子能被除数整除；③证明不等式：利用二项式定理展开，得到式子的展开式，再利用不等式的性质，证明不等式；④证明组合恒等式：利用二项式定理展开，比较两边的系数，得到组合恒等式	注意①二项式定理的应用非常广泛，涉及近似计算、整除问题、不等式证明、组合恒等式证明等多个方面；②近似计算中，要注意舍去的高阶无穷小的大小，保证近似值的精度；③整除问题中，要注意式子的变形，将式子变形为含有除数的倍数的形式；④证明不等式中，要注意二项式定理的展开式的选择，以及不等式的性质的应用；⑤二项式定理的综合应用要结合实际问题，灵活运用二项式定理的知识
	随机事件的概率	I-06-155	事件的概念及判断	细目①随机事件的概念；②必然事件的概念；③不可能事件的概念；④事件的关系与运算；⑤事件的判断	方法①随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；②必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件；③不可能事件：在一定条件下，必然不会发生的事件；④事件的关系与运算：包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件；⑤事件的判断：根据事件的概念，判断事件的类型	注意①随机事件、必然事件、不可能事件是事件的三种基本类型；②必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率在0到1之间；③事件的关系与运算包括包含关系、相等关系、并事件、交事件、互斥事件、对立事件，要注意区分；④互斥事件是指两个事件不能同时发生，对立事件是指两个事件不能同时发生，且必有一个发生，对立事件是特殊的互斥事件；⑤事件的判断要根据事件的概念，结合实际问题
		I-06-156	随机事件的概率与频率	细目①随机事件的频率的概念；②随机事件的概率的概念；③频率与概率的关系；④频率的求法；⑤概率的求法	方法①随机事件的频率：在相同的条件下，进行了$n$次试验，在这$n$次试验中，事件$A$发生的次数$n_A$叫做事件$A$发生的频数，比值$\frac{n_A}{n}$叫做事件$A$发生的频率；②随机事件的概率：在大量重复试验中，事件$A$发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数叫做事件$A$的概率，记作$P(A)$；③频率与概率的关系：频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；④频率的求法：根据频率的定义，计算事件发生的频数与试验次数的比值；⑤概率的求法：利用频率估计概率，或利用古典概型、几何概型等方法求概率	注意①随机事件的频率是一个变量，随着试验次数的变化而变化；②随机事件的概率是一个常数，是频率的稳定值；③频率与概率的关系是频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值；④在大量重复试验中，可以用频率估计概率；⑤概率的求法有多种，要根据问题的类型选择合适的方法
		I-06-157	互斥、对立事件的概率	细目①互斥事件的概率加法公式；②对立事件的概率公式；③互斥事件与对立事件的区别与联系；④互斥事件的概率的求法；⑤对立事件的概率的求法	方法①互斥事件的概率加法公式：若事件$A$与事件$B$互斥，则$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$；②对立事件的概率公式：若事件$A$与事件$B$对立，则$P(A)+P(B)=1$，即$P(A)=1-P(B)$；③互斥事件与对立事件的区别与联系：对立事件是特殊的互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；④互斥事件的概率的求法：利用互斥事件的概率加法公式；⑤对立事件的概率的求法：利用对立事件的概率公式	注意①互斥事件的概率加法公式适用于互斥事件的概率的计算；②对立事件的概率公式适用于对立事件的概率的计算，当直接求事件的概率比较困难时，可以先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求事件的概率；③互斥事件与对立事件的区别与联系要注意区分，对立事件是特殊的互斥事件，互斥事件不一定是对立事件；④互斥事件的概率加法公式可以推广到多个互斥事件的情况；⑤对立事件的概率公式是概率计算的重要工具，要灵活运用
	古典概率	I-07-158	简单的古典概率问题	细目①古典概型的概念；②古典概型的特征；③简单的古典概率问题的类型；④简单的古典概率问题的解题方法；⑤简单的古典概率问题的应用	方法①古典概型的概念：具有以下两个特征的试验叫做古典概型：试验的所有可能结果只有有限个，每次试验中，每个结果出现的可能性相等；②古典概型的概率公式：$P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{试验的全部结果所构成的基本事件总数}$；③简单的古典概率问题的解题方法：列举法、树状图法、列表法等；④核心：确定试验的基本事件总数和事件$A$包含的基本事件数	注意①古典概型的两个特征是有限性和等可能性，这是判断一个试验是否为古典概型的依据；②古典概型的概率公式是古典概率问题的核心，是计算古典概率的关键；③简单的古典概率问题的解题方法有列举法、树状图法、列表法等，要根据问题的特点选择合适的方法；④确定试验的基本事件总数和事件$A$包含的基本事件数是解题的关键，要注意不重不漏；⑤简单的古典概率问题的应用要结合实际问题
		I-07-159	比较复杂的古典概率问题	细目①比较复杂的古典概率问题的类型；②比较复杂的古典概率问题的解题方法；③排列组合在古典概率问题中的应用；④间接法在古典概率问题中的应用；⑤比较复杂的古典概率问题的应用	方法①比较复杂的古典概率问题的解题方法：排列组合法、间接法等；②排列组合法：利用排列组合的知识，计算试验的基本事件总数和事件$A$包含的基本事件数；③间接法：当直接求事件$A$的概率比较困难时，可以先求其对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式求事件$A$的概率；④核心：确定试验的基本事件总数和事件$A$包含的基本事件数，灵活运用排列组合的知识和间接法	注意①比较复杂的古典概率问题是古典概率问题的重点和难点；②排列组合法是解决比较复杂的古典概率问题的常用方法，要熟练掌握排列组合的知识；③间接法是解决比较复杂的古典概率问题的重要方法，当直接求事件的概率比较困难时，可以考虑使用间接法；④确定试验的基本事件总数和事件$A$包含的基本事件数是解题的关键，要注意不重不漏；⑤比较复杂的古典概率问题的应用要结合实际问题，灵活运用古典概率的知识
	几何概率	I-08-160	长度型的几何概率问题	细目①几何概型的概念；②几何概型的特征；③长度型的几何概率问题的类型；④长度型的几何概率问题的解题方法；⑤长度型的几何概率问题的应用	方法①几何概型的概念：具有以下两个特征的试验叫做几何概型：试验的所有可能结果有无限个，每次试验中，每个结果出现的可能性相等；②几何概型的概率公式：$P(A)=\frac{构成事件A的区域长度}{试验的全部结果所构成的区域长度}$；③长度型的几何概率问题的解题方法：确定试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件$A$的区域长度，代入几何概型的概率公式计算；④核心：确定试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件$A$的区域长度	注意①几何概型的两个特征是无限性和等可能性，这是判断一个试验是否为几何概型的依据；②长度型的几何概率问题是几何概型的基本类型之一，适用于试验的全部结果所构成的区域是线段的情况；③确定试验的全部结果所构成的区域长度和构成事件$A$的区域长度是解题的关键，要注意区域的选择和长度的计算；④几何概型的概率公式是几何概率问题的核心，是计算几何概率的关键；⑤长度型的几何概率问题的应用要结合实际问题
		I-08-161	面积型的几何概率问题	细目①面积型的几何概率问题的类型；②面积型的几何概率问题的解题方法；③平面图形的面积计算；④面积型的几何概率问题的应用；⑤含参面积型的几何概率问题	方法①几何概型的概率公式：$P(A)=\frac{构成事件A的区域面积}{试验的全部结果所构成的区域面积}$；②面积型的几何概率问题的解题方法：确定试验的全部结果所构成的区域面积和构成事件$A$的区域面积，代入几何概型的概率公式计算；③平面图形的面积计算：利用平面几何的知识，计算平面图形的面积；④核心：确定试验的全部结果所构成的区域面积和构成事件$A$的区域面积	注意①面积型的几何概率问题是几何概型的基本类型之一，适用于试验的全部结果所构成的区域是平面图形的情况；②确定试验的全部结果所构成的区域面积和构成事件$A$的区域面积是解题的关键，要注意区域的选择和面积的计算；③平面图形的面积计算是解题的基础，要熟练掌握平面几何的知识；④含参面积型的几何概率问题，要对参数进行分类讨论；⑤面积型的几何概率问题的应用要结合实际问题
		I-08-162	体积型的几何概率问题	细目①体积型的几何概率问题的类型；②体积型的几何概率问题的解题方法；③空间几何体的体积计算；④体积型的几何概率问题的应用；⑤含参体积型的几何概率问题	方法①几何概型的概率公式：$P(A)=\frac{构成事件A的区域体积}{试验的全部结果所构成的区域体积}$；②体积型的几何概率问题的解题方法：确定试验的全部结果所构成的区域体积和构成事件$A$的区域体积，代入几何概型的概率公式计算；③空间几何体的体积计算：利用立体几何的知识，计算空间几何体的体积；④核心：确定试验的全部结果所构成的区域体积和构成事件$A$的区域体积	注意①体积型的几何概率问题是几何概型的基本类型之一，适用于试验的全部结果所构成的区域是空间几何体的情况；②确定试验的全部结果所构成的区域体积和构成事件$A$的区域体积是解题的关键，要注意区域的选择和体积的计算；③空间几何体的体积计算是解题的基础，要熟练掌握立体几何的知识；④含参体积型的几何概率问题，要对参数进行分类讨论；⑤体积型的几何概率问题的应用要结合实际问题
		I-08-163	角度型[时间型]的几何概率问题	细目①角度型的几何概率问题的类型；②时间型的几何概率问题的类型；③角度型[时间型]的几何概率问题的解题方法；④角度和时间的计算；⑤角度型[时间型]的几何概率问题的应用	方法①几何概型的概率公式：$P(A)=\frac{构成事件A的角度(时间)}{试验的全部结果所构成的角度(时间)}$；②角度型[时间型]的几何概率问题的解题方法：确定试验的全部结果所构成的角度(时间)和构成事件$A$的角度(时间)，代入几何概型的概率公式计算；③角度和时间的计算：利用几何和时间的知识，计算角度和时间；④核心：确定试验的全部结果所构成的角度(时间)和构成事件$A$的角度(时间)	注意①角度型[时间型]的几何概率问题是几何概型的基本类型之一，适用于试验的全部结果所构成的区域是角度或时间的情况；②确定试验的全部结果所构成的角度(时间)和构成事件$A$的角度(时间)是解题的关键，要注意角度和时间的计算；③角度型的几何概率问题要注意角度的范围，时间型的几何概率问题要注意时间的范围；④角度型[时间型]的几何概率问题的应用要结合实际问题；⑤角度型[时间型]的几何概率问题的解题方法与长度型、面积型、体积型的几何概率问题的解题方法类似
	离散型随机变量及分布列(文科不涉及)	I-09-164	离散型随机变量分布列的性质	细目①离散型随机变量的概念；②离散型随机变量分布列的概念；③离散型随机变量分布列的性质；④分布列的验证；⑤含参分布列的性质应用	方法①离散型随机变量：其可能取到的值可以一一列举出来的随机变量；②离散型随机变量分布列的概念：设离散型随机变量$X$可能取到的值为$x_1,x_2,\dots,x_n$，$X$取到每一个值$x_i$的概率为$P(X=x_i)=p_i$，则称表格为离散型随机变量$X$的分布列；③离散型随机变量分布列的性质：$p_i\geq0(i=1,2,\dots,n)$，$\sum_{i=1}^{n}p_i=1$；④分布列的验证：利用分布列的性质，验证分布列是否正确	注意①离散型随机变量的分布列是离散型随机变量的重要表示形式，它全面地反映了离散型随机变量的取值和取值的概率；②离散型随机变量分布列的性质是分布列的基本属性，是验证分布列是否正确的依据，也是求解含参分布列的参数的依据；③分布列的两个性质缺一不可，$p_i\geq0$保证了概率的非负性，$\sum_{i=1}^{n}p_i=1$保证了概率的完备性；④含参分布列的性质应用是分布列的性质的重要应用，要根据分布列的性质，列出方程，求解参数；⑤离散型随机变量分布列的性质是离散型随机变量的基础，是学习离散型随机变量的均值和方差的前提
		I-09-165	求离散型随机变量的分布列	细目①求离散型随机变量的分布列的步骤；②离散型随机变量的取值的确定；③离散型随机变量的取值的概率的计算；④分布列的表示；⑤求离散型随机变量的分布列的应用	方法①求离散型随机变量的分布列的步骤：确定离散型随机变量的取值；计算离散型随机变量的每一个取值的概率；列出分布列；②离散型随机变量的取值的确定：根据实际问题，确定离散型随机变量的所有可能取值；③离散型随机变量的取值的概率的计算：利用古典概型、几何概型、互斥事件的概率加法公式、对立事件的概率公式等方法，计算离散型随机变量的每一个取值的概率；④核心：确定离散型随机变量的取值和计算其取值的概率	注意①求离散型随机变量的分布列是离散型随机变量的重点和难点；②确定离散型随机变量的取值是解题的第一步，要根据实际问题，全面、准确地确定离散型随机变量的所有可能取值，不重不漏；③计算离散型随机变量的取值的概率是解题的关键，要根据问题的类型，选择合适的概率计算方法；④列出分布列时，要注意分布列的格式，离散型随机变量的取值要一一列举出来，对应的概率要准确；⑤求离散型随机变量的分布列的应用要结合实际问题
		I-09-166	超几何分布问题	细目①超几何分布的定义；②超几何分布的概率公式；③超几何分布的分布列；④超几何分布的均值与方差；⑤超几何分布与二项分布的区别	方法①概率公式：$P(X=k)=\frac{C_{M}^{k}C_{N-M}^{n-k}}{C_{N}^{n}}$（$k=0,1,\dots,\min\{M,n\}$），其中$N$为总体容量，$M$为总体中某类元素个数，$n$为抽取样本数，$k$为样本中该类元素个数；②解题步骤：判断模型→确定参数$N,M,n$→计算各取值的概率→列出分布列；③均值公式：$E(X)=n\cdot\frac{M}{N}$	注意①理科专属内容，文科不做要求；②超几何分布的本质是**不放回抽样**；③参数范围：$n\leq N$，$M\leq N$，$k\leq n$且$k\leq M$；④当总体容量$N$很大，抽样比$\frac{n}{N}$很小时，超几何分布可近似为二项分布；⑤分布列必须满足非负性和归一性
	n次独立重复试验与二项分布(文科不涉及)	I-10-167	条件概率	细目①条件概率的定义；②条件概率的计算公式；③条件概率的性质；④条件概率的求法；⑤条件概率与积事件概率的关系	方法①核心公式：$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$（$P(A)>0$）；②直观求法：在事件$A$发生的条件下，重新计算事件$B$发生的概率；③性质：$0\leq P(B|A)\leq1$；$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$；④积事件概率：$P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)$	注意①理科专属内容，文科不做要求；②条件概率中，事件$A$是前提，$P(A)$必须大于0；③$P(B|A)$与$P(A|B)$是两个不同的概率，不要混淆；④条件概率的计算可以通过缩小样本空间来简化；⑤积事件概率的公式是计算多个事件同时发生的重要工具
		I-10-168	相互独立事件的概率	细目①相互独立事件的定义；②相互独立事件的判定方法；③相互独立事件的概率公式；④多个相互独立事件的概率；⑤相互独立事件与互斥事件的区别	方法①定义判定：若$P(AB)=P(A)P(B)$，则事件$A$与$B$相互独立；②直观判定：一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；③核心公式：若$A,B$独立，则$P(AB)=P(A)P(B)$；④推广：若$A_1,A_2,\dots,A_n$相互独立，则$P(A_1A_2\dots A_n)=P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n)$	注意①理科专属内容，文科不做要求；②相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念，没有必然联系；③若$A$与$B$独立，则$A$与$\overline{B}$、$\overline{A}$与$B$、$\overline{A}$与$\overline{B}$也相互独立；④实际问题中，常根据题意判断事件的独立性，而非通过公式计算；⑤多个事件相互独立，需要任意两个事件都独立
		I-10-169	n次独立重复试验与二项分布	细目①n次独立重复试验的定义；②n次独立重复试验的特征；③二项分布的定义；④二项分布的概率公式；⑤二项分布的均值与方差	方法①n次独立重复试验的特征：试验次数固定、每次试验独立、每次试验只有两个结果、每次试验中某事件发生的概率固定；②二项分布的概率公式：若$X\sim B(n,p)$，则$P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$（$k=0,1,\dots,n$）；③解题步骤：判断模型→确定参数$n,p$→计算概率；④均值与方差：$E(X)=np$，$D(X)=np(1-p)$	注意①理科专属内容，文科不做要求；②二项分布的本质是**有放回抽样**或独立重复试验；③参数$n$是试验次数，$p$是每次试验中事件发生的概率；④二项分布的分布列是对称的当且仅当$p=0.5$；⑤当$n$很大，$p$很小时，二项分布可近似为泊松分布；当$n$很大，$np$和$n(1-p)$都很大时，二项分布可近似为正态分布
	离散型随机变量的均值、方差和正态分布(文科不涉及)	I-11-170	离散型随机变量的均值与方差	细目①离散型随机变量的均值的定义；②均值的性质；③离散型随机变量的方差的定义；④方差的性质；⑤标准差的定义	方法①均值公式：若$X$的分布列为$P(X=x_i)=p_i$（$i=1,2,\dots,n$），则$E(X)=\sum_{i=1}^{n}x_ip_i$；②方差公式：$D(X)=\sum_{i=1}^{n}(x_i-E(X))^2p_i=E(X^2)-(E(X))^2$；③标准差：$\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$；④性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$，$D(aX+b)=a^2D(X)$（$a,b$为常数）	注意①理科专属内容，文科不做要求；②均值反映了离散型随机变量取值的**平均水平**，方差反映了离散型随机变量取值的**稳定程度**；③方差越小，随机变量的取值越集中；方差越大，取值越分散；④均值和方差都具有非负性；⑤对于常见的分布（超几何分布、二项分布），有现成的均值和方差公式，可直接使用
		I-11-171	均值与方差的实际应用	细目①均值在决策中的应用；②方差在决策中的应用；③均值与方差的综合应用；④风险评估中的均值与方差；⑤优化问题中的均值与方差	方法①均值决策：比较不同方案的均值，选择均值较大的方案（如收益最大化）；②方差决策：比较不同方案的方差，选择方差较小的方案（如风险最小化）；③综合决策：当均值相同时，选择方差较小的方案；当方差相同时，选择均值较大的方案；④解题步骤：建立随机变量模型→计算各方案的均值和方差→根据决策目标进行选择	注意①理科专属内容，文科不做要求；②实际应用中，均值和方差的选择要根据决策目标而定，没有绝对的优劣；③均值反映的是长期的平均水平，方差反映的是短期的波动程度；④在风险评估中，常使用方差或标准差来衡量风险的大小；⑤优化问题中，常需要在均值和方差之间进行权衡，找到最优的平衡点
		I-11-172	有关正态分布的问题	细目①正态分布的定义；②正态曲线的特征；③标准正态分布；④正态分布的$3\sigma$原则；⑤正态分布的概率计算	方法①正态分布的表示：若$X$服从正态分布，则记为$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，其中$\mu$为均值，$\sigma^2$为方差；②标准正态分布：当$\mu=0$，$\sigma=1$时，记为$X\sim N(0,1)$；③$3\sigma$原则：$P(\mu-\sigma	注意①理科专属内容，文科不做要求；②正态分布是连续型随机变量的分布，其概率是正态曲线与$x$轴之间的面积；③正态曲线关于直线$x=\mu$对称，在$x=\mu$处取得最大值；④$\mu$决定了正态曲线的位置，$\sigma$决定了正态曲线的形状，$\sigma$越小，曲线越“瘦高”，$\sigma$越大，曲线越“矮胖”；⑤$3\sigma$原则是正态分布的重要性质，在质量控制、数据统计中有着广泛的应用；⑥实际问题中，很多随机变量都近似服从正态分布