高考数学备考二级结论 5-04

前情概要

本系列博文是用豆包制作的高考数学备考二级结论，高考数学的二级结论是对教材核心定理、公式的延伸与总结，能大幅提升选择、填空题的解题速度，也能为解答题提供快速验证的思路。以下按高中数学常见核心模块整合现行高考高频二级结论，标注适用条件、易错点及高频应用场景。

手动整合为五个博文，便于阅读打印。

立体几何

（一）空间几何体表面积与体积

• 棱柱体积：\(V=Sh\)（\(S\)为底面积，\(h\)为高）；

• 棱锥体积：\(V=\cfrac{1}{3}Sh\)；棱台体积：\(V=\cfrac{1}{3}h(S+\sqrt{SS'}+S')\)（\(S,S'\)为上下底面积）；

• 圆柱表面积：\(S=2\pi r(r+l)\)（\(r\)为底面半径，\(l\)为母线长），体积\(V=\pi r^{2}h\)；

• 圆锥表面积：\(S=\pi r(r+l)\)，体积\(V=\cfrac{1}{3}\pi r^{2}h\)；

• 圆台表面积：\(S=\pi(r^{2}+r'^{2}+rl+r'l)\)，体积\(V=\cfrac{1}{3}\pi h(r^{2}+rr'+r'^{2})\)；

• 球表面积：\(S=4\pi R^{2}\)，体积\(V=\cfrac{4}{3}\pi R^{3}\)（\(R\)为球半径）。

（二）空间中点、线、面位置关系

1 平行关系判定与性质

• 线面平行：平面外直线与平面内直线平行\(\Rightarrow\)线面平行；线面平行\(+\)过线平面与原平面相交\(\Rightarrow\)线与交线平行；

• 面面平行：一个平面内两条相交直线都平行于另一平面\(\Rightarrow\)面面平行；面面平行\(+\)与第三平面相交\(\Rightarrow\)交线平行。

2 垂直关系判定与性质

• 线面垂直：直线与平面内两条相交直线都垂直\(\Rightarrow\)线面垂直；两条直线都垂直于同一平面\(\Rightarrow\)两直线平行；

• 面面垂直：一个平面过另一平面的垂线\(\Rightarrow\)面面垂直；面面垂直\(+\)平面内直线垂直交线\(\Rightarrow\)线面垂直。

（三）空间角的计算

• 异面直线所成角：范围\((0,\cfrac{\pi}{2}]\)，向量法\(\cos\theta=\cfrac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\)为方向向量）；

• 线面角：范围\([0,\cfrac{\pi}{2}]\)，向量法\(\sin\theta=\cfrac{|\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{m}\)为直线方向向量，\(\overrightarrow{n}\)为平面法向量）；

• 二面角：范围\([0,\pi]\)，向量法\(\cos\theta=\pm\cfrac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}\)（\(\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}\)为两平面法向量，符号由开口方向决定）。

（四）空间距离的计算

• 点到平面距离：向量法\(d=\cfrac{|\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}\)（\(P\)为点，\(A\)为平面内点，\(\overrightarrow{n}\)为平面法向量）；

• 线面距离：直线与平面平行时，直线上点到平面的距离即为线面距离；

• 面面距离：两平面平行时，一个平面内点到另一平面的距离即为面面距离。

（五）空间几何体的外接球与内切球

• 长方体外接球：体对角线为直径，半径\(R=\cfrac{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}{2}\)（\(a,b,c\)为长宽高）；

• 正方体外接球：半径\(R=\cfrac{\sqrt{3}a}{2}\)，内切球半径\(r=\cfrac{a}{2}\)（\(a\)为棱长）；

• 正四面体：外接球半径\(R=\cfrac{\sqrt{6}}{4}a\)，内切球半径\(r=\cfrac{\sqrt{6}}{12}a\)（\(a\)为棱长），且\(R=3r\)，球心重合。

（六）空间向量坐标运算

• 坐标运算：\(\overrightarrow{a}=(x_{1},y_{1},z_{1})\)，\(\overrightarrow{b}=(x_{2},y_{2},z_{2})\)，则\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\)，\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+z_{1}^{2}}\)；

• 垂直与平行：\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}=0\)；\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_{1}=\lambda x_{2},y_{1}=\lambda y_{2},z_{1}=\lambda z_{2}\)（\(\lambda\in R\)）。

概率与统计

（一）概率基本性质

• 互斥事件：\(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\)；

• 对立事件：\(P(\overline{A})=1-P(A)\)；

• 相互独立事件：\(P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)\)。

（二）古典概型与几何概型

• 古典概型：\(P(A)=\cfrac{事件A包含的基本事件数}{试验的基本事件总数}\)；

• 几何概型：\(P(A)=\cfrac{构成事件A的区域长度（面积/体积）}{试验全部结果的区域长度（面积/体积）}\)。

（三）条件概率、全概率公式与贝叶斯公式

• 条件概率：\(P(B|A)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(A)}\)（\(P(A)>0\)）；

• 全概率公式：\(P(B)=\sum\limits_{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})\)（\(A_{1},\cdots,A_{n}\)为样本空间划分，\(P(A_{i})>0\)）；

• 贝叶斯公式：\(P(A_{i}|B)=\cfrac{P(A_{i})P(B|A_{i})}{\sum\limits_{j=1}^{n}P(A_{j})P(B|A_{j})}\)（\(P(B)>0\)）。

（四）离散型随机变量

1 分布列、期望与方差

• 分布列性质：\(p_{i}\geq0\)，\(\sum\limits_{i=1}^{n}p_{i}=1\)；

• 期望：\(E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}p_{i}\)，性质\(E(aX+b)=aE(X)+b\)；

• 方差：\(D(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-E(X))^{2}p_{i}\)，性质\(D(aX+b)=a^{2}D(X)\)，推论\(D(X)=E(X^{2})-(E(X))^{2}\)。

2 常见分布

• 两点分布：\(E(X)=p\)，\(D(X)=p(1-p)\)（\(p\)为成功概率）；

• 二项分布\(X\sim B(n,p)\)：\(P(X=k)=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}\)，\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)；

• 超几何分布：\(E(X)=n\cdot\cfrac{M}{N}\)（\(N\)为总体数，\(M\)为次品数，\(n\)为样本数）。

（五）统计基本概念与方法

• 数据特征：众数（出现次数最多）、中位数（中间位置数）、平均数\(\overline{x}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}\)、方差\(s^{2}=\cfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2}\)、标准差\(s\)；

• 线性回归方程：\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\)，其中\(\hat{b}=\cfrac{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}y_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\overline{x}^{2}}\)，\(\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}\)，必过样本中心点\((\overline{x},\overline{y})\)；

• 独立性检验：检验统计量\(\chi^{2}=\cfrac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}\)，判断分类变量关联性；

• 相关系数\(r\)：\(|r|\leq1\)，越接近\(1\)线性相关性越强，\(r>0\)正相关，\(r<0\)负相关。

核心使用原则

1.优先记条件：所有二级结论都有适用条件（如等比数列求和需区分 \(q=1\) 与 \(q\neq1\) ），忽略条件直接套用必出错，务必先明确“什么时候能用”。

2.解答题不直用 ：选填题可直接用结论速解，但解答题需从教材定理、公式出发推导结论，再代入使用（如用极化恒等式 需先推导，不可直接写结果）。

3.结合错题巩固 ：每个结论搭配1-2道错题，标注易错点，避免死记硬背，做到“知其然也知其所以然”。

4.取舍冷门结论 ：冷门结论（如泊松分布、柯西不等式）仅针对全国卷选考或压轴题，基础薄弱者可优先掌握高频结论，再突破冷门考点。