解析几何考点关联速查表14

前情概要

此表格涉及到解析几何章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查14

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$H$ - 解 析 几 何

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
解 析 几 何	直线的倾斜角与斜率、直线方程	H-01-118	直线的倾斜角与斜率	细目①倾斜角的定义与范围；②斜率的定义与计算公式；③倾斜角与斜率的关系；④含参直线的倾斜角与斜率讨论；⑤斜率的几何意义	方法①斜率计算公式：$k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x_1\neq x_2)$；②斜率与倾斜角关系：$k=\tan\alpha(\alpha\neq90^\circ)$；③倾斜角范围：$[0,\pi)$；④垂直于x轴的直线倾斜角为$90^\circ$，斜率不存在；⑤分类讨论：针对斜率存在与不存在两种情况	注意①倾斜角是直线与x轴正方向所成的最小正角；②斜率不存在时，直线垂直于x轴；③斜率为0时，直线平行于x轴；④含参直线需讨论参数对斜率和倾斜角的影响；⑤两点确定一条直线的斜率，需保证两点横坐标不相等
		H-01-119	直线方程的求法	细目①点斜式方程；②斜截式方程；③两点式方程；④截距式方程；⑤一般式方程；⑥各种形式方程的转化	方法①点斜式：$y-y_0=k(x-x_0)$（斜率存在）；②斜截式：$y=kx+b$（斜率存在）；③两点式：$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$（两点不共线于坐标轴）；④截距式：$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$（截距不为0）；⑤一般式：$Ax+By+C=0$（A、B不同时为0）	注意①点斜式和斜截式要求直线斜率存在；②两点式不适合垂直于坐标轴的直线；③截距式不适合过原点或垂直于坐标轴的直线；④一般式是直线方程的通用形式；⑤求直线方程时，需根据已知条件选择最合适的形式
		H-01-120	直线方程的综合应用	细目①直线过定点问题；②直线的对称问题；③直线的最值问题；④含参直线的综合应用；⑤直线方程与其他知识点的结合	方法①直线过定点：整理为关于参数的方程，令系数为0，求解定点；②点关于直线对称：利用中点在直线上且连线与直线垂直列方程组；③直线关于点对称：利用平行且距离相等求解；④直线关于直线对称：利用夹角相等或点对称求解；⑤最值问题：利用几何意义或代数方法求解	注意①直线过定点问题的核心是分离参数；②对称问题的核心是中点和垂直；③含参直线的综合应用需分类讨论；④直线方程的综合应用常与不等式、函数等知识点结合；⑤求解时需注意直线的斜率是否存在
		H-01-121	两条直线的位置关系、点到直线的距离	细目①两条直线的平行关系；②两条直线的垂直关系；③两条直线的相交关系；④点到直线的距离；⑤两条平行线间的距离	方法①平行判定：$l_1\parallel l_2\Leftrightarrow k_1=k_2$且$b_1\neq b_2$（斜率存在）；②垂直判定：$l_1\perp l_2\Leftrightarrow k_1k_2=-1$（斜率存在）；③点到直线距离公式：$d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$；④平行线间距离公式：$d=\frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^2+B^2}}$（直线化为一般式且系数相同）；⑤相交直线的交点：解方程组求解	注意①平行和垂直的判定需注意斜率是否存在；②点到直线的距离公式适用于所有直线；③平行线间的距离公式要求两条直线化为一般式且x、y的系数相同；④两条直线相交时，有且只有一个交点；⑤含参两条直线的位置关系需分类讨论
	圆的方程	H-02-122	圆的方程的求法	细目①圆的标准方程；②圆的一般方程；③圆的参数方程；④已知三点求圆的方程；⑤已知条件求圆的方程	方法①标准方程：$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$（圆心$(a,b)$，半径$r$）；②一般方程：$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$（$D^2+E^2-4F>0$，圆心$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$，半径$\frac{1}{2}\sqrt{D^2+E^2-4F}$）；③参数方程：$\begin{cases}x=a+r\cos\theta\\y=b+r\sin\theta\end{cases}$（$\theta$为参数）；④待定系数法：根据已知条件设出方程，求解参数	注意①圆的一般方程中，$D^2+E^2-4F>0$是方程表示圆的充要条件；②标准方程直观地表示了圆的圆心和半径；③参数方程常用于解决圆的最值问题；④已知三点求圆的方程时，可使用待定系数法；⑤求圆的方程时，需根据已知条件选择最合适的形式
		H-02-123	与圆有关的最值问题	细目①圆上点到定点的距离的最值；②圆上点到定直线的距离的最值；③圆上点的坐标的最值；④与圆有关的代数式的最值；⑤含参圆的最值问题	方法①几何法：利用圆的几何性质，结合图形求解最值；②代数法：利用圆的方程，将最值问题转化为函数的最值问题；③参数法：利用圆的参数方程，将最值问题转化为三角函数的最值问题；④数形结合法：结合图形，直观地求解最值；⑤核心思想：圆心到定点、定直线的距离与半径的关系	注意①圆上点到定点的距离的最值：最大值为圆心到定点的距离加上半径，最小值为圆心到定点的距离减去半径；②圆上点到定直线的距离的最值：最大值为圆心到定直线的距离加上半径，最小值为圆心到定直线的距离减去半径；③与圆有关的最值问题，几何法往往比代数法更简单；④含参圆的最值问题，需对参数分类讨论；⑤求解时需注意最值的取得条件
		H-02-124	与圆有关的轨迹问题	细目①动点到定点的距离为定值的轨迹；②动点到两个定点的距离之和为定值的轨迹；③动点到两个定点的距离之差为定值的轨迹；④动点到定点的距离与到定直线的距离之比为定值的轨迹；⑤与圆有关的轨迹的综合问题	方法①定义法：利用圆的定义，直接写出轨迹方程；②直接法：根据已知条件，直接列出动点的坐标满足的方程；③代入法：利用相关点的轨迹，代入求解动点的轨迹；④参数法：引入参数，列出动点的坐标满足的参数方程，消去参数得到轨迹方程；⑤几何法：利用圆的几何性质，求解动点的轨迹	注意①轨迹问题的核心是找到动点的坐标满足的方程；②定义法是解决轨迹问题的常用方法，需熟悉各种曲线的定义；③直接法需要准确地列出动点的坐标满足的条件；④代入法需要找到相关点的轨迹；⑤求解轨迹方程时，需注意轨迹的纯粹性和完备性
	直线与圆、圆与圆的位置关系	H-03-125	直线与圆的位置关系	细目①直线与圆的相离关系；②直线与圆的相切关系；③直线与圆的相交关系；④直线与圆的位置关系的判定；⑤含参直线与圆的位置关系的讨论	方法①几何法：计算圆心到直线的距离$d$，与圆的半径$r$比较：$d>r\Leftrightarrow$相离，$d=r\Leftrightarrow$相切，$d0\Leftrightarrow$相交；③核心思想：几何法比代数法更简单	注意①直线与圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；②几何法是判定直线与圆的位置关系的常用方法；③代数法需要联立方程，计算量较大；④含参直线与圆的位置关系的讨论，需对参数分类讨论；⑤直线与圆相切时，有且只有一个公共点；直线与圆相交时，有两个公共点
		H-03-126	圆的切线、弦长问题	细目①圆的切线方程的求法；②圆的切线的性质；③圆的弦长的求法；④圆的弦的性质；⑤圆的切线、弦长的综合问题	方法①圆的切线方程：点在圆上时，切线方程为$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$；点在圆外时，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径求解；②圆的弦长公式：$l=2\sqrt{r^2-d^2}$（$d$为圆心到弦的距离）；③代数法弦长公式：$l=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$；④核心思想：几何法比代数法更简单	注意①圆的切线的性质：切线垂直于过切点的半径；②圆的弦的性质：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧；③圆的切线方程的求法，需注意点在圆上还是圆外；④圆的弦长公式的应用，需注意圆心到弦的距离的计算；⑤圆的切线、弦长的综合问题，常与直线方程、圆的方程结合考查
		H-03-127	圆与圆的位置关系	细目①圆与圆的外离关系；②圆与圆的外切关系；③圆与圆的相交关系；④圆与圆的内切关系；⑤圆与圆的内含关系；⑥圆与圆的位置关系的判定	方法①几何法：计算两圆的圆心距$d$，与两圆的半径$r_1$，$r_2$比较：$d>r_1+r_2\Leftrightarrow$外离，$d=r_1+r_2\Leftrightarrow$外切，$|r_1-r_2|0\Leftrightarrow$相交；③核心思想：几何法比代数法更简单	注意①圆与圆的位置关系有五种：外离、外切、相交、内切、内含；②几何法是判定圆与圆的位置关系的常用方法；③代数法需要联立方程，计算量较大；④两圆外切或内切时，有且只有一个公共点；两圆相交时，有两个公共点；两圆外离或内含时，没有公共点；⑤两圆相交时，两圆的连心线垂直平分公共弦
	椭圆	H-04-128	椭圆的定义及其标准方程	细目①椭圆的第一定义；②椭圆的第二定义；③椭圆的标准方程；④椭圆的参数方程；⑤椭圆的标准方程的求法	方法①第一定义：平面内与两个定点$F_1$，$F_2$的距离之和等于常数（大于$|F_1F_2|$）的点的轨迹；②第二定义：平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$的距离之比等于常数$e$（$0b>0)$（焦点在x轴上），$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)$（焦点在y轴上）；④待定系数法：根据已知条件设出方程，求解参数	注意①椭圆的第一定义中，常数必须大于$|F_1F_2|$；②椭圆的第二定义中，常数$e$必须满足$0
		H-04-129	椭圆的几何性质	细目①椭圆的范围；②椭圆的对称性；③椭圆的顶点；④椭圆的焦点；⑤椭圆的离心率；⑥椭圆的准线；⑦椭圆的通径	方法①范围：$\frac{x^2}{a^2}\leq1$，$\frac{y^2}{b^2}\leq1$；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：$(±a,0)$，$(0,±b)$（焦点在x轴上）；④焦点：$(±c,0)$（焦点在x轴上）；⑤离心率：$e=\frac{c}{a}(0	注意①椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程度，$e$越接近0，椭圆越圆；$e$越接近1，椭圆越扁；②椭圆的准线是第二定义中的定直线；③椭圆的通径是过焦点且垂直于长轴的弦，是椭圆的最短弦；④椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础；⑤椭圆的几何性质与椭圆的标准方程密切相关
		H-04-130	直线与椭圆的位置关系	细目①直线与椭圆的相离关系；②直线与椭圆的相切关系；③直线与椭圆的相交关系；④直线与椭圆的位置关系的判定；⑤直线与椭圆的综合问题	方法①代数法：将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个变量，得到一元二次方程，计算判别式$\Delta$：$\Delta<0\Leftrightarrow$相离，$\Delta=0\Leftrightarrow$相切，$\Delta>0\Leftrightarrow$相交；②几何法：利用椭圆的几何性质，结合图形求解；③弦长公式：$l=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$；④中点弦问题：利用点差法求解	注意①直线与椭圆的位置关系有三种：相离、相切、相交；②代数法是判定直线与椭圆的位置关系的常用方法；③几何法在某些情况下比代数法更简单；④直线与椭圆相切时，有且只有一个公共点；直线与椭圆相交时，有两个公共点；⑤中点弦问题的核心是点差法，需注意直线的斜率是否存在
	双曲线	H-05-131	双曲线的定义及其标准方程	细目①双曲线的第一定义；②双曲线的第二定义；③双曲线的标准方程；④双曲线的参数方程；⑤双曲线的标准方程的求法	方法①第一定义：平面内与两个定点$F_1$，$F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$|F_1F_2|$且大于0）的点的轨迹；②第二定义：平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$的距离之比等于常数$e$（$e>1$）的点的轨迹；③标准方程：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$（焦点在x轴上），$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$（焦点在y轴上）；④待定系数法：根据已知条件设出方程，求解参数	注意①双曲线的第一定义中，常数必须小于$|F_1F_2|$且大于0；②双曲线的第二定义中，常数$e$必须满足$e>1$；③双曲线的标准方程中，$c^2=a^2+b^2$（$c$为焦距的一半）；④双曲线的焦点位置由标准方程中$x^2$和$y^2$的符号决定；⑤求双曲线的标准方程时，需先确定焦点位置，再设出方程
		H-05-132	双曲线的几何性质	细目①双曲线的范围；②双曲线的对称性；③双曲线的顶点；④双曲线的焦点；⑤双曲线的离心率；⑥双曲线的准线；⑦双曲线的渐近线；⑧双曲线的通径	方法①范围：$|x|\geq a$（焦点在x轴上），$|y|\geq a$（焦点在y轴上）；②对称性：关于x轴、y轴、原点对称；③顶点：$(±a,0)$（焦点在x轴上）；④焦点：$(±c,0)$（焦点在x轴上）；⑤离心率：$e=\frac{c}{a}(e>1)$；⑥准线：$x=±\frac{a^2}{c}$（焦点在x轴上）；⑦渐近线：$y=±\frac{b}{a}x$（焦点在x轴上）；⑧通径：$\frac{2b^2}{a}$	注意①双曲线的离心率反映了双曲线的开口大小，$e$越接近1，双曲线的开口越小；$e$越大，双曲线的开口越大；②双曲线的渐近线是双曲线的重要几何性质，是双曲线无限接近的直线；③双曲线的准线是第二定义中的定直线；④双曲线的通径是过焦点且垂直于实轴的弦；⑤双曲线的几何性质是解决双曲线问题的基础
		H-05-133	直线与双曲线的综合问题	细目①直线与双曲线的位置关系；②直线与双曲线的弦长问题；③直线与双曲线的中点弦问题；④直线与双曲线的最值问题；⑤直线与双曲线的综合应用	方法①代数法：将直线方程与双曲线的方程联立，消去一个变量，得到一元二次方程，计算判别式$\Delta$；②弦长公式：$l=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$；③中点弦问题：利用点差法求解；④最值问题：利用几何意义或代数方法求解；⑤综合应用：结合直线方程、双曲线的方程和几何性质求解	注意①直线与双曲线的位置关系有三种：相离、相切、相交；②直线与双曲线相交时，可能有一个或两个公共点；③点差法适用于中点弦问题，需注意直线的斜率是否存在；④最值问题的核心是找到最值的取得条件；⑤直线与双曲线的综合问题，常与不等式、函数等知识点结合考查
	抛物线	H-06-134	抛物线的定义及其标准方程	细目①抛物线的定义；②抛物线的标准方程；③抛物线的参数方程；④抛物线的标准方程的求法；⑤抛物线的定义的应用	方法①定义：平面内与一个定点$F$和一条定直线$l$的距离相等的点的轨迹；②标准方程：$y^2=2px(p>0)$，$y^2=-2px(p>0)$，$x^2=2py(p>0)$，$x^2=-2py(p>0)$；③参数方程：$\begin{cases}x=2pt^2\\y=2pt\end{cases}$（$t$为参数）；④待定系数法：根据已知条件设出方程，求解参数；⑤定义的应用：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离	注意①抛物线的定义中，定点$F$不在定直线$l$上；②抛物线的标准方程有四种形式，分别对应不同的开口方向；③抛物线的焦点坐标和准线方程与标准方程的形式密切相关；④抛物线的定义的应用是解决抛物线问题的常用技巧；⑤求抛物线的标准方程时，需先确定开口方向，再设出方程
		H-06-135	抛物线的几何性质	细目①抛物线的范围；②抛物线的对称性；③抛物线的顶点；④抛物线的焦点；⑤抛物线的准线；⑥抛物线的离心率；⑦抛物线的通径	方法①范围：$x\geq0$（$y^2=2px$），$x\leq0$（$y^2=-2px$），$y\geq0$（$x^2=2py$），$y\leq0$（$x^2=-2py$）；②对称性：关于x轴或y轴对称；③顶点：原点；④焦点：$(\frac{p}{2},0)$（$y^2=2px$）；⑤准线：$x=-\frac{p}{2}$（$y^2=2px$）；⑥离心率：$e=1$；⑦通径：$2p$	注意①抛物线的离心率为1，是抛物线的重要几何性质；②抛物线的焦点坐标和准线方程与标准方程的形式密切相关；③抛物线的通径是过焦点且垂直于对称轴的弦，长度为$2p$；④抛物线的几何性质是解决抛物线问题的基础；⑤抛物线的几何性质与抛物线的标准方程密切相关
		H-06-136	直线与抛物线的位置关系	细目①直线与抛物线的相离关系；②直线与抛物线的相切关系；③直线与抛物线的相交关系；④直线与抛物线的位置关系的判定；⑤直线与抛物线的综合问题	方法①代数法：将直线方程与抛物线的方程联立，消去一个变量，得到一元二次方程（或一元一次方程），计算判别式$\Delta$；②弦长公式：$l=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}$；③中点弦问题：利用点差法求解；④最值问题：利用几何意义或代数方法求解；⑤综合应用：结合直线方程、抛物线的方程和几何性质求解	注意①直线与抛物线的位置关系有三种：相离、相切、相交；②直线与抛物线相交时，可能有一个或两个公共点；③点差法适用于中点弦问题，需注意直线的斜率是否存在；④最值问题的核心是找到最值的取得条件；⑤直线与抛物线的综合问题，常与不等式、函数等知识点结合考查
	曲线与方程	H-07-137	定义法求轨迹方程	细目①利用圆的定义求轨迹方程；②利用椭圆的定义求轨迹方程；③利用双曲线的定义求轨迹方程；④利用抛物线的定义求轨迹方程；⑤利用定义法求轨迹方程的综合应用	方法①定义法的核心：识别动点的轨迹符合某种已知曲线的定义；②步骤：判断动点的轨迹类型；根据曲线的定义，写出轨迹方程；③关键：准确识别动点的轨迹类型，熟悉各种曲线的定义；④应用：常用于解决与定点、定直线、距离有关的轨迹问题；⑤注意：轨迹的纯粹性和完备性	注意①定义法是求轨迹方程的常用方法，适用于动点的轨迹符合某种已知曲线的定义的情况；②使用定义法求轨迹方程时，需准确识别动点的轨迹类型；③熟悉各种曲线的定义是使用定义法求轨迹方程的基础；④求轨迹方程时，需注意轨迹的纯粹性和完备性；⑤定义法求轨迹方程的步骤简单，计算量小
		H-07-138	直接法求轨迹方程	细目①直接法的定义；②直接法的步骤；③直接法的应用；④直接法求轨迹方程的综合问题；⑤直接法求轨迹方程的注意事项	方法①直接法的核心：根据已知条件，直接列出动点的坐标满足的方程；②步骤：设动点的坐标为$(x,y)$；根据已知条件，列出动点的坐标满足的等式；将等式化简，得到轨迹方程；③关键：准确列出动点的坐标满足的等式；④应用：常用于解决与动点的坐标直接相关的轨迹问题；⑤注意：轨迹的纯粹性和完备性	注意①直接法是求轨迹方程的最基本方法，适用于大多数轨迹问题；②使用直接法求轨迹方程时，需准确列出动点的坐标满足的等式；③化简等式时，需注意运算的准确性；④求轨迹方程时，需注意轨迹的纯粹性和完备性；⑤直接法求轨迹方程的步骤简单，应用广泛
		H-07-139	代入法[相关点法]求轨迹方程	细目①代入法的定义；②代入法的步骤；③代入法的应用；④代入法求轨迹方程的综合问题；⑤代入法求轨迹方程的注意事项	方法①代入法的核心：利用相关点的轨迹，代入求解动点的轨迹；②步骤：设动点的坐标为$(x,y)$，相关点的坐标为$(x_0,y_0)$；根据已知条件，列出动点的坐标与相关点的坐标之间的关系式；根据相关点的轨迹，列出相关点的坐标满足的方程；将关系式代入相关点的轨迹方程，得到动点的轨迹方程；③关键：找到相关点的轨迹和动点与相关点的坐标之间的关系式；④应用：常用于解决与相关点的轨迹有关的轨迹问题	注意①代入法是求轨迹方程的常用方法，适用于与相关点的轨迹有关的轨迹问题；②使用代入法求轨迹方程时，需找到相关点的轨迹和动点与相关点的坐标之间的关系式；③代入时，需注意运算的准确性；④求轨迹方程时，需注意轨迹的纯粹性和完备性；⑤代入法求轨迹方程的步骤清晰，应用广泛