数列考点关联速查表 09

前情概要

此表格涉及到数列章节的考点，是高考备考的关键和重点章节。表格的题型梳理、方法思维、变形融合这三列几乎都是 AI 制作，剩下的思维导图和检测习题待有空手动添加。

考点关联速查09

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$E$ - 数 列

知识 章节	知识点	考点编号	★考点列举★	知识点关联项目
				题型 梳理	方法 思维	变形 融合	思维 导图	检测 习题
数 列	数列的概念与简单表示法	E-01-071	利用观察法求数列的通项公式	细目①数字型数列的通项观察；②符号型数列的通项观察；③周期型数列的通项观察；④分式型数列的通项观察；⑤递推型数列的通项观察	方法①拆分法：将数列拆分为符号、数字、分式等部分分别观察；②联想发：联想常见数列（等差、等比、平方、立方）；③周期法：找出数列周期，利用周期表示通项；④归纳法：通过前几项归纳通项公式	注意①观察法得到的通项公式不一定唯一；②注意符号的变化规律（$(-1)^n$或$(-1)^{n+1}$）；③分式型数列可分别观察分子、分母的规律；④周期数列需先确定周期长度
		E-01-072	利用 $S_n$ 与 $a_n$ 的关系求通项公式	细目①已知$S_n$求$a_n$；②已知$S_n$与$a_n$的递推关系求$a_n$；③含参$S_n$求$a_n$；④$S_n$与$a_n$关系的逆向应用；⑤分段数列的通项求解	方法①基本公式：$a_n=\begin{cases}S_1, & n=1 \\ S_n-S_{n-1}, & n\geq2\end{cases}$；②递推转化法：将$a_n$转化为$S_n-S_{n-1}$，构造$S_n$的递推关系；③检验法：求出通项后需检验$n=1$时是否满足	注意①必须分$n=1$和$n\geq2$两种情况讨论；②$n\geq2$时，$S_{n-1}$必须有意义；③最终通项公式若能统一，需写成统一形式；④若$n=1$不满足$n\geq2$的通项，需写成分段形式
		E-01-073	由递推关系求数列通项公式	细目①累加法（$a_{n+1}=a_n+f(n)$）；②累乘法（$a_{n+1}=a_n\cdot f(n)$）；③构造法（构造等差、等比数列）；④取倒数法；⑤周期递推数列的通项	方法①累加法：$a_n=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}f(k)$；②累乘法：$a_n=a_1\cdot\prod_{k=1}^{n-1}f(k)$；③构造法：形如$a_{n+1}=pa_n+q$，构造等比数列$\{a_n+\frac{q}{p-1}\}$；④取倒数法：形如$a_{n+1}=\frac{pa_n}{qa_n+r}$，取倒数转化为等差数列	注意①累加法和累乘法需注意初始项；②构造法需确定构造的数列类型；③取倒数法需注意分母不为零；④递推关系中含参数时，需对参数分类讨论
	等差数列	E-02-074	等差数列的基本运算，判定与证明	细目①等差数列的基本量（$a_1,d,n,a_n,S_n$）运算；②等差数列的判定；③等差数列的证明；④含参等差数列的判定；⑤等差数列的逆向构造	方法①基本公式：$a_n=a_1+(n-1)d$，$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d$；②判定方法：定义法（$a_{n+1}-a_n=d$）、等差中项法（$2a_{n+1}=a_n+a_{n+2}$）、通项公式法（$a_n=pn+q$）、前$n$项和公式法（$S_n=An^2+Bn$）；③证明方法：定义法和等差中项法	注意①基本运算的核心是“知三求二”；②判定和证明的区别：判定是判断数列是否为等差数列，证明是严格证明数列是等差数列；③证明等差数列时，定义法和等差中项法是最常用的方法；④含参等差数列中，参数的取值需满足等差数列的条件
		E-02-075	等差数列的性质	细目①通项的性质（$a_m$$+$$a_n$$=$$a_p$$+$$a_q$$\Leftrightarrow$$m$$+$$n$$=$$p$$+$$q$）；②前$n$项和的性质；③等差中项的性质；④连续项的性质；⑤子数列的性质	方法①通项性质：若$m$$+$$n$$=$$p$$+$$q$，则$a_m$$+$$a_n$$=$$a_p$$+$$a_q$，特别地，若$m$$+$$n$$=$$2k$，则$a_m$$+$$a_n$$=$$2a_k$；②前$n$项和性质：$S_n$,$S_{2n}$$-$$S_n$,$S_{3n}$$-$$S_{2n}$仍成等差数列；③等差中项性质：$2a_{n+1}$$=$$a_n$$+$$a_{n+2}$；④连续项性质：连续$k$项的和构成的数列仍为等差数列	注意①通项性质中，$m$,$n$,$p$,$q$均为正整数；②前$n$项和性质中，$S_n$$\neq$$0$；③子数列性质中，抽取的子数列需满足等间隔；④利用性质解题时，需注意性质的适用条件
		E-02-076	等差数列前 $n$ 项和 $S_{n}$ 的最值问题	细目①求$S_n$的最大值；②求$S_n$的最小值；③含参等差数列$S_n$的最值；④$S_n$最值的应用；⑤$S_n$最值的逆向问题	方法①图像法：$S_n=An^2+Bn$是关于$n$的二次函数，利用二次函数的图像和性质求最值；②通项法：当$a_1>0,d<0$时，$S_n$有最大值，此时需找到满足$a_n\geq0$且$a_{n+1}\leq0$的$n$；当$a_1<0,d>0$时，$S_n$有最小值，此时需找到满足$a_n\leq0$且$a_{n+1}\geq0$的$n$；③导数法：将$n$视为连续变量，利用导数求最值，再取最接近的正整数	注意①图像法中，二次函数的对称轴不一定是正整数，需取最接近的正整数；②通项法中，需注意$a_n=0$的情况；③含参等差数列中，需对参数分类讨论；④$S_n$的最值不一定唯一
	等比数列	E-03-077	等比数列的基本运算	细目①等比数列的基本量（$a_1,q,n,a_n,S_n$）运算；②等比数列的项的运算；③等比数列的和的运算；④含参等比数列的基本运算；⑤等比数列的逆向运算	方法①基本公式：$a_n=a_1q^{n-1}$，$S_n=\begin{cases}\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{a_1-a_nq}{1-q}, & q\neq1 \\ na_1, & q=1\end{cases}$；②基本运算的核心是“知三求二”；③项的运算：利用等比数列的性质简化运算；④和的运算：注意公比$q=1$和$q\neq1$的区别	注意①等比数列中，$a_1\neq0,q\neq0$；②基本运算中，需注意公比$q=1$的情况；③含参等比数列中，参数的取值需满足等比数列的条件；④等比数列的项可以是正数、负数，但不能为零
		E-03-078	等比数列的性质及应用	细目①通项的性质（$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q\Leftrightarrow m+n=p+q$）；②前$n$项和的性质；③等比中项的性质；④连续项的性质；⑤子数列的性质	方法①通项性质：若$m+n=p+q$，则$a_m\cdot a_n=a_p\cdot a_q$，特别地，若$m+n=2k$，则$a_m\cdot a_n=a_k^2$；②前$n$项和性质：当$q\neq-1$时，$S_n,S_{2n}-S_n,S_{3n}-S_{2n}$仍成等比数列；③等比中项性质：$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$；④连续项性质：连续$k$项的和构成的数列仍为等比数列（当$q\neq-1$时）	注意①通项性质中，$m,n,p,q$均为正整数；②前$n$项和性质中，$q\neq-1$且$S_n\neq0$；③等比中项性质中，$a_n\cdot a_{n+2}>0$；④子数列性质中，抽取的子数列需满足等间隔；⑤利用性质解题时，需注意性质的适用条件
		E-03-079	等比数列的判定与证明	细目①等比数列的判定；②等比数列的证明；③含参等比数列的判定；④等比数列的逆向构造；⑤等差与等比数列的综合判定	方法①判定方法：定义法（$\frac{a_{n+1}}{a_n}=q$）、等比中项法（$a_{n+1}^2=a_n\cdot a_{n+2}$）、通项公式法（$a_n=pq^{n-1}$）、前$n$项和公式法（$S_n=A-Aq^n$）；②证明方法：定义法和等比中项法；③综合判定：同时满足等差数列和等比数列的数列是常数列（非零）	注意①判定和证明的区别：判定是判断数列是否为等比数列，证明是严格证明数列是等比数列；②证明等比数列时，定义法和等比中项法是最常用的方法；③含参等比数列中，参数的取值需满足等比数列的条件；④等比数列中，所有项均不为零
	数列的求和	E-04-080	公式法和分组求和法	细目①公式法求和（等差、等比数列）；②分组求和法（等差+等差、等比+等比、等差+等比）；③含参数列的分组求和；④分段数列的分组求和；⑤公式法与分组求和法的综合应用	方法①公式法：直接利用等差、等比数列的前$n$项和公式；②分组求和法：将数列拆分为若干个等差、等比或可求和的数列，分别求和后再相加；③分组原则：将不同类型的数列分开，将同类型的数列合并	注意①公式法中，等比数列的公比$q=1$和$q\neq1$的区别；②分组求和法中，拆分的数列必须是可求和的；③含参数列的分组求和中，需对参数分类讨论；④分段数列的分组求和中，需注意分段的区间
		E-04-081	并项求和法	细目①相邻两项并项求和；②相邻三项并项求和；③周期型数列的并项求和；④符号交替型数列的并项求和；⑤并项求和法的应用	方法①相邻两项并项：将数列的相邻两项合并为一项，形成新的数列，再求和；②相邻三项并项：将数列的相邻三项合并为一项，形成新的数列，再求和；③周期型数列并项：根据数列的周期，将一个周期内的项合并为一项，再求和；④符号交替型数列并项：将符号相同的项合并为一项，再求和	注意①并项求和法的核心是“合并”，通过合并简化数列；②相邻两项并项时，需注意数列的项数是奇数还是偶数；③周期型数列并项时，需先确定周期长度；④符号交替型数列并项时，需注意符号的变化规律
		E-04-082	倒序相加求和法	细目①倒序相加求和法的基本应用；②对称型数列的倒序相加求和；③二次函数型数列的倒序相加求和；④倒序相加求和法的变形应用；⑤倒序相加求和法与其他方法的综合应用	方法①基本步骤：将数列的前$n$项和$S_n$按顺序写出，再将其倒序写出，然后将两式相加，得到一个新的等式，再求解$S_n$；②适用条件：数列的第$k$项与第$n-k+1$项的和为常数或可求和；③典型应用：等差数列的前$n$项和公式的推导	注意①倒序相加求和法的核心是“对称”，通过对称相加简化求和；②适用的数列必须满足对称项的和为常数或可求和；③倒序相加后，需注意新等式的项数；④倒序相加求和法与其他方法的综合应用中，需注意方法的结合点
		E-04-083	裂项相消法求和	细目①分式型数列的裂项相消求和；②根式型数列的裂项相消求和；③对数型数列的裂项相消求和；④三角型数列的裂项相消求和；⑤裂项相消法的应用	方法①基本步骤：将数列的通项裂分为两项的差，然后将前$n$项和展开，通过消去中间项，得到最终的和；②常见裂项公式：$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1})$，$\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$；③裂项原则：裂项后的两项必须是可消去的	细目注意尽可能竖行书写消项，减少消项的错误，同时注意消项结果和不等式证明的连接，此处用到简单的放缩法。
		E-04-084	错位相减法求和	细目①等差×等比型数列的错位相减法求和；②含参等差×等比型数列的错位相减法求和；③错位相减法的变形应用；④错位相减法的计算技巧；⑤错位相减法与其他方法的综合应用	方法①基本步骤：设$S_n$为数列的前$n$项和，将$S_n$乘以等比数列的公比$q$，得到$qS_n$，然后将$S_n$与$qS_n$相减，得到一个新的等式，再求解$S_n$；②适用条件：数列是由一个等差数列和一个等比数列对应项相乘得到的；③典型应用：数列$\{n\cdot q^{n-1}\}$的前$n$项和	注意①错位相减法的核心是“错位”，通过错位相减消去中间项；②适用的数列必须是等差×等比型；③错位相减后，需注意新等式的项数和公比；④含参等差×等比型数列的错位相减法求和中，需对参数分类讨论；⑤错位相减法的计算量较大，需注意计算的准确性