高考数学备考二级结论 5-03

前情概要

本系列博文是用豆包制作的高考数学备考二级结论，高考数学的二级结论是对教材核心定理、公式的延伸与总结，能大幅提升选择、填空题的解题速度，也能为解答题提供快速验证的思路。以下按高中数学常见核心模块整合现行高考高频二级结论，标注适用条件、易错点及高频应用场景。

手动整合为五个博文，便于阅读打印。

平面向量

1 线性运算

• 三角形法则：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)，\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB}\)；

• 平行四边形法则：\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\)（\(ABCD\)为平行四边形）；

• 三点共线定理：\(\overrightarrow{OA}=\lambda\overrightarrow{OB}+\mu\overrightarrow{OC}\)且\(\lambda+\mu=1 \Leftrightarrow A,B,C\)共线；

• 中线向量公式：\(D\)为\(BC\)中点，则\(\overrightarrow{AD}=\cfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\)。

2 数量积及性质

• 数量积：\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos\theta\)（\(\theta\)为夹角），坐标形式\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\)；

• 模长公式：\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{a}}\)，坐标形式\(|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\)；

• 夹角公式：\(\cos\theta=\cfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}\)，坐标形式\(\cos\theta=\cfrac{x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{\sqrt{x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}\sqrt{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\)；

• 垂直与平行：\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}=0\)；\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\Leftrightarrow x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=0\)。

3 向量投影

\(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影为\(\cfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b}|}\)，\(\overrightarrow{b}\)在\(\overrightarrow{a}\)方向上的投影为\(\cfrac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|}\)。

解析几何

1 直线方程与斜率

• 斜率公式：过\(P_{1}(x_{1},y_{1})\)，\(P_{2}(x_{2},y_{2})\)的斜率\(k=\cfrac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x_{1}\neq x_{2})\)，倾斜角\(\alpha\)满足\(k=\tan\alpha(\alpha\neq\cfrac{\pi}{2})\)；

• 两直线位置关系：

  • 平行：\(y=k_{1}x+b_{1}\)与\(y=k_{2}x+b_{2}\)，需\(k_{1}=k_{2}\)且\(b_{1}\neq b_{2}\)；

  • 垂直：\(y=k_{1}x+b_{1}\)与\(y=k_{2}x+b_{2}\)，需\(k_{1}k_{2}=-1\)。

• 距离公式：点\((x_{0},y_{0})\)到直线\(Ax+By+C=0\)的距离\(d=\cfrac{|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)；两平行线\(Ax+By+C_{1}=0\)与\(Ax+By+C_{2}=0\)的距离\(d=\cfrac{|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)。

2 圆的方程与性质

• 标准方程：\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)（圆心\((a,b)\)，半径\(r\)）；

• 一般方程：\(x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0\)（圆心\((-\cfrac{D}{2},-\cfrac{E}{2})\)，半径\(r=\cfrac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}\)，需\(D^{2}+E^{2}-4F>0\)）；

• 直线与圆位置关系：相离\(d>r\)，相切\(d=r\)，相交\(d<r\)；

• 切线方程：过圆\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)上点\((x_{0},y_{0})\)的切线为\(x_{0}x+y_{0}y=r^{2}\)；过\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)上点\((x_{0},y_{0})\)的切线为\((x_{0}-a)(x-a)+(y_{0}-b)(y-b)=r^{2}\)；

• 两圆位置关系：设圆心距\(d\)，半径\(r_{1},r_{2}\)（\(r_{1}\geq r_{2}\)），外离\(d>r_{1}+r_{2}\)，外切\(d=r_{1}+r_{2}\)，相交\(r_{1}-r_{2}<d<r_{1}+r_{2}\)，内切\(d=r_{1}-r_{2}\)，内含\(d<r_{1}-r_{2}\)。

3 直线参数方程

• 标准参数方程：过\((x_{0},y_{0})\)、倾斜角\(\alpha\)的直线：\(\begin{cases}x=x_{0}+t\cos\alpha\\y=y_{0}+t\sin\alpha\end{cases}\)（\(t\)为参数，几何意义：点到\((x_{0},y_{0})\)的距离，正负表示方向）；

• 一般参数方程：过\((x_{0},y_{0})\)、方向向量\((a,b)\)的直线：\(\begin{cases}x=x_{0}+at\\y=y_{0}+bt\end{cases}\)（\(t\)为参数）。

圆锥曲线

1 椭圆

• 标准方程：\(\cfrac{x^{2}}{a^{2}}+\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a>b>0\)，焦点在\(x\)轴）；\(\cfrac{y^{2}}{a^{2}}+\cfrac{x^{2}}{b^{2}}=1\)（焦点在\(y\)轴）；

• 核心参数：\(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)，离心率\(e=\cfrac{c}{a}\)（\(0<e<1\)）；

• 定义：\(|PF_{1}|+|PF_{2}|=2a\)（\(2a>|F_{1}F_{2}|\)）；

• 准线与通径：准线\(x=\pm\cfrac{a^{2}}{c}\)（\(x\)轴焦点），通径长\(\cfrac{2b^{2}}{a}\)；

• 焦半径公式：\(|PF_{1}|=a+ex_{0}\)，\(|PF_{2}|=a-ex_{0}\)（\(P(x_{0},y_{0})\)为椭圆上点）。

2 双曲线

• 标准方程：\(\cfrac{x^{2}}{a^{2}}-\cfrac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a,b>0\)，焦点在\(x\)轴）；\(\cfrac{y^{2}}{a^{2}}-\cfrac{x^{2}}{b^{2}}=1\)（焦点在\(y\)轴）；

• 核心参数：\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)，离心率\(e=\cfrac{c}{a}\)（\(e>1\)）；

• 定义：\(||PF_{1}|-|PF_{2}||=2a\)（\(0<2a<|F_{1}F_{2}|\)）；

• 渐近线与通径：渐近线\(y=\pm\cfrac{b}{a}x\)（\(x\)轴焦点），通径长\(\cfrac{2b^{2}}{a}\)；

• 焦半径公式：右支上\(|PF_{1}|=ex_{0}+a\)，\(|PF_{2}|=ex_{0}-a\)；左支上\(|PF_{1}|=-ex_{0}-a\)，\(|PF_{2}|=-ex_{0}+a\)。

3 抛物线

• 标准方程：\(y^{2}=2px\)（\(p>0\)，\(x\)轴正半轴焦点），\(y^{2}=-2px\)、\(x^{2}=\pm2py\)同理；

• 核心参数：焦准距\(p\)，焦点\((\cfrac{p}{2},0)\)，准线\(x=-\cfrac{p}{2}\)（\(y^{2}=2px\)）；

• 定义：\(|PF|=d\)（\(d\)为点\(P\)到准线的距离）；

• 通径与焦半径：通径长\(2p\)，焦半径\(|PF|=x_{0}+\cfrac{p}{2}\)（\(y^{2}=2px\)上点\(P(x_{0},y_{0})\)）；

• 切线方程：过\(y^{2}=2px\)上点\((x_{0},y_{0})\)的切线为\(y_{0}y=p(x+x_{0})\)。

4 圆锥曲线参数方程与极坐标方程

• 椭圆参数方程：\(\begin{cases}x=a\cos\theta\\y=b\sin\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为离心角）；

• 双曲线参数方程：\(\begin{cases}x=a\sec\theta\\y=b\tan\theta\end{cases}\)（\(\theta\)为离心角）；

• 抛物线参数方程：\(y^{2}=2px\)的参数方程\(\begin{cases}x=2pt^{2}\\y=2pt\end{cases}\)（\(t\)为参数，几何意义：与原点连线斜率的倒数）；

• 统一极坐标方程：\(\rho=\cfrac{ep}{1-e\cos\theta}\)（\(e\)为离心率，\(p\)为焦准距，椭圆\(0<e<1\)，双曲线\(e>1\)，抛物线\(e=1\)）。

5 圆锥曲线通用结论

• 焦点三角形面积：椭圆\(S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=b^{2}\tan\cfrac{\theta}{2}\)，双曲线\(S_{\triangle PF_{1}F_{2}}=b^{2}\cot\cfrac{\theta}{2}\)（\(\theta=\angle F_{1}PF_{2}\)）；

• 弦长公式：直线\(y=kx+b\)与曲线交于\(A(x_{1},y_{1})\)、\(B(x_{2},y_{2})\)，则\(|AB|=\sqrt{1+k^{2}}\cdot\sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}}\)；

• 中点弦问题（点差法）：设弦\(AB\)中点\(M(x_{0},y_{0})\)，将\(A,B\)坐标代入曲线方程相减，得弦斜率与中点坐标关系。

核心使用原则

1.优先记条件：所有二级结论都有适用条件（如等比数列求和需区分 \(q=1\) 与 \(q\neq1\) ），忽略条件直接套用必出错，务必先明确“什么时候能用”。

2.解答题不直用 ：选填题可直接用结论速解，但解答题需从教材定理、公式出发推导结论，再代入使用（如用极化恒等式 需先推导，不可直接写结果）。

3.结合错题巩固 ：每个结论搭配1-2道错题，标注易错点，避免死记硬背，做到“知其然也知其所以然”。

4.取舍冷门结论 ：冷门结论（如泊松分布、柯西不等式）仅针对全国卷选考或压轴题，基础薄弱者可优先掌握高频结论，再突破冷门考点。