已知$f(x)$对称中心求$f(2x+1)$的对称中心

前情概要

• 回顾并明确函数图象平移变换与对称中心的关系

%%例说变换%%：已知 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图象关于点 \((2,1)\) 对称，则 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图象变换为 \(y\)\(=\)\(f(x + 3)\)\(+\)\(1\) 的图象后，对称中心变为 \((2,1)\)。

利用图像变换说明，由于 \(f(x+3)\) 是用 \(x+3\) \(\Rightarrow x\) [体现在数上的变化] ，对应的图像的变化是将 \(f(x)\) 的图像向左平移 \(3\) 个单位[口诀：左加右减]，得到函数 \(f(x+3)\) 的图像，其对称中心对应的变换为 \((-1,1)\) ；再将函数 \(f(x+3)\) 相似平移 \(1\) 个单位，得到 \(f(x+3)+1\) 的图像，其对称中心对应的变换为 \((-1,2)\) ；

归纳总结：已知函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于点 \((a,b)\) 对称，则函数 \(y\)\(=\)\(f(x+m)\)\(+\)\(n\) 就关于点 \((a-m,b+n)\) 对称。

简单说明，对于函数\(y\)\(=\)\(f(x)\)到\(y\)\(=\)\(f(x + m)\)，是图象向左( \(m\)\(\gt\)\(0\) )或向右 ( \(m\)\(\lt\)\(0\) ) [口诀：左加右减] 平移\(\vert\)\(m\)\(\vert\)个单位；对于函数 \(y\)\(=\)\(f(x+m)\) 到\(y\)\(=\)\(f(x+m)\)\(+\)\(n\)，是图象向上( \(n\)\(\gt\)\(0\) )或向下( \(n\)\(\lt\)\(0\) ) [口诀：上加下减] 平移 \(\vert\)\(n\)\(\vert\) 个单位。

结论： 函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于点 \((a,b)\) 对称，则函数 \(y\)\(=\)\(f(x + m)\)\(+\)\(n\) 关于点 \((a-m,b+n)\) 对称。

典例剖析

【来自知乎问答，上述问题的引申】若 \(f(x)\) 关于 \((1,0)\) 对称，则 \(f(2x+1)\) 关于谁对称 .

解析：先考虑 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 到 \(y\)\(=\)\(f(2x)\) 的变换，将 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 图象上所有点的横坐标缩短为原来的\(\cfrac{1}{2}\)(纵坐标不变)得到函数 \(y\)\(=\)\(f(2x)\)，由于 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于点 \((1,0)\) 对称，则 \(y\)\(=\)\(f(2x)\) 关于点 \((\cfrac{1}{2},0)\) 对称 [因为横坐标变为原来的\(\cfrac{1}{2}\)，对称中心横坐标也变为原来的\(\cfrac{1}{2}\) ].

再由 \(y\)\(=\)\(f(2x)\) 到 \(y\)\(=\)\(f(2x+1)\)，将 \(y\)\(=\)\(f(2x)\) 的图象向左平移 \(\cfrac{1}{2}\) 个单位得到函数 \(y=f(2x+1)\)的图像 [根据 \(2x\) 到 \(2x\)\(+\)\(1\)，即 \(2(x+\cfrac{1}{2})\) ]，根据函数图象平移与对称中心的关系，\(y\)\(=\)\(f(2x)\) 关于点 \((\cfrac{1}{2},0)\) 对称，向左平移 \(\cfrac{1}{2}\) 个单位后，\(y\)\(=\)\(f(2x+1)\) 关于点 \((0,0)\) 对称。故有，\(f(2x+1)\) 关于原点 \((0,0)\) 对称。

简单计算：由于 \(f(x)\) \(\Rightarrow\) \(f(2x+1)\) 只涉及横轴方向的变换，故不会引发纵轴方向上的坐标变化，即 \(f(2x+1)\) 的对称中心的纵坐标还是 \(0\) ，故我们只需要关注横坐标的变化；又由于 \(x\Leftrightarrow 2x+1\)[二者对等]，且 \(x\Rightarrow 1\)，故令 \(2x+1=1\)，求得 \(x=0\)，故 \(f(2x+1)\) 的对称中心为 \((0,0)\) .

拓展推广

1. 由 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 型 [\(c\neq0\)，下同]

记忆结论：若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图象关于点 \((a,b)\) 对称，对于函数 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},b)\) .

变换说明：函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 关于点 \((a,b)\) 对称，当进行横坐标的伸缩变换 \(y\)\(=\)\(f(cx)\) 时，对称中心变为 \((\cfrac{a}{c},b)\)[因为横坐标伸缩倍数为\(\cfrac{1}{c}\)，所以对称中心横坐标变为原来的\(\cfrac{1}{c}\)，纵坐标不变]，再进行平移变换得到\(y\)\(=\)\(f(cx+d)\)\(=\)\(f\left(c(x+\cfrac{d}{c})\right)\)，根据函数图象平移与对称中心的关系，\(y\)\(=\)\(f(cx)\) 图象向左 (\(\cfrac{d}{c}\)\(\gt\)\(0\)) 或向右 (\(\cfrac{d}{c}\)\(\lt\)\(0\)) 平移\(\vert\)\(\cfrac{d}{c}\)\(\vert\)个单位，此时 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},b)\) .

简单操作：对称中心的纵坐标不变，令 \(cx+d=a\)，得到 \(x=\cfrac{a-d}{c}\)，故 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},b)\) .

2. 由 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(f(cx+d)+k\) 型

记忆结论：若函数 \(y\)\(=\)\(f(x)\) 的图象关于点 \((a,b)\) 对称，对于函数 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)+k\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},b+k)\) .

简单操作：令 \(cx+d=a\)，得到 \(x=\cfrac{a-d}{c}\)，对称中心的横坐标确定；对称中心的纵坐标是在 \(b\) 的基础上作上下平移变换[当 \(k>0\) 时上移 \(|k|\) 个单位，当 \(k<0\) 时下移 \(|k|\) 个单位]得到，故 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\)\(+\)\(k\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},b+k)\) .

3. 由 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\) 型

变换说明： 对于函数 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\)(\(e\neq0\))，它是由 \(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 进行纵坐标的伸缩变换得到的。纵坐标伸缩变换不改变对称中心的横坐标，只改变纵坐标。因为\(y\)\(=\)\(f(cx+d)\) 关于点 \((\cfrac{a-d}{c},b)\) 对称，\(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\) 的图象是将\(y = f(cx + d)\)图象上各点的纵坐标伸长 (\(|e|\)\(\gt\)\(1\)) 或缩短 (\(0\)\(\lt\)\(|e|\)\(\lt\)\(1\)) 为原来的 \(|e|\) 倍，所以 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\) 的对称中心为 \((\cfrac{a-d}{c},eb)\)。

4. 由 \(y\)\(=\)\(f(x)\) \(\Rightarrow\) \(y\)\(=\)\(ef(cx+d)+k\) 型

变换说明： 对于函数 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\)\(+\)\(k\) (\(e\neq0\))，它是由 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\) 进行上下平移得到的。将 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\) 的图象向上(\(k\)\(\gt\)\(0\)) 或向下 (\(k\)\(\lt\)\(0\)) 平移\(|k|\) 个单位，对称中心的横坐标不变，纵坐标在 \(eb\) 的基础上加上 \(k\)，所以 \(y\)\(=\)\(e\cdot\)\(f(cx+d)\)\(+\)\(k\) 的对称中心为\((\cfrac{a-d}{c},eb+k)\) .

对应练习

引例，已知 \(f(x)\) 关于点 \((2,3)\) 对称，对于函数 \(5f(3x-1)+2\) 而言，这里 \(a=2\)，\(b=3\)，\(c=3\)，\(d=-1\)，\(e=5\)，\(k=2\)，根据结论，其对称中心为\((\cfrac{2-(-1)}{3},5\times3+2)=(1,17)\)。

引申探究

① 依托同样的研究方法，可以探究已知 \(f(x)\) 的对称轴求 \(f(2x+3)\) 的对称轴问题。

② 由于这些图像变换涉及到坐标的变化，故函数的图像变换可能引起函数性质的变化，比如定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值、最值点，极值、极值点的变化，对这些性质的变化，都可以依托上述的探究方法来研究。