高考数学备考二级结论 5-02

前情概要

本系列博文是用豆包制作的高考数学备考二级结论，高考数学的二级结论是对教材核心定理、公式的延伸与总结，能大幅提升选择、填空题的解题速度，也能为解答题提供快速验证的思路。以下按高中数学常见核心模块整合现行高考高频二级结论，标注适用条件、易错点及高频应用场景。

手动整合为五个博文，便于阅读打印。

数列章节

等差数列核心结论

• 通项延伸： \(a_{n}=a_{m}+(n-m)d\) （ \(d\) 为公差）。

• 前 \(n\) 项和延伸： \(S_{n}=\cfrac{n(a_{1}+a_{n})}{2}=na_{1}+\cfrac{n(n-1)}{2}d\) ； \(S_{2n-1}=(2n-1)a_{n}\) （奇数项和=中间项×项数）。

• 等和性质：若 \(m+n=p+q\) ，则 \(a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}\) ；若 \(m+n=2p\) ，则 \(a_{m}+a_{n}=2a_{p}\) 。

• 前 \(n\) 项和性质： \(S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}\) 仍成等差数列，公差为 \(n^{2}d\) 。

等比数列核心结论

• 通项延伸： \(a_{n}=a_{m}q^{n-m}\) （ \(q\) 为公比， \(q\neq0\) ）。

• 前 \(n\) 项和延伸： \(S_{n}=\begin{cases}na_{1},&q=1\\\cfrac{a_{1}(1-q^{n})}{1-q}=\cfrac{a_{1}-a_{n}q}{1-q},&q\neq1\end{cases}\) 。

• 等积性质：若 \(m+n=p+q\) ，则 \(a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}\cdot a_{q}\) ；若 \(m+n=2p\) ，则 \(a_{m}\cdot a_{n}=a_{p}^{2}\) 。

• 前 \(n\) 项和性质： \(q\neq-1\) 时， \(S_{n},S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n}\) 成等比数列，公比为 \(q^{n}\) ； \(q=-1\) 且 \(n\) 为偶数时，该性质不成立。

数列求和常用结论

1. 裂项相消核心公式

• \(\cfrac{1}{n(n+1)}=\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+1}\) ；

• \(\cfrac{1}{n(n+k)}=\cfrac{1}{k}(\cfrac{1}{n}-\cfrac{1}{n+k})\) ；

• \(\cfrac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\) ；

• \(\cfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\cfrac{1}{2}(\cfrac{1}{2n-1}-\cfrac{1}{2n+1})\) 。

2. 错位相减适用条件

数列 \(\{a_{n}\cdot b_{n}\}\) 为差比数列，其中 \(\{a_{n}\}\) 为等差数列， \(\{b_{n}\}\) 为等比数列。

递推数列通项求法

• 累加法：适用于 \(a_{n+1}=a_{n}+f(n)\) ，通项 \(a_{n}=a_{1}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}f(k)\) （ \(n\geq2\) ）。

• 累乘法：适用于 \(a_{n+1}=a_{n}\cdot f(n)\) ，通项 \(a_{n}=a_{1}\cdot\prod\limits_{k=1}^{n-1}f(k)\) （ \(n\geq2\) ）。

• 构造法：适用于 \(a_{n+1}=pa_{n}+q\) （ \(p\neq1\) ， \(q\neq0\) ），构造 \(a_{n+1}+\lambda=p(a_{n}+\lambda)\) （ \(\lambda=\cfrac{q}{p-1}\) ），转化为等比数列求解。

• 取倒数法：适用于 \(a_{n+1}=\cfrac{pa_{n}}{qa_{n}+r}\) （ \(p,q,r\neq0\) ），变形为 \(\cfrac{1}{a_{n+1}}=\cfrac{r}{p}\cdot\cfrac{1}{a_{n}}+\cfrac{q}{p}\) ，转化为等差数列或构造数列求解。

数列最值求法

• 等差数列： \(d>0\) 时递增，最小值为 \(a_{1}\) ； \(d<0\) 时递减，最大值为 \(a_{1}\) ； \(d=0\) 时为常数列。

• 等比数列： \(q>1\) 且 \(a_{1}>0\) 时递增，最小值为 \(a_{1}\) ； \(0<q<1\) 且 \(a_{1}>0\) 时递减，最大值为 \(a_{1}\) ； \(q<0\) 时无最值。

• 一般数列：结合通项单调性或前 \(n\) 项和不等式求解。

三角函数

同角三角函数基本关系

• 平方关系： \(\sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha=1\) ；

• 商数关系： \(\tan\alpha=\cfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}(\cos\alpha\neq0)\) ；

• 推论： \(1+\tan^{2}\alpha=\sec^{2}\alpha\) ； \(1+\cot^{2}\alpha=\csc^{2}\alpha\) 。

诱导公式核心结论

口诀：“奇变偶不变，符号看象限”（“奇、偶”指 \(\cfrac{\pi}{2}\) 的倍数奇偶性；“符号”指将 \(\alpha\) 看作锐角时原函数值的符号）。

常用公式：

• \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\) ， \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\) ， \(\tan(\pi-\alpha)=-\tan\alpha\) ；

• \(\sin(\cfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\pm\cos\alpha\) ， \(\cos(\cfrac{\pi}{2}\pm\alpha)=\mp\sin\alpha\) 。

和差角与二倍角公式

1. 和差角公式

• \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\) ；

• \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\) ；

• \(\tan(\alpha\pm\beta)=\cfrac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\tan\beta}\) 。

2. 二倍角公式

• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\) ；

• \(\cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha\) ；

• \(\tan2\alpha=\cfrac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}\) 。

3. 衍生公式

• 降幂公式： \(\sin^{2}\alpha=\cfrac{1-\cos2\alpha}{2}\) ， \(\cos^{2}\alpha=\cfrac{1+\cos2\alpha}{2}\) ；

• 辅助角公式： \(a\sin\alpha+b\cos\alpha=\sqrt{a^{2}+b^{2}}\sin(\alpha+\varphi)\) （ \(\tan\varphi=\cfrac{b}{a}\) ， \(\varphi\) 终边过 \((a,b)\) ）。

三角函数单调性与最值

• 正弦函数 \(y=\sin x\) ：递增 \([2k\pi-\cfrac{\pi}{2},2k\pi+\cfrac{\pi}{2}]\) ，递减 \([2k\pi+\cfrac{\pi}{2},2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}]\) （ \(k\in Z\) ）；

• 余弦函数 \(y=\cos x\) ：递增 \([2k\pi-\pi,2k\pi]\) ，递减 \([2k\pi,2k\pi+\pi]\) （ \(k\in Z\) ）；

• 正切函数 \(y=\tan x\) ：递增 \((k\pi-\cfrac{\pi}{2},k\pi+\cfrac{\pi}{2})\) （ \(k\in Z\) ），无递减区间；

• 最值结论： \(y=A\sin(\omega x+\varphi)+B\) （ \(A>0,\omega>0\) ），最大值 \(A+B\) ，最小值 \(-A+B\) ，周期 \(T=\cfrac{2\pi}{\omega}\) 。

三角形中的三角函数结论

1. 正余弦定理及推论

• 正弦定理： \(\cfrac{a}{\sin A}=\cfrac{b}{\sin B}=\cfrac{c}{\sin C}=2R\) （ \(R\) 为外接圆半径），推论 \(a=2R\sin A\) ， \(a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C\) ；

• 余弦定理： \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A\) ，推论 \(\cos A=\cfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\) 。

2. 三角形面积公式

• \(S=\cfrac{1}{2}bc\sin A=\cfrac{1}{2}ac\sin B=\cfrac{1}{2}ab\sin C\) ；

• \(S=\cfrac{abc}{4R}\) ， \(S=r\cdot s\) （ \(r\) 为内切圆半径， \(s=\cfrac{a+b+c}{2}\) 为半周长）。

3. 内角和与边角关系

• \(A+B+C=\pi\) ，故 \(\sin(A+B)=\sin C\) ， \(\cos(A+B)=-\cos C\) ；

• 大边对大角： \(a>b\Leftrightarrow A>B\Leftrightarrow\sin A>\sin B\) ；

• 锐角三角形充要条件：任意两边平方和大于第三边（如 \(a^{2}+b^{2}>c^{2}\) ）。

核心使用原则

1.优先记条件：所有二级结论都有适用条件（如等比数列求和需区分 \(q=1\) 与 \(q\neq1\) ），忽略条件直接套用必出错，务必先明确“什么时候能用”。

2.解答题不直用 ：选填题可直接用结论速解，但解答题需从教材定理、公式出发推导结论，再代入使用（如用极化恒等式 需先推导，不可直接写结果）。

3.结合错题巩固 ：每个结论搭配1-2道错题，标注易错点，避免死记硬背，做到“知其然也知其所以然”。

4.取舍冷门结论 ：冷门结论（如泊松分布、柯西不等式）仅针对全国卷选考或压轴题，基础薄弱者可优先掌握高频结论，再突破冷门考点。