高考数学备考二级结论 5-01

前情概要

本系列博文是用豆包制作的高考数学备考二级结论，高考数学的二级结论是对教材核心定理、公式的延伸与总结，能大幅提升选择、填空题的解题速度，也能为解答题提供快速验证的思路。以下按高中数学常见核心模块整合现行高考高频二级结论，标注适用条件、易错点及高频应用场景。

手动整合为五个博文，便于阅读打印。

集合章节

• 德摩根定律：\(\complement_{U}(A\cap B)=(\complement_{U}A)\cup(\complement_{U}B)\)；\(\complement_{U}(A\cup B)=(\complement_{U}A)\cap(\complement_{U}B)\)。

• 子集个数公式：若集合\(A\)中有\(n\)个元素，则其子集个数为\(2^{n}\)，真子集个数为\(2^{n}-1\)，非空真子集个数为\(2^{n}-2\)。

• 易错点：空集是任何集合的子集，在含参数的集合问题中需优先考虑。

函数和初等函数

函数单调性与奇偶性

• 奇偶性运算：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇（前提是定义域关于原点对称）。

• 复合函数单调性：“同增异减”（内外层函数单调性相同，复合函数递增；反之递减）。

• 奇偶性最值性质：奇函数 \(f(x)\) 在\([ a,b ]\) 上有最大值 \(M\)，则在 \([ -b,-a ]\) 上有最小值 \(-M\) ；偶函数在对称区间上最值相同。

函数零点与方程根

• 零点存在定理延伸：若\(f(x)\)在\([a,b]\)上连续且单调，且\(f(a)\cdot f(b)<0\)，则\(f(x)\)在\((a,b)\)内有唯一零点。

• 二次函数根的分布：设\(f(x)=ax^{2}+bx+c(a>0)\)，两根 \(x\_{1}\)、\(x\_{2}\) 满足 \(x_{1}<m<x_{2}\) 的充要条件是 \(f(m)<0\)；两根都大于 \(m\) 的充要条件是\(\begin{cases}\Delta\geq0\\-\cfrac{b}{2a}>m\\f(m)>0\end{cases}\)。

指数与对数函数

• 对数换底公式：\(\log_{a}b=\cfrac{\log_{c}b}{\log_{c}a}(a>0,a\neq1,c>0,c\neq1,b>0)\)。

• 推论：\(\log_{a}b\cdot\log_{b}a=1\)；\(\log_{a^{n}}b^{m}=\cfrac{m}{n}\log_{a}b\)；\(\log_{a}b=\cfrac{1}{\log_{b}a}\)。

• 单调性：当\(a>1\)时，\(y=a^{x}\) 与 \(y=\log\_{a}x\) 在定义域内递增；当 \(0<a<1\)时，递减。

抽象函数的周期性与对称性

1. 周期性

• 若\(f(x+a)=f(x)\)（\(a\neq0\)），则周期\(T=a\)；

• 若\(f(x+a)=-f(x)\)或\(f(x+a)=\pm\cfrac{1}{f(x)}\)（\(a\neq0\)，\(f(x)\neq0\)），则周期\(T=2a\)；

• 若\(f(x+a)=f(x-a)\)（\(a\neq0\)），则周期\(T=2a\)。

2. 对称性

• 若\(f(a+x)=f(a-x)\)，则 \(f(x)\) 图象关于直线 \(x=a\) 对称；

• 若\(f(a+x)=f(b-x)\)，则 \(f(x)\) 图象关于直线 \(x=\cfrac{a+b}{2}\) 对称；

• 若\(f(a+x)+f(a-x)=2b\)，则 \(f(x)\) 图象关于点 \((a,b)\) 对称。

函数最值与值域常用结论

• 一次函数\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）在\([m,n]\)上最值：\(k>0\)时，\(\min=f(m)\)，\(\max=f(n)\)；\(k<0\)时，\(\min=f(n)\)，\(\max=f(m)\)。

• 二次函数\(y=ax^{2}+bx+c\)（\(a\neq0\)）在\([m,n]\)上最值：先求对称轴\(x=-\cfrac{b}{2a}\)，再根据对称轴与区间的左、中、右位置分三类讨论。

• 反比例函数\(y=\cfrac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）值域为\((-\infty,0)\cup(0,+\infty)\)，\(k>0\)时在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上分别递减，\(k<0\)时分别递增。

核心使用原则

1.优先记条件：所有二级结论都有适用条件（如等比数列求和需区分 \(q=1\) 与 \(q\neq1\) ），忽略条件直接套用必出错，务必先明确“什么时候能用”。

2.解答题不直用 ：选填题可直接用结论速解，但解答题需从教材定理、公式出发推导结论，再代入使用（如用极化恒等式 需先推导，不可直接写结果）。

3.结合错题巩固 ：每个结论搭配1-2道错题，标注易错点，避免死记硬背，做到“知其然也知其所以然”。

4.取舍冷门结论 ：冷门结论（如泊松分布、柯西不等式）仅针对全国卷选考或压轴题，基础薄弱者可优先掌握高频结论，再突破冷门考点。