不等式推理证明考点关联速查10-12

前情概要

此表格涉及到不等式推理证明三个章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查10-12

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$F$ - 不等式+推理+证明

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
不 等 式 推 理 与 证 明	不等式与不等关系	F-01-085	用不等式刻画不等关系	细目①实际问题中的不等关系刻画；②代数式中的不等关系刻画；③几何图形中的不等关系刻画；④函数中的不等关系刻画；⑤数列中的不等关系刻画	方法①关键词法：根据“大于、小于、至少、至多、不超过、不低于”等关键词刻画不等关系；②数形结合法：结合几何图形刻画不等关系；③函数法：利用函数的单调性刻画不等关系；④作差法：通过作差判断不等关系	注意①实际问题中，需注意变量的取值范围；②刻画不等关系时，需注意不等式的方向；③几何图形中，需注意图形的位置关系；④函数中，需注意函数的定义域和单调性
		F-01-086	不等式的性质、比较大小	细目①不等式的基本性质；②不等式的运算性质；③作差法比较大小；④作商法比较大小；⑤中间量法比较大小	方法①作差法：$a-b$$>$$0$$\Leftrightarrow$$a$$>$$b$，$a-b$$=$$0$$\Leftrightarrow$$a$$=$$b$，$a-b$$<$$0$$\Leftrightarrow$$a$$<$$b$；②作商法：当$a$,$b$$>$$0$时，$\frac{a}{b}$$>$$1$$\Leftrightarrow$$a$$>$$b$，$\frac{a}{b}=1$$\Leftrightarrow$$a$$=$$b$，$\frac{a}{b}$$<$$1$$\Leftrightarrow$$a$$<$$b$；③中间量法：找到一个中间量$c$，使得$a$$>$$c$且$c$$>$$b$，则$a$$>$$b$；④利用不等式的性质比较大小	注意①作差法是比较大小的最基本方法，适用于所有实数；②作商法仅适用于正实数；③中间量法需要找到合适的中间量；④利用不等式的性质比较大小时，需注意性质的适用条件
		F-01-087	根据不等式性质求代数式范围	细目①单一代数式的范围求解；②两个代数式的和、差、积、商的范围求解；③含参代数式的范围求解；④复合代数式的范围求解；⑤代数式范围的逆向求解	方法①基本方法：利用不等式的基本性质，逐步推导代数式的范围；②线性组合法：对于两个代数式的线性组合，直接利用不等式的性质求解；③换元法：通过换元，将复合代数式转化为简单代数式，再求解范围；④数形结合法：结合几何图形，求解代数式的范围	注意①求代数式范围时，需注意不等式的方向；②两个代数式的积、商的范围，不能直接利用不等式的性质求解，需考虑变量的符号；③含参代数式的范围，需对参数分类讨论；④复合代数式的范围，需注意中间变量的取值范围；⑤避免犯“同向不等式相减、相除”的错误
	一元二次不等式及其解法	F-02-088	一元二次不等式解法	细目①标准型一元二次不等式的解法；②非标准型一元二次不等式的解法；③一元二次不等式的解集表示；④一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系；⑤一元二次不等式的逆向求解	方法①基本步骤：将一元二次不等式化为标准型$ax^2+bx+c>0$（或$<0$、$\geq0$、$\leq0$），其中$a>0$；求出对应的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根；根据二次函数$y=ax^2+bx+c$的图像，写出不等式的解集；②核心思想：数形结合，利用二次函数的图像求解	注意①必须将二次项系数化为正数；②求根时，需注意判别式$\Delta=b^2-4ac$的三种情况：$\Delta>0$（两个不相等的实根）、$\Delta=0$（两个相等的实根）、$\Delta<0$（无实根）；③解集的表示：用区间表示或集合表示；④逆向求解时，需注意根与系数的关系
		F-02-089	含参数的一元二次不等式解法	细目①二次项系数含参数的一元二次不等式解法；②一次项系数含参数的一元二次不等式解法；③常数项含参数的一元二次不等式解法；④多个参数的一元二次不等式解法；⑤含参数的一元二次不等式的解集讨论	方法①分类讨论的依据：二次项系数的符号、判别式$\Delta$的符号、方程根的大小；②分类讨论的步骤：确定分类标准；对每一类进行求解；综合各类的结果，写出最终的解集；③分类讨论的原则：不重不漏	注意①分类讨论时，需先确定分类标准；②二次项系数含参数时，需先讨论二次项系数为零的情况（此时不等式为一元一次不等式）；③判别式$\Delta$含参数时，需讨论$\Delta>0$、$\Delta=0$、$\Delta<0$三种情况；④方程根含参数时，需讨论根的大小关系；⑤分类讨论的结果，需用“或”连接
		F-02-090	一元二次不等式恒成立问题	列举题型列举： ①在 $R$ 上恒成立； ②在区间 $[a,+∞)$ 上恒成立； ③在区间 $[a,b]$ 上恒成立； ④二次不等式在 $m∈[a，b]$ 上恒成立；	列举方法列举：总体而言，首选分离参数法，次选分类讨论法； ①在 $R$ 上恒成立，采用二次项系数和判别式分类讨论求解； ②在 $[a,+∞)$ 上恒成立分离参数或分类讨论求解； ③在区间 $[a,b]$ 上恒成立分离参数或分类讨论求解； ④二次不等式在 $m∈[a，b]$ 上恒成立采用主辅元换位求解；	注意①分离参数法的核心是将参数与变量分离，转化为求函数的最值；②分类讨论法的核心是根据二次函数的图像和性质，讨论参数的取值范围；③主辅元换位法的核心是将参数作为主元，变量作为辅元，转化为一次函数或二次函数的恒成立问题；④恒成立问题的本质是求函数的最值
	基本不等式及其应用	F-03-091	利用基本不等式求最值	细目①利用基本不等式求最大值；②利用基本不等式求最小值；③含参代数式的最值求解；④复合代数式的最值求解；⑤基本不等式的变形应用	方法①基本不等式：若$a,b>0$，则$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时，等号成立；②变形公式：$a+b\geq2\sqrt{ab}$，$ab\leq(\frac{a+b}{2})^2$；③求最值的条件：一正（$a,b>0$）、二定（和定或积定）、三相等（当且仅当$a=b$时，等号成立）；④常用技巧：配凑法、换元法、常数代换法	注意①求最值时，必须满足“一正、二定、三相等”三个条件，缺一不可；②若不满足“一正”，需先将代数式化为正数；③若不满足“二定”，需通过配凑法、换元法等技巧，将代数式化为和定或积定；④若不满足“三相等”，则不能利用基本不等式求最值，需改用其他方法（如函数的单调性）；⑤含参代数式的最值，需对参数分类讨论
		F-03-092	利用基本不等式证明不等式	细目①利用基本不等式证明简单不等式；②利用基本不等式证明复合不等式；③利用基本不等式证明含参不等式；④利用基本不等式的变形公式证明不等式；⑤基本不等式与其他方法的综合应用	方法①基本思路：根据不等式的结构，选择合适的基本不等式或其变形公式，通过变形、配凑等技巧，证明不等式；②常用技巧：配凑法、换元法、常数代换法、放缩法；③综合应用：基本不等式与作差法、作商法、分析法、综合法等方法的结合	注意①证明不等式时，需注意基本不等式的适用条件；②配凑法是证明不等式的常用技巧，需根据不等式的结构，灵活配凑；③换元法可以将复杂的不等式转化为简单的不等式，便于证明；④放缩法需要注意放缩的方向和幅度，避免放缩过度；⑤综合应用时，需注意方法的结合点
	二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题	F-04-093	二元一次不等式(组)表示的平面区域	细目①二元一次不等式表示的平面区域；②二元一次不等式组表示的平面区域；③含参二元一次不等式(组)表示的平面区域；④平面区域的面积求解；⑤平面区域的形状判断	方法①判断方法：直线定界，特殊点定域；②直线定界：若不等式为$>$或$<$，则直线为虚线；若不等式为$\geq$或$\leq$，则直线为实线；③特殊点定域：当直线不经过原点时，取原点作为特殊点；当直线经过原点时，取$(1,0)$或$(0,1)$作为特殊点；④平面区域的面积：先画出平面区域，确定其形状，再根据图形的面积公式求解；⑤平面区域的形状：根据不等式组，确定平面区域的顶点，再判断其形状	注意①判断平面区域时，需注意直线的虚实；②特殊点的选择：当直线不经过原点时，原点是最方便的特殊点；③含参二元一次不等式(组)表示的平面区域，需对参数分类讨论；④平面区域的面积求解，需先确定其形状和顶点坐标；⑤平面区域的形状判断，需根据顶点坐标，计算边长、夹角等
		F-04-094	求线性目标函数的最值	细目①求线性目标函数的最大值；②求线性目标函数的最小值；③含参线性目标函数的最值求解；④线性目标函数的最值的应用；⑤线性目标函数的最值的逆向求解	方法①基本步骤：画出可行域（二元一次不等式组表示的平面区域）；画出线性目标函数对应的直线；将直线平移，观察直线在可行域内的截距变化，找到最值点；将最值点的坐标代入线性目标函数，求出最值；②核心思想：数形结合，利用直线的平移求解	细目常见的线性目标函数的形式：$z=3x\pm 2y$，进一步可能用向量的内积表示，如点 $A(x,2)$， 点 $B(3,y)$，求$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=3x+2y$的最值；
		F-04-095	线性规划的实际应用	细目①资源分配问题；②生产安排问题；③运输问题；④投资问题；⑤线性规划的实际应用的逆向问题	方法①基本步骤：分析实际问题，确定变量；根据实际问题的约束条件，列出二元一次不等式组；根据实际问题的目标，列出线性目标函数；画出可行域，求出线性目标函数的最值；根据最值，给出实际问题的解决方案；②核心思想：将实际问题转化为线性规划问题，利用线性规划的方法求解	注意①变量的确定：变量必须是可控的，且能反映实际问题的核心；②约束条件的列出：约束条件必须符合实际问题的要求，且是二元一次不等式组；③目标函数的列出：目标函数必须是线性的，且能反映实际问题的目标；④可行域的画出：可行域必须是封闭的或半封闭的；⑤最值的求解：最值点通常在可行域的顶点处
	数学归纳法(文科不涉及)	F-05-096	数学归纳法的结构和项的变化	细目①数学归纳法的基本结构；②数学归纳法的第一步（归纳奠基）；③数学归纳法的第二步（归纳递推）；④数学归纳法的项的变化；⑤数学归纳法的变形结构	方法①数学归纳法的基本结构：第一步，证明当$n=n_0$（$n_0$为起始值，通常为1）时，命题成立；第二步，假设当$n=k$（$k\geq n_0$，$k\in N^*$）时，命题成立，证明当$n=k+1$时，命题也成立；第三步，由第一步和第二步可知，对于所有$n\geq n_0$，$n\in N^*$，命题都成立；②归纳奠基的核心：证明起始值时命题成立；③归纳递推的核心：利用$n=k$时的假设，证明$n=k+1$时命题成立	注意①数学归纳法的起始值$n_0$不一定是1，需根据命题的实际情况确定；②归纳递推中，必须使用$n=k$时的假设，否则不是数学归纳法；③归纳递推中，需注意项的变化，准确写出$n=k+1$时的命题形式；④数学归纳法的变形结构：如第二数学归纳法、反向数学归纳法等；⑤数学归纳法主要用于证明与正整数有关的命题
		F-05-097	数学归纳法证明恒等式(数列通项)	细目①数学归纳法证明数列通项公式；②数学归纳法证明数列求和公式；③数学归纳法证明代数恒等式；④数学归纳法证明三角恒等式；⑤数学归纳法证明恒等式的逆向问题	方法①基本步骤：按照数学归纳法的基本结构，证明恒等式成立；②归纳奠基：证明当$n=n_0$时，恒等式成立；③归纳递推：假设当$n=k$时，恒等式成立，将$n=k+1$时的左边（或右边）进行变形，利用$n=k$时的假设，证明左边（或右边）等于右边（或左边）；④常用技巧：配凑法、因式分解法、公式法	注意①证明恒等式时，需注意恒等式的两边的结构；②归纳递推中，需准确写出$n=k+1$时的左边（或右边）的形式；③归纳递推中，必须使用$n=k$时的假设，否则证明无效；④常用技巧的选择：根据恒等式的结构，选择合适的技巧；⑤证明数列通项公式时，需注意数列的项的变化
		F-05-098	数学归纳法证明不等式	细目①数学归纳法证明简单不等式；②数学归纳法证明复合不等式；③数学归纳法证明含参不等式；④数学归纳法证明数列不等式；⑤数学归纳法证明不等式的逆向问题	方法①基本步骤：按照数学归纳法的基本结构，证明不等式成立；②归纳奠基：证明当$n=n_0$时，不等式成立；③归纳递推：假设当$n=k$时，不等式成立，将$n=k+1$时的左边（或右边）进行变形，利用$n=k$时的假设，结合放缩法等技巧，证明左边（或右边）大于（或小于）右边（或左边）；④常用技巧：放缩法、配凑法、因式分解法	注意①证明不等式时，需注意不等式的方向；②归纳递推中，需准确写出$n=k+1$时的左边（或右边）的形式；③归纳递推中，必须使用$n=k$时的假设，否则证明无效；④放缩法是证明不等式的常用技巧，需注意放缩的方向和幅度，避免放缩过度；⑤证明含参不等式时，需对参数分类讨论
		F-05-099	数学归纳法证明整除问题	细目①数学归纳法证明数的整除问题；②数学归纳法证明代数式的整除问题；③数学归纳法证明含参代数式的整除问题；④数学归纳法证明整除问题的逆向问题；⑤数学归纳法证明整除问题的综合应用	方法①基本步骤：按照数学归纳法的基本结构，证明整除问题成立；②归纳奠基：证明当$n=n_0$时，代数式能被某数整除；③归纳递推：假设当$n=k$时，代数式能被某数整除，将$n=k+1$时的代数式进行变形，拆分为$n=k$时的代数式和一个能被某数整除的代数式的和（或差），利用$n=k$时的假设，证明$n=k+1$时的代数式能被某数整除；④常用技巧：拆项法、配凑法、因式分解法	注意①证明整除问题时，需明确被哪个数整除；②归纳递推中，需准确写出$n=k+1$时的代数式的形式；③归纳递推中，必须使用$n=k$时的假设，否则证明无效；④拆项法是证明整除问题的常用技巧，需将$n=k+1$时的代数式拆分为$n=k$时的代数式和一个能被某数整除的代数式的和（或差）；⑤证明含参代数式的整除问题时，需对参数分类讨论
		F-05-100	数学归纳法证明几何问题	细目①数学归纳法证明几何图形的个数问题；②数学归纳法证明几何图形的边长问题；③数学归纳法证明几何图形的面积问题；④数学归纳法证明几何图形的体积问题；⑤数学归纳法证明几何问题的综合应用	方法①基本步骤：按照数学归纳法的基本结构，证明几何问题成立；②归纳奠基：证明当$n=n_0$时，几何问题成立；③归纳递推：假设当$n=k$时，几何问题成立，分析当$n=k+1$时，几何图形的变化情况，利用$n=k$时的假设，证明当$n=k+1$时，几何问题也成立；④常用技巧：图形分析法、递推关系法	注意①证明几何问题时，需明确几何图形的变化规律；②归纳递推中，需准确分析当$n=k+1$时，几何图形的变化情况；③归纳递推中，必须使用$n=k$时的假设，否则证明无效；④图形分析法是证明几何问题的常用技巧，需画出几何图形，直观分析其变化规律；⑤证明几何问题的综合应用时，需结合几何图形的性质和数学归纳法的方法
	推理与证明	F-06-101	合情推理与演绎推理	细目①归纳推理；②类比推理；③演绎推理；④合情推理与演绎推理的区别；⑤合情推理与演绎推理的综合应用	方法①归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论，是一种由特殊到一般的推理；②类比推理：根据两个或两类对象在某些属性上相同或相似，推演出它们在其他属性上也相同或相似，是一种由特殊到特殊的推理；③演绎推理：从一般性的原理出发，推演出某个特殊情况下的结论，是一种由一般到特殊的推理；④演绎推理的基本形式：三段论（大前提、小前提、结论）	注意①合情推理的结论不一定正确，需要进一步证明；②演绎推理的结论一定正确，只要大前提、小前提和推理形式都正确；③归纳推理的核心是归纳，需从个别事实中找出一般性的规律；④类比推理的核心是类比，需找出两个或两类对象的相似性；⑤演绎推理的核心是演绎，需严格按照三段论的形式进行推理
		F-06-102	直接证明与间接证明	细目①综合法；②分析法；③反证法；④直接证明与间接证明的区别；⑤直接证明与间接证明的综合应用	方法①综合法：从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论，是一种由因导果的证明方法；②分析法：从待证结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后达到已知条件或已被证明的事实，是一种执果索因的证明方法；③反证法：先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出矛盾，从而证明命题的结论成立，是一种间接证明的方法；④反证法的基本步骤：反设、归谬、存真	注意①综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，综合法便于书写，分析法便于思考；②反证法是间接证明的一种基本方法，主要用于证明否定性命题、唯一性命题、存在性命题等；③反证法的核心是归谬，需从反设出发，推出矛盾；④矛盾的类型：与已知条件矛盾、与已被证明的事实矛盾、与自身矛盾等；⑤直接证明与间接证明的综合应用时，需根据命题的实际情况，选择合适的证明方法