高考数学备考二级结论 5-05

前情概要

本系列博文是用豆包制作的高考数学备考二级结论，高考数学的二级结论是对教材核心定理、公式的延伸与总结，能大幅提升选择、填空题的解题速度，也能为解答题提供快速验证的思路。以下按高中数学常见核心模块整合现行高考高频二级结论，标注适用条件、易错点及高频应用场景。

手动整合为五个博文，便于阅读打印。

不等式

基本不等式

• 二元基本不等式：\(\cfrac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\)（\(a,b>0\)，当且仅当\(a=b\)取等号），变式\(a+b\geq2\sqrt{ab}\)，\(ab\leq(\cfrac{a+b}{2})^{2}\)；

• 三元基本不等式：\(\cfrac{a+b+c}{3}\geq\sqrt[3]{abc}\)（\(a,b,c>0\)，当且仅当\(a=b=c\)取等号）；

• 均值不等式链：\(\cfrac{2}{\cfrac{1}{a}+\cfrac{1}{b}}\leq\sqrt{ab}\leq\cfrac{a+b}{2}\leq\sqrt{\cfrac{a^{2}+b^{2}}{2}}\)（调和≤几何≤算术≤平方平均数）；

• 易错点：需满足“一正、二定、三相等”，不满足“定”时需配凑、换元构造定值。

绝对值不等式

• 基本性质：\(|a|-|b|\leq|a\pm b|\leq|a|+|b|\)，等号成立条件：\(|a+b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\geq0\)，\(|a-b|=|a|+|b|\Leftrightarrow ab\leq0\)；

不等式推理证明

1.比较法核心结论

• 作差法：\(a>b \Leftrightarrow a-b>0\)；\(a<b \Leftrightarrow a-b<0\)，关键步骤是差式变形（因式分解、配方、通分）。

• 作商法：若 \(a,b>0\)，则 \(a>b \Leftrightarrow \cfrac{a}{b}>1\)；若 \(a,b<0\)，则 \(a>b \Leftrightarrow \cfrac{a}{b}<1\)，适用于幂指数、分式结构的不等式。

2.综合法与分析法结论

• 综合法：由因导果，常用基本不等式、不等式性质推导，如 \(a^2+b^2\ge 2ab \Rightarrow \cfrac{a^2+b^2}{2}\ge (\cfrac{a+b}{2})^2\)。

• 分析法：执果索因，格式为“要证…只需证…即证…”，可逆推是关键，适用于条件复杂的不等式证明。

3.放缩法常用结论

• 分式放缩：\(\cfrac{1}{k(k+1)}=\cfrac{1}{k}-\cfrac{1}{k+1}\)；\(\cfrac{1}{k^2}<\cfrac{1}{k(k-1)}=\cfrac{1}{k-1}-\cfrac{1}{k} \ (k\ge2)\)

• 根式放缩：\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\cfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}<\cfrac{1}{2\sqrt{n}}\)

• 绝对值放缩：\(||a|-|b||\le|a\pm b|\le|a|+|b|\)

4.数学归纳法适用结论

针对与正整数 \(n\) 相关的不等式，步骤为：奠基（\(n=n_0\) 成立）→ 假设（\(n=k\) 成立）→ 递推（\(n=k+1\) 成立），常用于数列不等式证明。

不等式解法二级结论

1.一元二次不等式核心结论

• 设 \(ax^2+bx+c=0(a>0)\) 的两根为 \(x_1\le x_2\)，则

\(ax^2+bx+c>0 \Leftrightarrow x<x_1\) 或 \(x>x_2\)；

\(ax^2+bx+c<0 \Leftrightarrow x_1<x<x_2\)

• 恒成立结论：\(ax^2+bx+c>0(a\neq0)\) 恒成立 \(\Leftrightarrow \begin{cases}a>0\\Delta<0\end{cases}\)；

\(ax^2+bx+c<0(a\neq0)\) 恒成立 \(\Leftrightarrow \begin{cases}a<0\\ \Delta<0\end{cases}\)

2.分式不等式结论

• \(\cfrac{f(x)}{g(x)}>0 \Leftrightarrow f(x)\cdot g(x)>0\)；\(\cfrac{f(x)}{g(x)}\ge0 \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)\cdot g(x)\ge0\\g(x)\neq0\end{cases}\)

• 高次分式不等式：穿针引线法，步骤为“因式分解→定根→奇穿偶回→定区间”。

3.绝对值不等式结论

• \(|f(x)|<a(a>0) \Leftrightarrow -a<f(x)<a\)；\(|f(x)|>a(a>0) \Leftrightarrow f(x)<-a\) 或 \(f(x)>a\)

• \(|f(x)|<g(x) \Leftrightarrow -g(x)<f(x)<g(x)\)；\(|f(x)|>g(x) \Leftrightarrow f(x)<-g(x)\) 或 \(f(x)>g(x)\)

4.含参不等式结论

• 分类讨论依据：参数的取值影响不等式的类型、根的大小，如一元二次不等式中 \(a\) 的正负、两根的大小关系。

• 分离参数法：\(a>f(x)\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a>f(x)_{max}\)；\(a<f(x)\) 恒成立 \(\Leftrightarrow a<f(x)_{min}\)

高考高频结论

1.分式不等式 \(\cfrac{f(x)}{g(x)}\ge0\) 易错点：分母不能为0，解集需排除使 \(g(x)=0\) 的点。

2.分式函数值域：\(y=\cfrac{ax+b}{cx+d}(c\neq0)\) 值域为 \(y\neq\cfrac{a}{c}\)；\(y=\cfrac{ax^2+bx+c}{dx+e}\) 常用判别式法或分离常数法。

核心使用原则

1.优先记条件：所有二级结论都有适用条件（如等比数列求和需区分 \(q=1\) 与 \(q\neq1\) ），忽略条件直接套用必出错，务必先明确“什么时候能用”。

2.解答题不直用 ：选填题可直接用结论速解，但解答题需从教材定理、公式出发推导结论，再代入使用（如用极化恒等式 需先推导，不可直接写结果）。

3.结合错题巩固 ：每个结论搭配1-2道错题，标注易错点，避免死记硬背，做到“知其然也知其所以然”。

4.取舍冷门结论 ：冷门结论（如泊松分布、柯西不等式）仅针对全国卷选考或压轴题，基础薄弱者可优先掌握高频结论，再突破冷门考点。